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U ni ve rs id ad e Es ta du al d o Ce ar á - U ni ve rs id ad e Ab er ta d o Br as il Fiel a sua missão de interiorizar o ensino superior no estado Ceará, a UECE, como uma instituição que participa do Sistema Universidade Aberta do Brasil, vem ampliando a oferta de cursos de graduação e pós-graduação na modalidade de educação a distância, e gerando experiências e possibili- dades inovadoras com uso das novas plataformas tecnológicas decorren- tes da popularização da internet, funcionamento do cinturão digital e massificação dos computadores pessoais. Comprometida com a formação de professores em todos os níveis e a qualificação dos servidores públicos para bem servir ao Estado, os cursos da UAB/UECE atendem aos padrões de qualidade estabelecidos pelos normativos legais do Governo Fede- ral e se articulam com as demandas de desenvolvi- mento das regiões do Ceará. Cá lc ul o I Matemática Matemática Celso Antônio da Silva Barbosa Cálculo I ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes Plásticas Ciências Biológicas Geografia Educação Física História 9 12 3 Celso Antônio da Silva Barbosa Cálculo I Matemática 2ª edição Fortaleza - Ceará 2016 ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes Plásticas Ciências Biológicas Geografia Educação Física História 9 12 3 Copyright © 2016. Todos os direitos reservados desta edição à UAB/UECE. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autori- zação, por escrito, dos autores. Presidenta da República Dilma Vana Rousseff Ministro da Educação Aloísio Mercadante Presidente da CAPES Carlos Afonso Nobre Diretor de Educação a Distância da CAPES Jean Marc Georges Mutzig Governador do Estado do Ceará Camilo Sobreira de Santana Reitor da Universidade Estadual do Ceará José Jackson Coelho Sampaio Vice-Reitor Hidelbrando dos Santos Soares Pró-Reitor de Pós-Graduação Jerffeson Teixeira de Souza Coordenador da SATE e UAB/UECE Francisco Fábio Castelo Branco Coordenadora Adjunta UAB/UECE Eloísa Maia Vidal Diretor do CCT/UECE Luciano Moura Cavalcante Coordenadora da Licenciatura em Matemática Ana Carolina Costa Pereira Coordenador de Tutoria e Docência em Matemática Gerardo Oliveira Barbosa Editor da EdUECE Erasmo Miessa Ruiz Coordenadora Editorial Rocylânia Isidio de Oliveira Projeto Gráfico e Capa Roberto Santos Diagramador Francisco Oliveira Conselho Editorial Antônio Luciano Pontes Eduardo Diatahy Bezerra de Menezes Emanuel Ângelo da Rocha Fragoso Francisco Horácio da Silva Frota Francisco Josênio Camelo Parente Gisafran Nazareno Mota Jucá José Ferreira Nunes Liduina Farias Almeida da Costa Lucili Grangeiro Cortez Luiz Cruz Lima Manfredo Ramos Marcelo Gurgel Carlos da Silva Marcony Silva Cunha Maria do Socorro Ferreira Osterne Maria Salete Bessa Jorge Silvia Maria Nóbrega-Therrien Conselho Consultivo Antônio Torres Montenegro (UFPE) Eliane P. Zamith Brito (FGV) Homero Santiago (USP) Ieda Maria Alves (USP) Manuel Domingos Neto (UFF) Maria do Socorro Silva Aragão (UFC) Maria Lírida Callou de Araújo e Mendonça (UNIFOR) Pierre Salama (Universidade de Paris VIII) Romeu Gomes (FIOCRUZ) Túlio Batista Franco (UFF) Editora Filiada à B238c Barbosa, Celso Antonio da Silva. Cálculo I / Celso Antonio da Silva Barbosa . – 2. ed. – Fortaleza : EdUECE, 2016. 331 p. : il. ; 20,0cm x 25,5cm. (Matemática) Inclui bibliografia. ISBN: 978-85-7826-391-1 1. Cálculo I. I. Título. CDD 515 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Sistema de Bibliotecas Biblioteca Central Prof. Antônio Martins Filho Thelma Marylanda Silva de Melo – CRB-3 / 623 Bibliotecária Editora da Universidade Estadual do Ceará – EdUECE Av. Dr. Silas Munguba, 1700 – Campus do Itaperi – Reitoria – Fortaleza – Ceará CEP: 60714-903 – Fone: (85) 3101-9893 Internet: www.uece.br – E-mail: eduece@uece.br Secretaria de Apoio às Tecnologias Educacionais Fone: (85) 3101-9962 Sumário Apresentação ................................................................................................... 5 Parte 1 – Introdução à Lógica e Conjuntos .................................................. 7 Capítulo 1 – Introdução à Lógica ............................................................................. 9 Capítulo 2 – Conjunto .............................................................................................13 Parte 2 – Funções e Operações com Funções .......................................... 19 Capítulo 1 – Conceito de Função ..........................................................................21 Capítulo 2 – Operações com Funções .................................................................27 Parte 3 – Gráficos e Exemplos de Funções ............................................... 33 Capítulo 1 – Gráfico de Função .............................................................................35 Capítulo 2 – Exemplos de Funções ......................................................................43 Parte 4 – Limite de Funções, Cálculos de Limites e Continuidades ..... 55 Capítulo 1 – Limites de Funções ...........................................................................57 Capítulo 2 – Cálculo de Limites .............................................................................65 Capítulo 3 – Continuidades ....................................................................................85 Parte 5 – Retas Tangente e Normal, Movimento Retilíneo e Taxa de Variações ........................................................................................ 93 Capítulo 1 – Retas Tangente e Normal .................................................................95 Capítulo 2 – Movimento Retilíneo ........................................................................103 Capítulo 3 – Taxas de Variações .........................................................................107 Parte 6 – Derivadas de Funções .................................................................111 Parte 7 – Fórmulas de Derivação e Derivação Implícita ........................125 Capítulo 1 – Fórmulas de Derivação ...................................................................127 Capítulo 2 – Derivação Implícita ..........................................................................143 Parte 8 – Valores Extremos e Teoria do Valor Médio ..............................151 Capítulo 1 – Valores Extremos .............................................................................153 Parte 9 – Valores Extremos, Teoremas do Valor Médio e de Taylor ....167 Capítulo 1 – Teorema de Taylor ...........................................................................169 Capítulo 2 – Testes para Extremos Locais ..........................................................175 Parte 10 – Convexidade, Concavidade, Gráficos e problemas de Otimização ..........................................................................................185 Capítulo 1 – Convexidade, Concavidade e Gráfico ...........................................187 Capítulo 2 – Problemas de Otimização ...............................................................205 Parte 11 – Regras de L’Hospital .................................................................215 Parte 12 – Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas ......229 Capítulo 1 – Funções Trigonométricas ...............................................................231 Capítulo 2 – Funções Trigonométricas Inversas ................................................241 Parte 13 – Funções Logarítmicas e Exponenciais ..................................251 Capítulo 1 – Função Logarítmica Natural ...........................................................253 Capítulo 2 – Função Exponencial na Base Neperiana ......................................263Capítulo 3 – Funções Exponenciais e Logarítmicas mais Gerais .....................269 Parte 14 – Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas ....................279 Capítulo 1 – Funções Hiperbólicas ......................................................................281 Capítulo 2 – Funções Hiperbólicas Inversas ......................................................287 Parte 15 – Integral Definida e Fórmulas de Integração ..........................293 Parte 16 – Integrais Definida e Imprópria ................................................. 311 Capítulo 1 –Integral Definida ................................................................................313 Capítulo 1 –Integral Imprópria ..............................................................................325 Sobre o autor .................................................................................................331 Apresentação Este livro aborda os elementos que compõem a disciplina de Cálculo I, trazendo aspectos conceituais, exemplos (proposto e resolvido) e atividades de avaliação. A organização do livro se distribui em 20 capítulos, organizados de forma a atender aos objetivos da disciplina. O capítulo 1 apresenta uma introdução ao estudo da lógica, acompa- nhada dos conceitos e simbologias que serão utilizados nos capítulos seguin- tes, enquanto o capítulo 2 introduz o estudo sobre conjuntos. No capítulo 3 discute-se o conceito de cálculo e de funções e no capí- tulo 4, as operações algébricas com funções e os conceitos de composição de funções e de função inversa. O capítulo 5 é dedicado a introduzir a identi- ficação do gráfico com sua representação geométrica e a caracterização de tal representação geométrica a partir do conceito de função. Ademais, serão introduzidos exemplos de funções reais de uma variável real juntamente com seus gráficos. O capítulo 6 aborda a conceituação de limites de funções, técnicas de cálculos de limites de funções algébricas e continuidades de funções num va- lor e num intervalo. O capítulo 7 se concentra no conceito de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto. No capítulo 8 é tratado um problema físico, com a finalidade de estabelecer os conceitos de velocidade e aceleração de uma partícula em movimento retilíneo num determinado instante. Este tópico é encerrado fazendo uma única interpretação dos limites envolvidos nos con- ceitos de reta tangente e velocidade. O capítulo 9 aborda derivadas de funções. O tópico é finalizado com os conceitos de derivadas de ordens superior a primeira, que serão indispensá- veis a várias aplicações futuras. Na sequência, no capítulo 10 são apresen- tadas fórmulas de derivação e derivação implícita. O capítulo 11 trata da con- ceituação e resultados necessários à aplicação das derivadas. Neste tópico serão introduzidos os conceitos de valores de extremos da função, sucedido pelo estudo do resultado teórico conhecido como “teorema do valor médio de Lagrange” e pela generalização do teorema do valor médio. No capítulo 12 é apresentada a fórmula de Taylor que é uma aplicação do teorema do valor médio de Lagrange, enquanto no Capítulo 13 encontram-se os testes, onde a derivada é aplicada, para determinar se num valor crítico de uma função, essa função tem um valor extremo local. O capítulo 14 discorre sobre os conceitos de convexidade, concavida- de e ponto de inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar gráficos de funções e finaliza com abordagem centrada em problemas de otimização. O capítulo 15 tem o objetivo de apresentar os métodos que permi- tem remover as indeterminações são decorrentes dos resultados conhecidos como “as regras de L’Hospital”. O capítulo 16 trata das funções trigonométricas e trigonométricas inver- sas e suas aplicações, enquanto o capítulo 17 se situa no estudo das funções logarítmicas e exponenciais. O capítulo 18 define as funções que são chamadas de hiperbólicas e hiperbólicas inversas e apresenta as aplicações de tais funções. Os capítulos 19 e 20 têm como objetivo estabelecer e interpretar as diferenciais, introduzin- do o conceito de integral definida, indefinida e imprópria. Esperamos que você aproveite os conteúdos apresentados e fortaleça seus conhecimentos matemáticos para as disciplinas que virão. O autor Cálculo I 7 Parte 1 Introdução à Lógica e Conjuntos Capítulo 1 Introdução à Lógica Uma breve introdução ao estudo da Lógica é indispensável para estudar os temas que serão tratados no Cálculo, este subtópico se destina a apresentar o material necessário, introduzindo os símbolos que são amplamente utilizados juntamente com os seus significados. Uma proposição simples ou sentença é uma afirmação que apresen- ta as seguintes condições: a) Deve ser estruturada com sujeito e predicado; b) Tem de ser declarativa e afirmativa; c) Obedece o princípio do terceiro excluído, isto é, deve ser verdadeira ou falsa e não tem outra alternativa; d) Satisfaz o princípio de não contradição, ou seja, não pode ser simul- tâneamente verdadeira e falsa. Exemplo Resolvido 1. Tem-se que: (a) “3 4 7+ = ” é proposição verda- deira; (b) “O sal é doce” é proposição falsa; (c) “3 4+ ” não é proposição, pois falta predicado; (d) “Matemática é fácil ?” não é proposição, pois é uma frase interrogativa; (e) “ x 3 5+ = ” não é uma afirmação falsa e nem verdadeira, pois ela depende do valor atribuído a x, logo não é proposição simples. Exemplo Proposto 1. Dê exemplos de proposições simples verdadei- ras e falsas. Uma proposição composta é a conjunção ou disjunção de duas propo- sições simples usando os conectivos “e” ou “ou”. Os conectivos “e” e “ou” po- dem também ser indicados pelos símbolos ∧ e ,∨ respectivamente. Então, nomeando duas proposições simples por “p” e “q”: a) “p e q” (isto é, p q)∧ é verdadeira quando as duas proposições são verdadeiras, e falsa se pelo menos uma das proposições é falsa; b) “p ou q” (ou seja, p q)∨ é verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira, e falsa se ambas são falsas. Exemplo Resolvido 2. A proposição composta: (a) “3 4 7+ = e o sal é salgado” é verdadeira, pois as duas proposições são verdadeiras; (b) “ 3 4 7+ = e o sal é doce” é falsa, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa; (c) “3 4 7+ = ou o sal é doce” é verdadeira, pois a primeira CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA10 proposição é verdadeira e a segunda é falsa; (d) “3 4 5+ = ou o sal é doce” é falsa, pois as duas proposições são falsas. Exemplo Proposto 2. Dê exemplos de proposições compostas ver- dadeiras e falsas. Uma implicação é usada na forma: se p e q são duas sentenças, a con- dição p q⇒ , lê-se de uma das seguintes maneiras: p implica q, p acarreta q, se p então q, p é condição suficiente para q ou q é condição necessária para p. A condição p q⇒ é falsa somente se p é verdadeira e q é falsa; caso con- trário, ela é verdadeira. Exemplo Resolvido 3. A condição: (a) “Um clube de futebol teve mais pontos num campeonato, então ele é campeão” é evidentemente verdadeira; (b) “ 2 2( 3) 3− = Þ 3 3− = ” é falsa, pois 3- e 3 não são iguais. Exemplo Proposto 3. Dê exemplos de condições usando implicações verdadeira e falsa. Uma equivalência é usada na forma: se p e q são duas proposições, a condição p q⇔ , lê-se de uma das seguintes maneiras: p equivale a q; p se, e somente se, q; p é condição necessária e suficiente para q. A condição p q⇔ é verdadeira se p q⇒ e q p⇒ são verdadeiras; caso contrário, a equivalência é falsa. Exemplo Resolvido 4. A condição: (a) “Um clube de futebol teve mais pontos num campeonato se, e somen- te se, ele é campeão” é verdadeira, pois as duas proposições são verdadeiras: (b) “3 5 8+ = ⇔ 4 6 9+ = ” é falsa, pois 4 6+ não é igual a 9. Exemplo Proposto 4. Dê exemplos de condições usando equivalên- cias verdadeira e falsa. Sentença aberta é uma afirmação onde aparece pelo menos uma letra e essa letra pode assumir um ou mais valores ou mesmo não assumirnenhum valor. A letra é chamada de incógnita. Uma sentença aberta onde tem uma igualdade é dita uma equação. Por exemplo: (a) x 3 5;+ = (b) 2x x;= (c) 0x 0;= (d) x x 0;− = (e) 2x 1.= − Os quantificadores são usados em sentenças abertas e estão a seguir: (a) Quantificador universal “∀ ” que significa “qualquer que seja”, “para todo” ou “para cada”; (b) Quantificador existencial “∃ ” que significa “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”. E o quantificador existencial particular “ |∃ ” que signi- fica “existe um único”, “existe um só” ou “existe só um”. Cálculo I 11 Exemplo Resolvido 5. Observe as afirmações usando quantificador universal: (a) x,∀ x x 0;− = (b) x, 0x 0;∀ = (c) 2x, x∀ não é negativo; (d) x 0,∀ ≠ 0 x 0;= (e) x 0x,∀ não é número. Exemplo Proposto 5. Escreva frases e sentenças abertas usando “qualquer que seja”. Exemplo Resolvido 6. Observe as afirmações usando quantificador existencial: (a) x∃ tal que 2x x;= (b) x∃ tal que 2x x− não é positivo; (c) | x∃ tal que x 3 5;+ = (d) | x∃ tal que 2x 0.= Exemplo Proposto 6. Escreva frases e sentenças abertas usando “existe” e “existe um único”. As Negações de proposições são as seguintes: (a) Simples. Numa proposição “p” é “não p” ou “não é verdade que p”; (b) Compostas. Na conjunção “p e q” sua negação é a disjunção “não p ou não q” e na disjunção “p ou q” a negação é a conjunção “não p e não q”; (c) Quantificadas. Com “ p" ” é “ ,$ não p” e com “ p$ ” é “ ," não p”. Exemplo Resolvido 7. Observe que na proposição: (a) “ 1- é positivo” sua negação é “ 1- não é positivo”; (b) “a 2= ou b 3= ” sua negação é “a 2¹ e b 3¹ ”; (c) “ 2x, x" é positivo” sua negação é “$x tal que 2x não é positivo”; (d) “ x$ inteiro tal que 2x 3 5+ = ” sua negação é “ x" inteiro, 2x 3 5+ ¹ ”. Exemplo Proposto 7. Escreva frases e sentenças abertas usando ne- gações em proposições simples, compostas e quantificadas. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA12 Atividades de avaliação Os exemplos propostos deste capítulo: 1 e 2 são os itens (a) e (b) da questão 1; 3 e 4 são os itens (a) e (b) da questão 2; 5 até 7 são os itens (a) até (c) da questão 3 da atividade deste tópico. As questões 4 e 5 da atividade, serão indicadas no capítulo seguinte desta unidade. Capítulo 2 Conjunto Existem vários assuntos em Matemática onde certas noções são aceitas sem definição, tais noções são chamadas de “noções primitivas”, estas são intuiti- vas e evidentes. Neste tema, são consideradas noções primitivas, as noções de conjunto, elemento e pertinência. Na linguagem comum um elemento é um objeto, por exemplo: (i) número; (ii) letra; (iii) nome de animal; (iv) figura ou o nome da figura. Conjunto em Matemática tem quase o mesmo significado da linguagem comum, isto é, um conjunto é: uma coleção, uma classe ou um agrupamento de elementos. As únicas possíveis excessões são: o conjunto vazio que não possui nenhum elemento e é usado para considerar o conjunto dos elementos que têm uma propriedade impossível, e o conjunto unitário que é formado por um só elemento. Por exemplo: (a) Conjunto dos algarismos indo-arábicos; (b) Conjunto das vogais; (c) Conjunto de nomes de animais de quatro patas de uma fazenda; (d) Conjunto dos números reais cujo quadrado é negativo; (e) Conjunto dos números reais que somado com um é igual a um. É comum usar uma letra maiúscula para nomear um conjunto, por exemplo: A, B, C, I, N, Q, R, etc. E para se referir a um elemento qualquer de um conjunto é usada uma letra minúscula, por exemplo: a, b, x, y, z, etc. O símbolo “∈” significa “pertence” e é usado para escrever que um determinado elemento é componente de um conjunto, ou seja, se x pertence ao conjunto A, escreve-se x A.∈ Quando um elemento x não pertende ao conjunto A, indica-se x A.∉ A notação de conjunto é efetuada das seguintes formas: (a) Escrevendo seus elementos entre chaves e separados pela vírgula; (b) Através de uma propriedade característica de seus elementos en- tre chaves, escrevendo-se A {x U; x tem a propriedade p},= Î onde U é chamado de conjunto universo e significa o conjunto ao qual pertencem todos os elementos usados na formação de A, o ponto e vírgula logo após a letra U substituí a expressão “tal que”; O símbolo “Î ” é uma versão da letra grega epsilon e devida ao matemático italiano Giuseppe Peano (1858- 1932), foi Peano que também introduziu os símbolos “É (contém), È (reunião) e Ç (interseção)” que serão vistos a seguir. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA14 (c) O conjunto vazio é indicado pelo símbolo “∅ ” (que é uma versão da letra grega phi) ou apenas por “{ }” (isto é, as chaves sem nenhum elemento). Considerando os exemplos acima, tem-se: (a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; (b) B = {a, e, i, o, u} ou B = {x Î alfabeto; x é vogal}; (c) C = {boi, cavalo, carneiro, cachorro, gato}; (d) D = {x Î reais; x2 é negativo} ou D = ∅ ; (e) E = {x Î reais; x + 1 = 1} ou E = {0}. Além disso, por exemplo: 2 A;∈ a B;∈ pato C∉ e 1 E.− ∉ As reticências são usadas num conjunto, quando é possível escrever apenas alguns elementos e eles evidenciam a determinação dos demais, tan- to quando o conjunto tem uma quantidade grande de elementos ou sendo infinito. Por exemplo: (a) A {0,1,2,3, ,9}= ou A {x inteiros; x é algarismo indo-arábico};= ∈ (b) B {1,3,5,7, }= ou B {x inteiros; x é ímpar e positivo};= ∈ (c) C {0,2,4,6, }= ou C {x inteiros; x é par e não negativo};= ∈ (d) D {0,1,4,9,16, }= ou D {x inteiros; x é quadrado perfeito}.= ∈ Um conjunto com poucos elementos pode ainda ser representado num diagrama, isto é, colocando seus elementos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça e os elementos são indicados visualmente através de pontos ou outras figuras pequenas semelhantes ou não. Os conjuntos A e B são iguais se todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Simbolicamente, escreve-se A B= ⇔ ( x, x A x B).∀ ∈ ⇔ ∈ Se A não é igual a B, escreve-se A B,≠ isto é, se x A talque x B∃ ∈ ∉ ou x B talque x A.∃ ∈ ∉ Por exemplo: (a) 2{0,1} {x reais; x x};= ∈ = (b) {0,1,2,3} {1,0,0,3,3,2,2,2,2};= (c) { 1,2} { 2,1};− ≠ − (d) {1,3,5} {1,2,3,4,5}.≠ Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A pertence a B. Utiliza-se o símbolo “Ì ” chamado sinal de inclusão, es- creve-se A BÌ (lê-se, A está contido em B). Simbolicamente, escreve-se: A B ( x, x A x B).Ì Û " Î Þ Î Observe que o próprio conjunto B é subcon- junto de B, se A BÌ e existe um elemento x BÎ tal que x A,Ï então A Cálculo I 15 é dito um subconjunto próprio de B. Por exemplo: (a) {1,3} é subconjunto próprio de {0,1,2,3}; (b) O conjunto das vogais é subconjunto próprio do nosso alfabeto. É comum também escrever: B AÉ (lê-se, B contém A) para indicar que A é subconjunto de B; e A BË ou B A/É (lê-se, A não está contido em B ou B não contém A) significa que A não é subconjunto de B. Teorema. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto é, AÆÌ qualquer que seja o conjunto A. Demonstração. A afirmação seria negada (isto é, que AÆË ) justifi- cando que existe pelo menos um elemento no conjunto vazio que não per- tence ao conjunto A, mas como o conjunto vazio não tem nenhum elemento, isso não pode acontecer. Portanto, se a afirmação não pode ser negada, ela é verdadeira. O conjunto das partes de um conjunto A é aquele formado por todos os subconjuntos de A e é indicado por P(A). Exemplo Resolvido 1. (a) Se A {0},= os subconjuntos de A são Æ e A, logo P(A) { ,{0}};= Æ (b) Sendo B {0,1},= os subconjuntos de B são ,Æ {0}, {1} e B, logo P(B) { ,{0},{1},B}.= Æ Exemplo Proposto 1. Achar o conjunto das partes do conjunto {0, ,a, }.Æ p Dados os conjuntos A e B, as operações com conjuntos são as seguintes: (a) Reunião ou união de A e B, é indicada por A BÈ e é o conjun- to dos elementos que pertencem a A ou B, simbolicamente, escreve-se A B {x U; x A ou x B};È= Î Î Î (b) Interseção de A e B, é indicada por A BÇ e é o conjunto dos ele- mentos que pertencem a A e B, isto é, o conjunto dos elementos que per- tencem aos dois conjuntos simultâneamente, simbolicamente, escreve-se A B {x U; x A e x B};Ç = Î Î Î (c) Diferença entre A e B, indicada por A B- (lê-se, A menos B), é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, simbolicamente, escre- ve-se A B {x U; x A e x B}.- = Î Î Ï Se A B ,Ç =Æ então A e B são ditos conjuntos disjuntos. Por exemplo, os conjuntos A {0,1,3}= e B {2,4,5,6}= são disjuntos. Se B A,Ì o complementar de B em relação a A, indica-se por B AC , é a diferença A B,- isto é, B AC A B.= - Exemplo Resolvido 2. Se A {a,b,c,d,g,m}= e B {a,c,e,m,n},= en- tão: CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA16 (a) A B {a,b,c,d,e,g,m,n};È = (b) A B {a,c,m};Ç = (c) A B {b,d,g}- = e B A {e,n};- = (d) A B AC A {a,c,m} {b,d,g}.Ç = - = Exemplo Proposto 2. Se A { 3, 1,0,1,4}= - - e B { 2, 1,0,1,3,4}= - - achar: A B,È A B,Ç A B,- B A- e A A BC .È Alguns conjuntos numéricos são importantes e recebem nomes espe- ciais, como a seguir: (a) Inteiros não negativos indicado e dado por {0,1,2,3,...};=N (b) Inteiros indicado e dado por {..., 2, 1,0,1, 2,...};= − −Z (c) Pares dado por P { , 4, 2,0,2,4, } {p ; p 2n e n };= - - = Î = Î Z Z (d) Ímpares dado por I { , 3, 1,1,3, } {i ; i = 2n 1 ou i 2n 1 e n };= - - = Î - = + Î Z Z (e) Racionais indicado e dado por { }p ; p e q com q 0 ;q= Î ¹Q Z (f) Irracionais é indicado por I. Ao nível deste texto não é possível definir número irracional, o que se pode dizer é: ∅Q I = , isto é, estão excluídos de ser número irracional, as frações e os números que podem ser transfor- mados em frações (como os números decimais e as dízimas periódicas que são racionais); os números irracionais não possuem representação usando os algarismos indoarábicos, mas podem ser aproximados por números racio- nais; a existência de tais números, veio com a descoberta da 2 1,4142@ ou talvez 3 1,7320@ ou existe número irracional que não é raiz quadrada de nenhum número inteiro, por exemplo, os números indicados pelas letras “e” (que aparece no estudo do logaritmo, cujo valor é 2,7182≅ ) e “p” (usado como a razão do comprimento da circunferência para o seu diâmetro, cujo valor é 3,1415@ ); (g) Reais indicado e dado por .R = Q I A letra “Z” tem origem da palavra do idioma alemão “zahl” que significa “número”. A letra “Q” deriva da palavra inglesa “quotient” que significa “quociente”. A letra “N” se refere a inicial da palavra “natural”, existem autores que consideram o conjunto dos naturais (isto é, conjunto dos números que são usados para contagem de objetos da natureza) iniciando com o número um. Uma das razões em que é conveniente iniciar N a partir do número um é que o primeiro elemento seja um, o segundo seja dois, assim por diante. Cálculo I 17 Para refletir A irracionalidade de “e” e “p ” têm demonstrações de níveis mais altos do que a raiz de dois. A demonstração que o número “e” é irracional, foi obtida pelo matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783) em 1737. O uso da letra “e” foi idealizado por Eu- ler e impresso pela primeira vez em sua obra “Mechanica” de 1736, embora o seu conceito já fosse conhecido a mais de um século. A letra “p ” é a inicial da palavra “perímetro” em grego e foi também adotada por Euler; porém foi o matemático suiço Johann Heinrich Lambert (1728-1777), quem primeiro apresentou a prova de que p é irracional, na Academia de Berlin em 1761. O conceito de p data da época dos an- tigos babilônios e egípcios, que já usavam com precisão bastante satisfatória, isto é, consideravam 3,16.p= Atividades de avaliação Os exemplos propostos destes 1 e 2, são as respectivas questões 4 e 5 desta atividade. Os números irracionais, provavelmente, foram descobertos pelos pitagóricos e passaram a chamar a atenção já na época de Pitágoras, pelo fato de existerem grandezas que são medidas por tais valores. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA18 Parte Funções e Operações com Funções 2 CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA20 Capítulo 1 Conceito de Função Neste capítulo será apresentada a “função” que é o elemento fundamental no estudo do Cálculo Diferencial e Integral. O conceito de função será introduzido de forma geral, de modo que à medida que serão estudados os tipos particu- lares de funções neste módulo e nos subsequentes de Cálculo, serão feitas apenas as particularizações dos conjuntos que estão envolvidos no conceito. Logo após o conceito geral de função, será definido o tipo particular de função que se estudará neste curso e no seguinte (ou seja, em Cálculo II), que é a função real de uma variável real. A palavra “cálculo” vem do latin “calculus” que significa pequenas pe- dras, assim “calcular” quer dizer “contar com pedras”, isto não tem nada a ver com o Cálculo Diferencial e Integral, ou seja, a parte da Matemática que estuda derivação e integração de funções juntamente com as suas aplica- ções. Quer saber mais sobre a maravilhosa e fascinante História do Cálculo, consulte a referência “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol. 1, Celso Antonio Silva Barbosa, Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007”. E-mail: celsocasb@yahoo.com.br” Antes de definir o que é função, considere alguns exemplos de relações funcionais que o estudante neste estágio já tenha utilizado. São relações dadas através de equações (ou regras ou leis de forma- ções) envolvendo duas ou mais grandezas e satisfazendo certas condições, tais condições serão explicadas em seguida nos exemplos e comentários. Exemplo usado no comércio. Suponha que se deseja adquirir um determinado produto, então o valor do produto (indicando esse valor por V) depende da quantidade do produto que você necessita (indicando essa quan- tidade por q), observe que uma mesma quantidade do produto não terá dois preços diferentes, neste caso, diz-se que V é função de q. Exemplo usado em Física. Se um carro se desloca da sua residência à rodoviária de seu município, então até que o carro cheque num determinado local do itinerário, já terá transcorrido algum tempo a partir do momento em que ele estava na residência, isto é, à distância percorrida pelo carro (cha- mando essa distância de s) depende do tempo (que se indica pela letra t), A função está presente em quase todos os ramos da Matemática e em outras ciências, tais como Física e Química, daí sua relevância na vida prática. Em relação a outras partes da Matemática que já estudamos até o Ensino Médio, o surgimento da função é recente; a palavra “função” foi introduzida pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716) em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva, que não tem nada haver com o significado moderno; a palavra função foi posteriormente usada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) e criou a notação usada até a época atual; CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA22 além disso após um certo tempo de iniciado o movimento do carro, ele terá percorrido uma única distância, sendo assim diz-se que s é função de t. Exemplo usado em geometria plana. A área de um círculo (indicando pela letra A) de raio r é dada pela fórmula 2rA π= , como dois círculos de mesmo raio não terão áreas diferentes, diz-se que A é função de r. Como ficou claro através destes exemplos, para falar em relação fun- cional, deve-se ter no mínimo duas grandezas, considerando tal quantidade de grandezas e chamando essas grandezas de y e x, onde elas estão rela- cionadas para que uma dependa da outra, então suponha que y depende de x; diz-se que y é função de x, se para cada x a relação faz corresponder um único y. Como foi mencionado, essa relação funcional pode ser dada por uma: equação, regra ou lei de formação. Foi definido o que é uma grandeza depender funcionalmente de outra através de uma relação, é de interesse algomais formal, como segue: sejam A e B conjuntos, uma função f de A em B, que se indica por f A B: ,→ é uma relação associada a A e B tal que essa relação faz corresponder a cada elemento x em A um único elemento y em B. Para indicar que um determinado y foi obtido de algum x através da função f, usa-se o símbolo “ )x(fy = ” que se lê “y é igual a f de x”. O conjunto A é chamado de domínio da função f e é indicado por D(f), e o conjunto B é dito o contradomínio da função f. O elemento f(x) que corresponde a x por intermédio da relação funcional é denominado a imagem de x através de f (ou ainda, valor de f em x se B ⊂ R , onde R indica o conjunto dos números reais). A imagem da função f é o conjunto indicado por I(f) e constituído pelas imagens de todos os elementos x de A através de f, ou seja, I(f ) {y B; y f (x) e x A}.= ∈ = ∈ o entendimento moderno do significado de função foi uma contribuição do matemático alemão Peter Gustav Lejuine Dirichlet (1805- 1859); entretanto, foi somente com a teoria dos conjuntos da análise moderna do matemático inglês George Boole (1815- 1864) e outros, que o conceito finalmente teve sua formalização. Estendendo a definição de função, os matemáticos foram capazes de estudar objetos matemáticos, inicialmente considerados como puramente imaginários e até chamados genericamente de “monstros”, tais objetos matemáticos foram já no final do século XX, considerados de grande importância para a construção de modelos matemáticos aplicados para explicar fenômenos físicos. Cálculo I 23 Uma função real de uma variável real (ou simplesmente, uma função real de uma variável) é uma função em que seu domínio é um subconjunto de R e o contradomínio é o conjunto R . Neste caso, diz-se que o elemento arbitrário x (gerador do domínio de f) é a variável independente de f e que y f x= ( ) (isto é, o elemento gerador da imagem de f) é a variável de- pendente de f. A partir deste momento, nesta disciplina e na próxima que dá continuidade a esta, somente será estudada a função real de um variável. Observe que para uma função f estar completamente definida, basta serem dados o domínio D(f) e a relação que estabelece a correspondência dos elementos do D(f) com elementos do contradomínio. Entretanto, quando f é uma função real de uma variável, normalmente f é definida apenas pela relação (que é comum ser uma equação) e possivelmente o domínio; quando na definição da função, somente a relação for dada (isto é, o domínio não for estabelecido), significa que o domínio da função é o conjunto de todos os va- lores onde a relação faz sentido e a função é indicada somente pela relação. Por exemplo: se a função f é definida por 2y x= com x ≥ 0, sig- nifica que a relação definindo f é dada pela equação 2y x= e que o D f( ) [ , );= +∞0 mas, se f é definida apenas pela equação 2y x ,= então R=)f(D pois todo número real pode ser elevado ao quadrado e invés de escrever “a função f definida por 2y x= com R=)f(D ”, escreve-se ape- nas “a função 2f (x) x= ”. DICA. Este é o momento para revisar sobre: a fórmula para o produto (a b)(a b),+ − o conceito de valor absoluto e os diversos tipos de intervalos. Você vai precisar a partir do próximo exercício. Dado um número real a, o valor absoluto de a é indicado por | a | e defi- nido por { a se a 0| a | .a se a 0 ≥= − < Pesquise para saber as propriedades do valor absoluto. . Você pode en- contrar na referência “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol.1, Celso Antonio Silva Barbosa, Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007” E-mail: celsocasb@yahoo.com.br”. Exemplo Resolvido. Dada a função f x x( ) ,= −1 encontrar: (a) f (1), f (a 1)+ se a ≥ 0 e ( )2f b 2b 2+ + se b ≥ − 1; (b) f (x a) f (x) a + - se ;0a ≠ (c) O domínio e a imagem de f. Solução. (a) Para achar os valores de f indicados, deve-se substituir em x −1 os valores de x que são da dos entre parênteses. Assim, f (1) 1 1 0 0,= − = = a1)1a()1a(f =−+=+ e 1b|1b|)1b(1b2b1)2b2b()2b2b(f 2222 +=+=+=++=−++=++ pois b + ≥1 0 uma vez que b 1;≥ − Sejam a e b valores ou expressões obtidas através de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) com valores numéricos ou literais, então tem-se usando a propriedade distributiva dos números reais que (a b)(a b) a(a b) b(a b) a.a a.b b.a b.b 2 2a b . + − = = − + − = − + − = − Os intervalos são conjuntos numéricos importantes, pesquise para conhecer os intervalos: fechado, aberto e semifechados ou semi-abertos. Você pode encontrar na referência citada no final deste capítulo. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA24 (b) Como f x a x a e f x x( ) ( ) ( ) ,+ = + − = −1 1 tem-se ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (x a) 1 x 1f (x a) f (x) a a (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador) x a 1 x 1 x a 1 x 1 a x a 1 x 1 (efetuando a multiplicaçao indicada no numerador) x a 1 x 1 = a x a 1 x 1 (x a 1 + − − −+ − = + − − − + − + − = + − + − + − − − + − + − + − = ( ) ( ) ( ) ) (x 1) (retirando os parenteses) a x a 1 x 1 x a 1 x 1= (simplificando o numerador) a x a 1 x 1 a (dividindo a por a, pois a 0) a x a 1 x 1 1 . x a 1 x 1 − − + − + − + − − + + − + − = ≠ + − + − = + − + − ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (x a) 1 x 1f (x a) f (x) a a (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador) x a 1 x 1 x a 1 x 1 a x a 1 x 1 (efetuando a multiplicaçao indicada no numerador) x a 1 x 1 = a x a 1 x 1 (x a 1 + − − −+ − = + − − − + − + − = + − + − + − − − + − + − + − = ( ) ( ) ( ) ) (x 1) (retirando os parenteses) a x a 1 x 1 x a 1 x 1= (simplificando o numerador) a x a 1 x 1 a (dividindo a por a, pois a 0) a x a 1 x 1 1 . x a 1 x 1 − − + − + − + − − + + − + − = ≠ + − + − = + − + − (c) Sendo D(f) o conjunto de todos os valores de x onde x −1 tem sentido, x D f∈ ( ) se x − ≥1 0, pois a raiz quadrada só está definida para valores não negativos (isto é, valores maiores ou iguais a zero), assim x ≥ 1, ou seja, ).,1[)f(D ∞+= Para achar a imagem de f, inicialmente se considera os valores x no seu domínio, isto é, )f(Dx ∈ se 1x ≥ , ou seja, se ,01x ≥− daí ,001xy =≥−= logo I(f ) [0, ).⊂ +∞ Por outro lado: seja y [0, ),∈ +∞ então y 0;≥ tomando 2x y 1= + então x D(f )∈ pois 2x y 1 1,= + ≥ logo resolvendo a equação 2x y 1= + se tem apenas que y x 1= − pois y 0,≥ isto é, y I(f );∈ sendo assim, [0, ) I(f ).+∞ ⊂ Portanto, obteve-se que I(f ) [0, )⊂ +∞ e [0, ) I(f ),+∞ ⊂ ou seja, I(f ) [0, ).= +∞ Exemplo Proposto. Se ,1x)x(g += mostrar que: (a) ,2)3(g = ( ) a1ag 2 =− se a 0≥ e ( ) 1bb2bg 2 +=+ se ;1b −≥ Cálculo I 25 (b) [ ]1 1g(x t) g(x)t x t 1 x 1 + − = + + + + se ;0t ≠ (c) ),1[)g(D ∞+−= e ).,0[)g(I ∞+= Atividades de avaliação Os exercícios 9, 11 e 14 do exercitando, são as respectivas questões 1 até 3 da atividade deste tópico. As questões 4 e 5 da atividade, serão indicadas no subtópico seguinte deste tópico. Nos exercícios 1 a 4, encontre o domínio da função dada: 1. f x x( ) ;= −1 2. g x x( ) ;= −2 4 3. ; 1x 1x)x(h + −= 4. 2x 9j(x) .x 1 −= − Nos exercícios 5 a 8, ache a imagem da função dada com o domínio indicado: 5. 2f (x) x 2x= − e D(f ) R;= 6. g(x) 4x x= − e D(g) ( ,1];= −∞ 7. 2h(x) 4 x= − e D(h) [1, 2);= 8. 3 2j(x) x 3x 3x 2= − + − e D(j) [0, ).= +∞ Nos exercícios 9 a 12, para cada função dada, encontre os valores indicados: 9. 2f (x) x 3x 2,= − + f (x) f (a)f (0), f (a 1) e se x a; x a − + ≠ − 10. g(x) x 1,= + g(x a) g(x)g(3), g(x 1) e se a 0;a + −− ≠ 11. 3h(x) x 1,= − 3 2 h(x) h(a)h(a 3a 3a) e se x a;x a −− + ≠ − 12. x 1j(x) ,x 1 −= + ( ) j(x a) j(x)a 1j e se a 0.a 1 a + −+ ≠ − 13. Considere um círculo de raio igual a x cm, seum quadrado está inscrito neste círculo, determine a área A do quadrado em função de x. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA26 14. Dado um pedaço de papelão quadrado com 8 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobra- dos de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine: a) O volume V da caixa em função de x; b) A área S da caixa em função de x. Referências BARBOSA, Celso Antonio Silva. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol.1. Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007” E-mail: celso- casb@yahoo.com.br”. Capítulo 2 Operações com Funções Neste capítulo, serão definidas as operações algébricas com funções e os conceitos de composição de funções e de função inversa; tais operações e conceitos têm como objetivo maior, gerar novas funções a partir de funções já conhecidas. Sejam f e g funções que tenham parte de seus domínios (ou os seus domínios) em comum, então: (a) A soma de f e g é a função indicada por f g+ e definida por (f g)(x) f (x) g(x);+ = + (b) A diferença de f por g é a função indicada por f g− e definida por (f g)(x) f (x) g(x);− = − (c) O produto de f por g é a função indicada por fg e definida por (fg)(x) f (x)g(x);= (d) O quociente de f por g é a função indicada por f g e definida por f (x)f (x)g g(x) = se .0)x(g ≠ Nas operações definidas de (a) até (d), o domínio da função resultante é formado pelos valores de x que estejam na interseção dos domínios de f e g. No caso particular do quociente, são excluídos os valores de x da interse- ção dos domínios de f e g tais que .0)x(g = DICA. Leia textos sobre “propriedades dos números reais” e “potência, raiz e fatorações”. No conjunto dos números reais, seus elementos devem ter as mesmas propriedades básicas relativamente a igualdade, onde o mais importante são as relações entre os elementos desse conjunto. Assim é que no conjunto dos reais R, existem as operações adição e multiplicação, indicadas por “+ e .”, em relação às quais R é fechado (isto significa que a adição e multiplicação de São as operações com funções que recebem os mesmos nomes das operações básicas no conjunto dos reais, isto é, adição, subtração, multiplicação e divi- são. Lembre-se que o resultado da: adição é chamado de “soma”; subtração é chamado de “diferença”; multi- plicação é chamado de “produto”; divisão é chamado de “quociente”. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA28 dois elementos de R , são elementos de R ) e para quaisquer a, b e c Î R, os seguintes axiomas são satisfeitos: propriedades associativa e comutativa; exis- tência de elementos neutros na adição e multiplicação; existência de elementos simétrico e inverso; propriedade distributiva. Detalhes sobre tais propriedades, podem ser encontrados na referência citada no final deste subtópico. Exemplo Resolvido 1. Dadas às funções 2f (x) x 2x 3= + − e g(x) x 3,= + encontrar: f g,+ f g,− fg e f g . Solução. Das definições, tem-se 2 2 2(f g)(x) (x 2x 3) (x 3) x (2x x) 3 3 x 3x,+ = + − + + = + + − + = + 2 2 2(f g)(x) (x 2x 3) (x 3) x (2x x) 3 3 x x 6,− = + − − + = + − − − = + − 2 2 3 2 2 (fg)(x) (x 2x 3)(x 3) (efetuando a multiplicaçao, usando a distributividade) x (x 3) 2x(x 3) 3(x 3) (novamente, usando a distributividade em cada parcela) x 3x 2x 6x 3x 9 (adicionando as parcelas co = + − + = + + + − + = + + + − − 3 2 rrespondentes) x 5x 3x 9= + + − e 2f x 2x 3(x) (fatorando o numerador)g x 3 (x 1)(x 3) (dividindo x+3 por x 3 pois x 3)x 3 x 1. + − = + − += + ≠ − + = − Exemplo Proposto 1. Se 2x)x(f −= e ,2x3x)x(g 2 +−= mos- trar que: (a) (f g)(x) x(x 2);+ = − (b) ;)2x()x)(gf( 2−−=− (c) );1x2(4)5x(x)x)(fg( 2 −+−= (d) 1x 1)x( g f − = se x 1.≠ Sejam f e g funções tais que o domínio de f contém um subconjunto não vazio da imagem de g, então a função composta de f com g (ou a composição de f com g) é indicada por fog e definida por Numa potência para um número real a e um número racional r, a expressão ar indica uma potência de base a e expoente r, pesquise para saber tal conceito. Uma potên- cia com o expoente igual a uma fração de numerador menor que o denominador e positiva, é chamada de raiz. É importante saber: as propriedades das potências, quadra- do e cubo da soma e fatorações. Você pode encontrar o necessário e indispensável na referência citada no final deste capítulo. Cálculo I 29 ( )(fog)(x) f g(x) .= O domínio de fog é formado pelos valores de x no domínio de g e que )x(g pertence ao domínio de f. A figura ilustra que domínio de fog (na cor cinza) contido em A (na cor preta), não necessariamente é igual a A. Observe o que foi escrito sobre a composição de funções: (1) Para achar a imagem de um valor x domínio da função composta fog, primeiro se acha a imagem de x através da função à direita da composi- ção (isto é, acha-se g(x) ), depois se encontra a imagem do resultado obtido com g através da função à esquerda da composição (ou seja, encontra-se ( )f g(x) ). Por exemplo, se f (x) x= e g(x) x 1,= − para obter (fog)(5), tem-se g(5) 5 1 4,= − = então ( )(fog)(5) f g(5) f (4) 4 2;= = = = (2) Na legenda da figura anterior, foi escrito que o domínio de fog não é necessariamente igual ao domínio de g. Por exem- plo, sendo ainda f (x) x= e g(x) x 1,= − então D(f ) [0, )= +∞ e D(g) ( , ),= = −∞ +∞R mas ( )(fog)(x) f g(x) f (x 1) x 1,= = − = − daí D(fog) [1, ) ( , ) D(g).= +∞ ≠ −∞ +∞ = Exemplo Resolvido 2. Se f e g são as funções 1x)x(f 2 += e 1x)x(g += , encontrar: fof, fog e gof. Solução. Tem-se ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 4 2 4 2 (fof )(x) f f (x) (substituindo f(x) por x 1) f x 1 ˆ(no lugar de x em f(x) x 1,poe-se x 1 que está entre parenteses) x 1 1 (efetuando o quadrado (x 1) ) x 2x 1 1 x 2x 2, = + = + = + + = + + + = + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2x11x11x1xf)x(gfx)fog( 2 +=++=++=+== CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA30 e ( ) ( ) ( ) .2x11x1xg)x(fg)x)(gof( 222 +=++=+== Exemplo Proposto 2. Se 1x)x(f −= e ,1x)x(g 2 −= provar que: (a) ;2x)x)(fog( 2 −= (b) ;2x)x)(gof( −= (c) ( )2 2(gog)(x) x x 2 .= − Observe do exemplo resolvido 2 que (fog)(x) (gof )(x),≠ ou seja, em geral a operação composição não é comutativa. Um caso especial da composição de duas funções f e g, ocorre quando ( )( ) ( )( )fog x gof x x= = para todo x C D(fog) D(gof )∈ ⊂ onde C é não vazio, neste caso, diz-se que g é a inversa de f em C e é usada a notação 1g f −= (ou que f é a inversa de g em C, neste caso, escreve-se 1f g−= ). DICA. Leia o capítulo 1.1 (Noção de Lógica) dando ênfase aos símbo- los e seus significados. Uma função f é dita injetiva (ou biunívoca), se para quaisquer 1x e 2x no D(f), tem-se 2121 xx)x(f)x(f =⇒= (ou equivalente, 1 2x x≠ ⇒ 1 2f (x ) f (x ))≠ . Em outras palavras, f é injetiva, se para cada )f(Iy∈ existe um único )f(Dx ∈ tal que f (x) y;= neste caso, a regra dada por )y(gx = agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função g tal que )f(I)g(D = e );f(D)g(I = então observe que se tem as duas funções f e g tais que y f (x) x g(y);= ⇔ = além disso, como y)x(f))y(g(f)y)(fog( === para todo )g(Dy ∈ e x)y(g))x(f(g)x)(gof( === para todo ),f(Dx ∈ pela definição de função inversa, 1g f −= e 1f g .−= Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: se uma função f é injetiva, então f possui inversa com domínio igual a imagem de f; e mais, a equação que define a inversa de f é obtida resolvendo a equação f(x)y = para a variável x. Exemplo Resolvido 3. Encontrar a inversa da função x 1 x 2f (x) - += e verificar que Solução. Sendo x 1 x 2y ,- += para achar a inversa de f, deve-se resolver esta equação para a variável x. Assim, como ⇔−=+⇔−=+⇔ + −=1xy2yx1x)2x(y 2x 1xy 2y 1 2y 1yx x 2y 1 x(y 1) 2y 1 x ; y 1 y 1 − − +− = − − ⇔ − = − − ⇔ = = − − − a função 1f − é definida por 1 2y 1f (y) , y 1 − += − − É importante observar que a inversa de uma função não é obtida apenas pela troca de x por y, isto deve ser acrescido ao processo algébrico de inversão; entretanto, a troca pode ser efetuada antes ou depois do processo de inversão. Neste exemplo (isto é, exemplo resolvido 3), a troca está sendo efetuada após a resolução da equação para x. É comum praticar tal sistemática, para continuar usando a letra “x” para indicar a variável do domínio da função que está sendo obtida, como foi feito até este momento e continuará sendo usada; além disso, isto será útil para obter o gráfico da inversa a partir do gráfico da função, de acordo como será tratado posteriormente. Uma função que tem inversa, diz-se invertível. Vale lembrar que existe o termo “inversível” usado para números que têm inverso, isto é, números diferentes de zero. Cálculo I 31 e ( ) ( ) ( ) .2x11x1xg)x(fg)x)(gof( 222 +=++=+== Exemplo Proposto 2. Se 1x)x(f −= e ,1x)x(g 2 −= provar que: (a) ;2x)x)(fog( 2 −= (b) ;2x)x)(gof( −= (c) ( )2 2(gog)(x) x x 2 .= − Observe do exemplo resolvido 2 que (fog)(x) (gof )(x),≠ ou seja, em geral a operação composição não é comutativa. Um caso especial da composição de duas funções f e g, ocorre quando ( )( ) ( )( )fog x gof x x= = para todo x C D(fog) D(gof )∈ ⊂ onde C é não vazio, neste caso, diz-se que g é a inversa de f em C e é usada a notação 1g f −= (ou que f é a inversa de g em C, neste caso, escreve-se 1f g−= ). DICA. Leia o capítulo 1.1 (Noção de Lógica) dando ênfase aos símbo- los e seus significados. Uma função f é dita injetiva (ou biunívoca), se para quaisquer 1x e 2x no D(f), tem-se 2121 xx)x(f)x(f =⇒= (ou equivalente, 1 2x x≠ ⇒ 1 2f (x ) f (x ))≠ . Em outras palavras, f é injetiva, se para cada )f(Iy∈ existe um único )f(Dx ∈ tal que f (x) y;= neste caso, a regra dada por )y(gx = agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função g tal que )f(I)g(D = e );f(D)g(I = então observe que se tem as duas funções f e g tais que y f (x) x g(y);= ⇔ = além disso, como y)x(f))y(g(f)y)(fog( === para todo )g(Dy∈ e x)y(g))x(f(g)x)(gof( === para todo ),f(Dx ∈ pela definição de função inversa, 1g f −= e 1f g .−= Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: se uma função f é injetiva, então f possui inversa com domínio igual a imagem de f; e mais, a equação que define a inversa de f é obtida resolvendo a equação f(x)y = para a variável x. Exemplo Resolvido 3. Encontrar a inversa da função x 1 x 2f (x) - += e verificar que Solução. Sendo x 1 x 2y ,- += para achar a inversa de f, deve-se resolver esta equação para a variável x. Assim, como ⇔−=+⇔−=+⇔ + −= 1xy2yx1x)2x(y 2x 1xy 2y 1 2y 1yx x 2y 1 x(y 1) 2y 1 x ; y 1 y 1 − − +− = − − ⇔ − = − − ⇔ = = − − − a função 1f − é definida por 1 2y 1f (y) , y 1 − += − − É importante observar que a inversa de uma função não é obtida apenas pela troca de x por y, isto deve ser acrescido ao processo algébrico de inversão; entretanto, a troca pode ser efetuada antes ou depois do processo de inversão. Neste exemplo (isto é, exemplo resolvido 3), a troca está sendo efetuada após a resolução da equação para x. É comum praticar tal sistemática, para continuar usando a letra “x” para indicar a variável do domínio da função que está sendo obtida, como foi feito até este momento e continuará sendo usada; além disso, isto será útil para obter o gráfico da inversa a partir do gráfico da função, de acordo como será tratado posteriormente. Uma função que tem inversa, diz-se invertível. Vale lembrar que existe o termo “inversível” usado para números que têm inverso, isto é, números diferentes de zero. ou então (trocando y por x) 1 2x 1 2x 1f (x) . x 1 x 1 − + − −= − = − − Tem-se ( ) ( )1 1 2x 1 12x 1 x 1fof (x) f f (x) f 2x 1x 1 2 x 1 2x 1 (x 1) 2x 1 x 1 3xx 1 x2x 1 2(x 1) 2x 1 2x 2 3 x 1 (se x 1) − − − − −− − −= = = = − −− + − − − − − − − − + −−= = = = − − + − − − + − − − ≠ e similarmente, verifica-se que ( f - 1 o f ) ( x ) = x Exemplo Proposto 3. Se x 1 x 1g(x) ,+ -= demonstrar que )x(g)x(g 1 =− e verificar que (g–1 og)(x) = x para todo .1x ≠ Atividades de avaliação Os exercícios 5 e 7 do exercitando, são as respectivas questões 4 e 5 da atividade deste tópico. Nos exercícios 1 e 2, dadas as funções f e g, encontre f g+ , f g− , fg, f g , fof , fog, gog e gof : 1. f x x e g x x( ) ( ) ;= − = −1 12 2. 2 2 2 2 x 1 x 1f (x) e g(x) . x 1 x 1 + −= = − + 3. Se f x x x e fog x x x( ) ( )( ) ,= − + + = − + −2 21 3 1 encontre g x( ). 4. Sendo 2 2f (x) x 2x 1 e (fog)(x) 4x 8x 4,= − + = − + ache g x( ). 5. Para 2 4 2f (x) x 2 e (gof )(x) 2x 5x 2,= − = − + determine g x( ). 6. Seja f uma função com domínio D(f ) ≠ ∅ tal que se x D(f )∈ então x D(f ).− ∈ Diz-se que uma função f é par se f x f x( ) ( )= − e é ímpar se CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA32 f x f x( ) ( ),− = − para todo x e no domínio de f. Mostre que: (a) A soma e a diferença de funções ímpares, são funções ímpares; (b) O produto e o quociente de funções ímpares, são funções pares. 7. Mostre que toda função definida num intervalo do tipo [ , ],−a a pode ser escrita como uma soma de uma função par e uma função ímpar. Suges- tão: considere f (x) f ( x) 2g(x) + -= e f (x) f ( x) 2h(x) ,- -= verifique que g é par e h é ímpar, além disso f (x) g(x) h(x).= + Decomponha a função f x x x( ) = − +2 1 como uma soma de uma função par e uma ímpar. 8. Duas funções f A B e g A B: :1 1 2 2→ → são iguais, se 1 2A A= e f x g x( ) ( )= para todo 1x A .∈ Mostre que: (a) A operação composição é associativa; (b) A inversa de gof é 1 1f og− − , se f e g são invertíveis; (c) Se a inversa de uma função existe, então ela é única. 9. Seja 2f (x) 2x 3x 1= − + cujo domínio é ( 3 4, :−∞ (a) Mostrar que f tem inversa; (b) Achar a inversa, o domínio e a imagem da inversa. 10. Resolva o problema anterior, onde o domínio de f é )3 4 , . +∞ 11. Sejam a função f x x x( ) = + +23 2 2 e g uma função de y definida por x g(y),= determine: (a) O domínio de f; (b) A maior restrição possível ao domínio de f para que g seja a inversa de f; (c) A equação que define g e o seu domínio. 12. Sejam { }A R ,= - - { }a cB R= - - e f : A B® definida por ax b cx df (x) .+ += Mostre que f possui inversa se, e somente se, ad bc− ≠ 0. Sendo f invertível, encontre a inversa da função f. Referências BARBOSA, Celso Antonio Silva. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol.1. Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007 E-mail: celsocasb@ yahoo.com.br. Parte Gráficos e Exemplos de Funções 3 CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA34 Capítulo 1 Gráfico de Função Neste capítulo será apresentado o conceito de gráfico, será feita a identifi- cação do gráfico com a sua representação geométrica e a caracterização de tal representação geométrica a partir do conceito de função; além disso, serão estabelecidos alguns caminhos para achar o gráfico de funções a partir de gráficos já obtidos ou simplificar o trabalho na construção de gráficos. A construção de gráficos é uma das tarefas mais importantes do Cálculo, o que será rigorosamente possível apenas no tópico 09; entretanto, este subtópico e o seguinte serão amplamente utilizados mesmo após ser efetuado o estudo mais geral. O gráfico de uma função f é o subconjunto do R2 indicado por G(f) e formado por todos os pares ordenados ( ))x(f,x obtidos quando x varia no domínio de f, isto é, ( ){ }G(f ) x,f (x) ; x D(f ) .= ∈ ∈2R Como o gráfico de uma função f é um subconjunto do ,2Reste pode ser representado no plano cartesiano, como o lugar geométrico determinado pelos pontos com x D f∈ ( ). Traçar (ou fazer) o gráfico de uma função, signi- fica encontrar o mencionado lugar geométrico ou um esboço significativo do lugar geométrico. É comum chamar o traço (ou esboço) do gráfico de uma função, apenas de “gráfico da função”. A figura destaca nos eixos coordenados cor- respondentes ãs variáveis x e y, o domínio e a imagem da função nos eixos (indicados pelas chaves), e a curva representando o gráfico da função. Um par ordenado de números reais são dois números onde é especificado qual é o primeiro e o segundo dos números. Se x e y representam números reais quaisquer, o par ordenado onde x é o primeiro número e y o segundo é indicado por (x, y); assim, por exemplo, (1, 2) (2,1).¹ O conjunto de todos os pares ordenados de números reais é indicado por ,2R escrevendo-se .2R R{(x, y); x e y= Î } CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA36 Da definição de função, cada valor de x no domínio de uma função f, correspondente a um único valor f x( ) na imagem de f, assim o gráfico de f não pode ser interceptado em mais de um ponto por uma reta paralela ao eixo vertical do plano cartesiano. A figura destaca nos eixos coordenados correspondentes às variáveis x e y, o domínio e a imagem da função nos eixos (indicados pelas chaves), e a curva representando o gráfico da função. Nas duas figuras, a curva da primeira pode ser o gráfico de uma função; já na segun- da, a curva não pode ser o gráfico de nenhuma função DICA. Leia um texto que contenha os temas “equação de primeiro grau e equação de segundo grau”, que você não terá dificuldades para seguir adiante. Sendo assim, em particular, é possível verificar quando uma equação do primeiro ou segundo grau em x e y define uma função. Por exemplo, o gráfico de uma equação do primeiro grau do tipo cx = (isto é, uma reta ver- tical em relação ao sistema) não é gráfico de nenhuma função, como também acontece com o gráfico de uma equação do segundo grau quando este é uma circunferência, uma elipse ou uma hipérbole. Entretanto, o gráfico de uma equação de primeiro grau do tipo y mx b= + (isto é, uma reta não vertical), sempre define uma função; também a equação de segundo grau que pode ser reduzida à forma quadrática 2y ax bx c= + + com a 0.≠ Pelo conceitos e comentários efetuados, se uma função é definida por uma equação, pela definição, o seu gráfico é o gráfico da equação conside- rando os valores da variável independente no domínio da função. Plano cartesiano é um plano munido de um sistema cartesiano. Todos os detalhes sobre o assunto estão na referência citada no final deste capítulo. Lugar geométrico é a figura no plano cartesiano representando geometricamente um subconjunto de pontos do R2 Os temas “equação de primeiro grau e equação de segundo grau”, podem ser encontrados na referência citada no final deste capítulo. Cálculo I 37 Exemplo Resolvido 1. Fazer o gráfico da função 2x)x(f = com .0x ≥ Solução. Como foi visto no texto indicado na dica anterior, o gráfico da equação 2xy = é uma parábola, então o gráfico de f é a parte dessa parábola em que ,0x ≥ ou seja, a parte da parábola à direita do eixo Y jun- tamente com a origem. O gráfico está na figura a seguir. Exemplo Proposto 1. Fazer o gráfico da função 2x)x(f −= com .0x ≤ No exemplo resolvido 1 foi usado o gráfico de uma das equações da Geometria Analítica para obter o gráfico da função; na verdade de informação precisa que se dispõe até este momento, para traçar gráficos de funções, são apenas os modelos de figuras associados às respectivas equações estudadas na Geometria Analítica. A seguir serão vistas seis outras maneiras de obter o gráfico de uma função a partir do conhecido gráfico de outra função. É claro que neste estágio, pouco se conhece de gráfico de equações, mas os procedimen- tos poderão e deverão ser aplicados num estágio mais avançado. Suponha que seja dado o gráfico de uma função f definida por )x(fy = , então: (a) O gráfico da função ,a)x(f)x(g += onde a é uma constante 0< ou 0,> é dito uma translação vertical do gráfico de f. Observe que cada ponto )y,x( no gráfico de f corresponde um ponto (x, y) no gráfico de g, onde y y a,= + assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades para baixo se 0a < ou a unidades para cima se a 0.> A figura ilustra o gráfico de f (na cor cinza) e duas possíveis translações (na cor preta) de acordo com o valor negativo ou positivo de "a" CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA38 (b) O gráfico da função ),ax(f)x(g −= onde a é uma constante 0< ou 0,> é chamado uma translação horizontal do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f corresponde um ponto (x a, y)− no gráfico de g, onde x x a= − ou x x a,= + assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades para esquerda se 0a < ou a unidades para direita se a 0.> A figura ilustra o gráfico de f (na cor cinza) e duas possíveis translações (na cor preta) de acordo com o valor negativo ou positivo de "a" DICA. Leia um texto sobre “reflexão de pontos”, ajuda no entendimento das reflexões de gráficos.. (c) O gráfico da função )x(f)x(g −= é dito uma reflexão em relação ao eixo X do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f corresponde um ponto )y,x( − no gráfico de g, assim o gráfico de g e o gráfico de f são simétricos em relação ao eixo X. A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e a reflexão de f em relação ao eixo X na cor preta (d) O gráfico da função )x(f)x(g −= é denominado uma reflexão em relação ao eixo Y do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f corresponde a um ponto )y,x(− no gráfico de g, logo os gráficos de g e f são simétricos em relação ao eixo Y. A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e a reflexão de f em re- lação ao eixo Y na cor preta O tema “reflexão de pontos”, pode ser encontrado na referência citada no final deste capítulo. Cálculo I 39 (e) O gráfico da função )x(f)x(g −−= é designado uma reflexão em relação a origem do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f cor- responde a um ponto )y,x( −− no gráfico de g, assim o gráfico g e o gráfico de f são simétricos em relação a origem. A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e a reflexão de f em relação à origem na cor preta Através do gráfico de uma função f num intervalo I D(f),⊂ pode-se verificar se ela possui inversa em I, pois de acordo com o que foi tratado no subtópico 1.2, se o gráfico é formado de uma única curva e tem o aspecto as- cendente ou descendente em I, isto é, se a função f é crescente ou decres- cente em I, ou ainda, se 1 2x e x I∈ com 1 2x x< implica 1 2f (x ) f (x )< ou 1 2f (x ) f (x ),> respectivamente, fará com que f seja injetiva em I. Na primeira figura, a curva não pode ser o gráfico de uma função que tem inversa, pois x1 = x2 e y1 = y2, isto é, a função não seria injetiva; já nas duas figuras seguintes as curvas poderiam ser gráficos de funções que possuem inversas (f) Quando se tem o gráfico de uma função bijetiva f, o gráfico de sua inversa f − 1 (no mesmo sistema de coordenadas) é facilmente obtido, pois o gráfico de f − 1 é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y x= (isto é, para cada ponto P no gráfico de f, existe um único ponto Q no gráfico de , tais que P e Q são simétricos em relação à reta y x= ). Para ver isto basta usar que, y f x= ( ) se e somente se x f y= − 1( ), ou seja, está no gráfico de f se e somente se está no gráfico de 1f − . Conforme foi visto, em geral a operação composição não é comutativa. Um caso especial da composição de duas funções f e g, ocorre quando (fog)(x) (gof )(x) x= = para todo x C D(fog) D(gof )∈ ⊂ onde C ;≠ ∅ nestecaso, diz-se que g é a inversa de f em C e é usada a notação 1g f −= (ou que f é a inversa de g em C, neste caso, escreve-se 1f g−= ). Conforme foi visto, em geral a operação composição não é comutativa. Um caso especial da composição de duas funções f e g, ocorre quando ( )( ) ( )( )fog x gof x x= = para todo x D(fog) D(gof ) C;∈ = neste caso, diz-se que g é a inversa de f em C e é usada a notação 1g f −= (ou que f é a inversa de g em C, neste caso, escreve-se 1f g−= ). CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA40 A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e o da sua inversa f-1 na cor preta, observe que o gráfico de f-1 é a reflexão do gráfico de f em relação à bissetriz y = x no mesmo sistema de coordenadas Exemplo Resolvido 2. Fazer o gráfico da função x)x(f = . Solução. Observe que o domínio e a imagem de f são formados pelos valores de x e y no intervalo ).,0[ +∞ Elevando ao quadrado os dois lados da equação ,xy = obtém-se ,xy2 = ou seja, .yx 2= Assim, a inversa de f é definida por 21 y)y(f =− com +∞<≤ y0 ou então (trocando y por x) 21 x)x(f =− com ,x0 +∞<≤ cujo gráfico é conhecido do exemplo resolvido 1. Para obter o gráfico de de f, basta fazer a reflexão do gráfico de 1f − (dependendo de x) em torno da reta y x= . Os gráficos de 1f − e f, que estão na figura a seguir, são as curvas de cores laranja e preta, respec- tivamente. Exemplo Proposto 2. Fazer o gráfico da função x)x(f −= . Exemplo Resolvido 3. Fazer o gráfico da função x)x(f = -1. Solução. O gráfico de f é uma translação vertical do gráfico de xy = deslocado uma unidade para baixo. Usando o gráfico de xy = já obtido no exemplo resolvido 2, tem-se o gráfico de f na figura a seguir.. Exemplo Proposto 3. Fazer o gráfico da função x1)x(f −= . Cálculo I 41 Atividades de avaliação Os exercícios 3 e 9 do exercitando, são as respectivas questões 1 e 2 deste tópico. As questões 3 até 5 do trabalho, serão indicadas no subtópico seguin- te deste tópico. Nos exercícios 1 e 2, faça o gráfico da função indicada usando o grá- fico de :x2y 2= 1. ;2x2)x(f 2 +−= 2. .)1x(2)x(g 2−= Nos exercícios 3 e 4, faça o gráfico da função dada usando o gráfico da inversa e depois o de :xy = 3. ;1x)x(f −= 4. .1x1)x(g +−= Na figura a seguir está o gráfico de ,y x 1= que será justificado no subtópico 9.1. O gráfico é uma hipérbole (veja um texto sobre o estudo da equação de se- gundo grau – hipérbole, caso seja necessário) obtida pela rotação de 45 o (quarenta e cinco graus) no sentido anti-horário da hipérbole equilátera 2 2x y 2,− = onde suas assíntotas são os eixos coordenados. Nos exer- cícios 5 a 10, faça o gráfico da equação indicada: 5. ;2x 1y −= 6. ;x x31y += CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA42 7. ;2x 1y + = 8. ; x1 1y − − = 9. ;1x 1y − −= 10. .x2 2y − = Referências BARBOSA, Celso Antonio Silva. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol.1. Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007” E-mail: celso- casb@yahoo.com.br”. Capítulo 2 Exemplos de Funções Neste tópico serão introduzidos exemplos de funções reais de uma variável real juntamente com seus gráficos, que serão utilizadas nos exemplos e exercícios no decorrer do curso. Os gráficos a serem estudados, essencialmente serão decorrentes dos gráficos das equações de primeiro e segundo graus vistas na Geometria Analítica Plana. Além disso, será também apresentada a função cujo gráfico é conhecido como parábola cúbica e as funções seno e co-seno, cujo papel neste estágio é ampliar o universo de exemplos de funções. Uma função f é dita constante, se para todo valor de x e alguma constante c. Se f é a função definida por f x x( ) = para todo x, então f é chamada de função identidade. Uma função algébrica é uma função definida através de um número finito de operações envolvendo as funções constante e identidade. Essas operações são: adição, subtração, multiplica- ção, divisão, potenciação e radiciação. Por exemplo, a função definida por 2 33 ( 1) 2 5( ) 1 x x xf x x - - + = + é uma função algébrica. As funções polinomiais e racionais, que serão definidas a seguir, são casos particulares de funções algébricas. Uma função polinomial f é definida por uma equação da forma f x a x a x a x an n n n( ) ,= + + + +− − 1 1 1 0 onde n é um número inteiro maior ou igual a zero e ai (i n= 0 1 2, , ,..., ) é um número real fixo. Se an ≠ 0, então f é dita uma função polinomial de grau n. Para n = 0 tem-se f x a( ) = 0 e sendo n 1= obtém-se f x a x a( ) ,= +1 0 cujos gráficos são retas pois se tratam de equações de primeiro grau em x e y; se n 2= e 2a 0,≠ então cujo gráfico é uma parábola com eixo paralelo ao eixo Y. Os gráficos das funções polinomiais de grau n ≥ 3, não têm um mo- delo padronizado, como acontece com os gráficos das funções polinomiais de grau n com n = 0, 1, 2; apenas no caso particular da função polinomial de grau três que pode ser escrita na forma 3f (x) a(x b) c= − + onde a ≠ 0, o gráfico de f tem um formato padrão e é chamado de parábola cúbica. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA44 As curvas das duas figuras apresentam os possíveis modelos da parábola cúbica, de acordo com o valor positivo ou negativo do coeficiente "a" de (x-b)3 O ponto (b,c) é dito o ponto de inflexão da parábola cúbica e pode ser verificado a simetria do gráfico em relação ao ponto (b,c) . A verificação está proposta no exercício 29 do exercitando deste tópico. Os gráficos das funções polinomiais de grau n ≥ 3 em geral, poderão ser estudados no tópico 1 da aula 09, onde será visto que a parábola cúbica é o gráfico da citada fun- ção, veja os exemplos resolvido e proposto 1 do tópico 1 da aula 09. Exemplo Resolvido1. Fazer os gráficos das seguintes funções: (a) 1x2)x(f +−= com ;2x1 ≤≤− (b) 1x6x3)x(g 2 +−= com ;2x0 <≤ (c) .x)x(h 3= Solução. (a) O gráfico da função f seria uma reta se não houvesse nenhuma restrição aos valores de x, pois f é definida por uma equação de primeiro grau, assim limitando a variação de x ao intervalo ]2,1[− que é o domínio de f, tem-se o segmento de )3,1(− a )3,2( − como o gráfico de f e que está na figura a seguir. (b) O gráfico da função g seria uma parábola se não houvesse res- trição aos valores de x, pois g é uma função definida por uma equação polinomial de grau 2, logo limitando a variação de x ao intervalo )2,0[ que é o domínio de g, tem-se o arco da parábola do ponto )1,0( ao ponto )1,2( Cálculo I 45 , exceto o ponto )1,2( pois x não chega a ser igual a 2 no domínio de g (no gráfico este fato é indicado colocando uma pequena circunferência no lugar do ponto). O vértice da parábola é (1, 2),− marcando os pontos encon- trados e seguindo o modelo da parábola, tem-se o gráfico de g que está na figura a seguir. (c) O gráfico da função é uma parábola cúbica, onde comparando com a equação geral, tem-se ,1a = b 0= e c 0.= Assim, o ponto de inflexão do gráfico é (0,0) e o gráfico contém os pontos ( 1, 1)− − e (1,1). Marcando os pontos encontrados e seguindo o modelo da figura, obtém-se o gráfico de h que está na figura a seguir. Exemplo Proposto 1. Fazer os gráficos das seguintes funções: (a) 1x2)x(f −= com ;2x0 <≤ (b) 1x4x2)x(g 2 ++−= com ;1x1 ≤<− (c) .x)x(h 3−= Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais. Por exemplo, a função definida por , 1xx 2xx3)x(f 2 24 −+ +−= é uma função racional. O exemplo seguinte ilustra como obter o gráfico de uma função racio- nal, que através de uma simplificação da sua equação, esta se torna uma função polinomial de grau 2≤ e de grau 3 do tipo apresentado. No tópico 1 da aula 07, será visto como fazer os gráficos de funções racionais, em que não é possível fazer tal simplificação. CELSO ANTONIODA SILVA BARBOSA46 Exemplo Resolvido 2. Fazer os gráficos das funções: (a) ; 2x 4x)x(f 2 + −= (b) 3 2x x 4x 4g(x) . x 2 − − += − Solução. (a) Usando a fatoração 2 2a b (a b)(a b)− = − + com a x= e b 2,= obtém-se 2 2 2x 4 x 2 (x 2)(x 2).− = − = − + De outra forma é como a seguir: sendo x 2= − uma raiz da equação 2x 4 0,− = a expressão 2x 4− pode ser fatorada com um fator igual a x 2,+ assim a divisão de 2x 4− por x 2+ é exata, isto é, assim 2x 4 (x 2)(x 2).− = − + Portanto, tem-se 2 (x 2)(x 2)x 4f (x) x 2 se x 2. x 2 x 2 − +−= = = − ≠ − + + Logo, o gráfico de f é o gráfico da equação exceto o ponto em que x 2,= − ou seja, o gráfico de f é uma reta sem o ponto ( 2, 4)− − e que está na figura a seguir. A pequena circunferência no lugar do ponto significa que este ponto não faz parte da reta. (b) Sendo x 2= uma raiz da equação 3 2x x 4x 4 0,− − + = a expres- são 3 2x x 4x 4− − + pode ser fatorada com um fator igual a x 2,+ logo a divisão de 3 2x x 4x 4− − + por x 2+ é exata, isto é, Cálculo I 47 assim ( )3 2 2x x 4x 4 (x 2) x x 2 .− − + = − + − Logo 23 2 2(x 2)(x x 2)x x 4x 4g(x) x x 2 x 2 x 2 − + −− − += = = + − − − se x ≠ 2,assim o gráfico de g é o gráfico da equação 2y x x 2= + − sem o ponto em que x 2,= isto é, uma parábola sem o ponto (2, 4) e que se encontra na figura a seguir. Exemplo Proposto 2. Fazer os gráficos das seguintes funções: (a) ; 1x 1x)x(f 2 + −= (b) 3x 1g(x) . x 1 + = + O exemplo seguinte, ilustra como determinar os gráficos de algumas funções algébricas que não são polinomiais e nem racionais, pois as equa- ções que definem tais funções envolve radiciação. Exemplo Resolvido 3. Fazer os gráficos das fun ções: (a) ;x1)x(f 2−−= (b) ;2x)x(g −= (c) .x)x(h 3= Solução. (a) Observe que x está no domínio de f se ,0x1 2 ≥− ou seja, se .1x1 ≤≤− Fazendo 2x1y −−= e elevando ao quadrado os dois lados, resulta em ,x1y 22 −= daí .1yx 22 =+ O gráfico desta última equação é a circunferência de centro na origem e raio igual a 1. Logo, o gráfico da equação 2x1y −−= é a parte desta circunferên cia cujos pontos têm a segunda coordenada menor do que zero ou igual a zero (isto é, a semi- circun ferência abaixo do eixo X juntamente com os pontos ( 1,0)± ) e que está na figura a seguir. CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA48 (b) Um valor de x está no domínio de se x − ≥2 0, isto é, se x ≥ 2. Elevando os dois lados da equação y x= − 2 ao quadrado, obtém- -se y x2 2= − , assim x y= +2 2. O gráfico desta última equação é uma pa- rábola com o eixo na posição horizontal, assim o gráfico da função dada é a parte desta parábola cujos pontos têm a segunda coordenada maior do que zero ou igual a zero (isto é, a parte da parábola que está acima do eixo X juntamente com o ponto (2,0) ) e que está na figura a seguir. Observe que o gráfico de g é também uma translação horizontal do gráfico da função do exemplo resolvido 2 de 2.1. (c) Observe que o domínio de h é o conjunto dos números reais. Ele- vando ao cubo os dois lados da equação y x= 3 , obtém-se y x3 = , ou seja, x y= 3. Assim, a inversa de h é definida por h x x− =1 3( ) , cujo gráfico é a parábola cúbica obtida no exemplo resolvido 1(c) deste tópico. Pelas discussões efetuadas em 2.1, para ter o gráfico de h, basta fazer a reflexão do gráfico de em torno da reta y x= e que está na figura a seguir. Exemplo Proposto 3. Fazer os gráficos das seguintes funções: (a) ;1x)x(f 2 −= (b) ;x2)x(g −−= (c) .x)x(h 3−= Além de definir uma função usando as operações, também é possí- vel definir uma função usando outras funções da seguinte forma: sejam 21 fef funções com domínios ),f(De)f(D 21 respectivamente, tal que ,)f(D)f(D 21 ∅= então a função f cujo domínio é )f(D)f(D 21 e é definida por 1 1f (x) f (x) se x D(f )= ∈ e 2 2f (x) f (x) se x D(f ),= ∈ é chamada uma função definida por duas equações. É comum es- crever a função f na seguinte forma simplificada, 1 1 2 2 f (x) se x D(f ) f (x) . f (x) se x D(f ) ∈ = ∈ Cálculo I 49 Observe que a condição ∅=)f(D)f(D 21 é indispensável para que f esteja bem definida. Analogamente, pode-se definir uma função usando ou- tras três ou mais funções. Exemplo Resolvido 4. Fazer o gráfico da função 1 se x 1 f (x) . x 1 se x 1 − ≤ − = − > − Solução. O gráfico de f é formado pelos gráficos de cada uma das equações, considerando os respectivos intervalos em que x está variando. Assim, fazendo o gráfico de 1)x(f1 −= se e 1x)x(f2 −= se obtém-se o gráfico de f que está na figura a seguir. Exemplo Proposto 4. Fazer o gráfico da função 2x 4 se x 1 ou x 1 g(x) 3x se 1 x 0 3x se 0 x 1 ìï - <- ³ïïï= - £ <íïï - < <ïïî e concluir que está na figura a seguir. Uma função envolvendo valor absoluto é qualquer função definida por uma ou mais equações em que aparece o símbolo de valor absoluto. O exemplo seguinte, ilustra como obter o gráfico de algumas dessas funções. Exemplo Resolvido 5. Fazer os gráficos das funções: (a) f (x) x= (função valor absoluto); (b) 2g(x) | x 1 | .= - CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA50 Solução. (a) Observe que o domínio de f é o conjunto dos números reais. Usan- do a definição de valor absoluto, tem-se x se x 0f (x) , x se x 0 ≥= − < que reduz f a uma função definida por duas equações. Assim, fazendo os gráficos de x)x(f1 = se 0x ≥ e x)x(f2 −= se ,0x < tem-se o gráfico de f que está na figura a seguir. (b) Da definição de valor absoluto, obtém-se 2 2 2 2 2 2 x 1 se x 1 0 x 1 se x 1 ou x 1 g(x) . (x 1) se x 1 0 1 x se 1 x 1 − − ≥ − ≤ − ≥ = = − − − < − − < < Fazendo o gráfico de cada uma das equações de g, considerando as restrições aos valores de x, tem-se o gráfico da função g, que está na figura a seguir. Exemplo Proposto 5. Fazer o gráfico das funções: (a) ;1|x|)x(f +−= (b) .x|1x|)x(g 2−+= O símbolo [ ]b (lê-se, maior inteiro menor ou igual a b) é definido como o maior número inteiro que é menor ou igual a b. Por exemplo: [ ] ,− = −2 2 [ 2,3] 3,− = − [2] 2= e [2,5] 2.= Uma função envolvendo maior inteiro é qualquer função definida por uma equação em que aparece o símbolo maior inteiro. O exemplo seguinte, ilustra como obter os gráficos de algumas dessas funções. Cálculo I 51 Exemplo Resolvido 6. Fazer os gráficos das funções: (a) f (x) [x]= (função maior inteiro); (b) g x x x se x( ) [ ] .= + − ≤ <2 2 Solução. (a) O domínio de f é o conjunto dos números reais. Tomando, por exemplo, a variação de x no intervalo [ 3, 4),− tem-se que, sendo: 3 x 2− ≤ < − então f (x) 3,= − 2 x 1− ≤ < − então f (x) 2,= − 1 x 0− ≤ < então f (x) 1,= − 0 x 1≤ < então f (x) 0,= 1 x 2≤ < então f (x) 1,= 2 x 3≤ < então f (x) 2,= 3 x 4≤ < então f (x) 3;= portanto, obtém-se o gráfico de f que está na figura a seguir. (b) Tem-se que, sendo: 2 x 1− ≤ < − então [x] 2= − e g(x) 2 x,= − + 1 x 0− ≤ < então [x] 1 e g(x) 1 x,= − = − + 0 x 1≤ < então [x] 0 e g(x) x,= = 1 x 2.≤ < então [x] 1 e g(x) 1 x.= = + Fazendo o gráfico de cada uma das partes e considerando as respecti- vas variações de x, obtém-se o gráfico de g que está na figura a seguir CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA52 Exemplo Proposto 6. Fazer os gráficos das funções: (a) ;]x[)x(f −= (b) .2x2sex]x[)x(g <≤−−= se .2x2sex]x[)x(g <≤−−= São consideradas como funções transcendentes, as funções trigono- métricas, logarítmicas, hiperbólicas e as inversas de tais funções; ou ainda, as funções obtidas através de um número finito de operações envolvendo tais funções. As funções trigonométricas seno e co-seno serão definidas a seguir, a fim de que possam ser utilizadas em exemplos e exercícios, as demais fun- ções transcendentes serão estudadas posteriormente. DICA. Leia um texto sobre “Ângulo, Medidas de Ângulos
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