Regras de L'Hôpital e Integração

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Explicação: Neste limite, temos uma forma de indeterminação do tipo \( \infty/\infty \). 
Podemos usar a regra de L'Hôpital, que afirma que o limite de uma função pode ser igual 
ao limite da derivada da função, desde que ambos os limites existam e o limite da 
derivada seja uma forma indeterminada do tipo \( \infty/\infty \) ou \( 0/0 \). Ao aplicar a 
regra de L'Hôpital uma vez, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{3e^{3x}}{1} \), o que 
claramente tende a \( \infty \) à medida que \( x \) se aproxima do infinito. 
 
472. Se \( f(x) = \frac{1}{x^2} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: a) \( -\frac{2}{x^3} \) 
 Explicação: Podemos aplicar a regra do poder inverso para encontrar a derivada. A 
derivada de \( x^{-2} \) é \( -2x^{-3} \), que pode ser reescrito como \( -\frac{2}{x^3} \). 
 
473. Qual é a integral indefinida de \( e^x \cos(x) \) com respeito a \( x \)? 
 Resposta: b) \( e^x \cos(x) + C \) 
 Explicação: Essa é uma integração por partes, onde \( u = e^x \) e \( dv = \cos(x) \). 
Aplicando a regra \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), obtemos \( e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) \, 
dx \). Agora, a integral restante é \( -e^x \sin(x) + \int e^x \cos(x) \, dx \). Somando \( e^x 
\cos(x) \) a ambos os lados, obtemos \( e^x \cos(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) + \int e^x 
\cos(x) \, dx \), o que nos dá \( \int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) + C \). 
Claro, posso criar uma série de questões de múltipla escolha em matemática. Aqui estão 
100 delas: 
 
1. Qual é o valor de \( 2^4 \times 3^2 \)? 
 - a) \( 144 \) 
 - b) \( 64 \) 
 - c) \( 128 \) 
 - d) \( 81 \) 
 
 **Resposta:** a) \( 144 \). 
 **Explicação:** \( 2^4 \) é igual a \( 16 \) e \( 3^2 \) é igual a \( 9 \). Multiplicando \( 16 \) 
por \( 9 \), obtemos \( 144 \). 
 
2. Se \( x = 3 \) e \( y = 5 \), qual é o valor de \( x^2 - y^2 \)? 
 - a) \( -16 \) 
 - b) \( 4 \)