m Complexo-130

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19. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{4x^2 - 2x + 5} \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{3}{4} \) 
 
 Resposta: c) \( \frac{1}{2} \) 
 Explicação: Para determinar o limite, dividimos todos os termos por \( x^2 \) para obter \( 
\frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}} \). Como \( x \) se aproxima 
do infinito, os termos com \( \frac{1}{x} \) e \( \frac{1}{x^2} \) se tornam insignificantes, e o 
limite resultante é \( \frac{1}{2} \). 
 
20. Qual é o valor de \( \int \frac{1}{x} \, dx \)? 
 a) \( \ln(x) \) 
 b) \( \ln(|x|) \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( x \ln(x) \) 
 
 Resposta: a) \( \ln 
 
(x) \) 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln(x) \) mais uma constante de integração. 
 
21. Qual é o valor de \( \sum_{k=0}^{n} 2^k \)? 
 a) \( 2^n \) 
 b) \( 2^{n+1} - 1 \) 
 c) \( 2^{n+1} \) 
 d) \( 2^{n+2} - 1 \) 
 
 Resposta: b) \( 2^{n+1} - 1 \) 
 Explicação: Esta é uma soma geométrica finita, e sua fórmula é \( \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} 
\), onde \( a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. No caso \( a = 1 \) e \( r = 2 \), então \( 
\sum_{k=0}^{n} 2^k = \frac{1(1 - 2^{n+1})}{1 - 2} = 2^{n+1} - 1 \).