Exerc05-VA_discretas

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MAE0127 - Lista de exerćıcios 5
Profa. Beti Os exerćıcios assinalados com l serão resolvidos em sala
Entregar os 4 exerćıcios assinalados com ♣ em 26.abril.2024 - ińıcio da aula
Os exerćıcios assinalados com ♢ podem ser feitos depois.
1. l Uma prova de múltipla escolha é composta por oito questões e três alternativas para cada
questão, das quais apenas uma é correta. Um aluno responde a cada pergunta lançando um
dado equilibrado e marca a primeira resposta se sai 1 ou 2, a segunda resposta se sai 3 ou 4
e a terceira resposta se sai 5 ou 6. Calcule a probabilidade de que
(a) o aluno obtenha a pontuação máxima da prova (use 3 casas decimais);
(b) o aluno obtenha exatamente seis respostas incorretas (use 3 casas decimais);
(c) o aluno obtenha mais de duas e menos de sete respostas corretas (use 3 casas decimais).
(d) Calcule o número esperado de respostas corretas e o desvio padrão do número de respostas
corretas (use 1 casa decimal).
Para resolver os itens acima, defina uma variável aleatória Y (descrevendo o que ela re-
presenta). Se a identificou como um dos principais modelos probabiĺısticos, especifique
a sua distribuição. Expresse cada probabilidade solicitada em termos de Y e a calcule.
2. Considere as funções g(y) = sy para algum s ∈ IR e h(y) = ety para algum t ∈ IR. Calcule
G(s) = E[g(Y )] = E
(
sY
)
e M(t) = E[h(Y )] = E
(
etY
)
para as variáveis abaixo, e indique, se
for o caso, para quais valores de s e/ou t, G(s) e/ou M(t) são finitas.
(a) l Y ∼ Bernoulli(p)
(b) l Y ∼ Binomial(n, p)
(c) ♣ Y ∼ Poisson(λ), λ > 0 fixado
(d) ♣ Y ∼ Geométrica(p)
3. Suponha que um conjunto de 100 itens contenha 6 itens defeituosos e 94 que funcionem
normalmente. Se X é o número de itens defeituosos em uma amostra de 10 itens escolhidos
aleatoriamente do conjunto, determine P (X = 0) e P (X > 2).
4. ♣ A pessoa responsável pelo controle da qualidade de uma linha de produção examina as peças
fabricadas. A probabilidade de encontrar uma peça defeituosa em cada inspeção é 0,05. Se
achar uma peça defeituosa, ela pára a produção para detectar e corrigir as causas do defeito.
Se, após inspecionar 10 peças, nenhuma for defeituosa, ela mantém a linha em operação.
(a) Qual é a probabilidade da produção ser parada antes que a 5a. peça seja examinada?
(b) Qual é a probabilidade da produção não precisar ser parada?
1
5. Seja X uma variável aleatória binomial com valor esperado 6 e variância 2,4.
Determine P (X = 5).
6. Calcule E
(
1
Y + 1
)
em que Y ∼ Poisson(λ), λ > 0.
7. Suponha que a média de telefonemas realizados em uma central de telemarketing seja 30
telefonemas por hora. Considere também que o número de telefonemas durante um intervalo
de tempo qualquer tenha distribuição de Poisson.
(a) Calcule a probabilidade de que nenhum telefonema ter sido realizado num intervalo de
3 minutos.
(b) Calcule a probabilidade de que haja mais de dois telefonemas num intervalo de 5 minutos.
8. l O número de defeitos numa fita magnética segue uma distribuição de Poisson com taxa de
1 defeito por cada 2.000 metros de fita.
(a) Qual é a probabilidade de que um rolo de fita de 3.000 metros apresente algum defeito ?
(b) Se um rolo com 6.000 m de fita é encomendado, qual é a probababilidade de se ter mais
de que 1 defeito neste rolo ?
9. ♣ O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma
distribuição de Poisson, com λ = 2 petroleiros/dia. As atuais instalações podem atender, no
máximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso é enviado a outro
porto.
(a) Qual é o número médio de petroleiros que chegam por dia?
(b) Em um dia, qual é a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
(c) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios
que chegarem pelo menos em 95% dos dias?
10. As cinco primeiras repetições de um experimento custam R$ 10,00 cada uma e todas as
repetições subsequentes custam R$ 5,00 cada. O experimento é repetido até que o primeiro
sucesso ocorra, sendo as repetições independentes. Suponha que a probabilidade de sucesso
em qualquer repetição seja 0,6.
(a) Encontre a distribuição de probabilidade do custo total.
(b) Calcule o custo total esperado e o desvio padrão do custo.
2
11. ♣ A probabilidade de um lançamento bem sucedido de foguete é igual a 0,8. Suponha que
tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos.
(a) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 tentativas sejam necessárias?
(b) Qual é a probabilidade de que menos de 5 tentativas sejam necessárias?
(c) Qual é a distribuição de probabilidade da variável X = número de tentativas até a
ocorrência do 3º sucesso?
(d) Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até a ocorrência do r−ésimo sucesso.
Qual a distribuição da variável Y = número de tentativas até a ocorrência do r−ésimo
sucesso?
12. l O número médio mundial de acidentes com aviões comerciais é 3,5 por mês. Calcule a
(a) probabilidade de haver pelo menos 2 acidentes aéreos deste tipo no próximo mês;
(b) probabilidade de haver pelo menos 1 acidente deste tipo nos próximos 2 mêses.
Descreva as suposições que você fez para resolver este problema.
13. Seja X ∼ binomial(n, p) com E(X) = 12 e V ar(X) = 3. Determine:
(a) n e p; (b) E(Z) e V ar(Z) em que Z = (X − 12)/
√
3;
(c) P (Y ≥ 14/16) para Y = X/n.
14. Um jogo consiste no lançamento de um dado equilibrado com a seguinte regra: em cada jogada
(lançamento do dado), o jogador paga a uma banca R$ 1 para jogar e ganha R$ 1 se der face
4 ou 5; e ganha R$ 2 se der face 6. Nos demais resultados, ele não ganha nada.
(a) Seja X o saldo do jogador em uma jogada. Determine a f.d.p. de X.
(b) Calcule o saldo esperado de X e responda se esse jogo é honesto (saldo esperado zero)
ou se o jogo favorece a banca ou favorece o jogador.
15. Compare as aproximações pela Poisson com as probabilidades binomiais exatas para os se-
guintes casos.
(a) P (X = 2) quando n = 8, p = 0, 1;
(b) P (X = 9) quando n = 10, p = 0, 95;
(c) P (X = 0) quando n = 10, p = 0, 1;
(d) P (X = 4) quando n = 9, p = 0, 2.
16. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de
0,2. Se 10 itens produzidos por esta máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade
de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Calcule usando a distribuição binomial
e a distribuição de Poisson apropriadas, e compare os resultados.
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17. ♢ Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros (n, p). Qual é o valor de p que
maximiza P (X = k), k = 0, 1, . . . , n ?
(Este é um exemplo de um método estat́ıstico para estimar o valor de p quando observamos
uma v.a. binomial com valor k. Assumimos que n é conhecido e queremos estimar p de
maneira que maximize P (X = k). Esse método é conhecido como estimação de máxima
verossimilhança).
Sugestão: tome o logaritmo lnP (X = k), pois o ponto de máximo será o mesmo, embora
os valores máximos sejam diferentes.
18. ♢ Seja X ∼ Poisson(λ), λ > 0.
(a) Qual é o valor de λ que maximiza P (X = k), k = 0, 1, . . . ?
(b) Mostre que P (X = n) cresce monotonamente e então decresce monotonamente quando
n cresce, tendo seu valor máximo quando n é o maior inteiro menor ou igual a λ. (Dica:
calcule P (X = n)/P (X = n+ 1).)
19. ♢ Para uma v.a. discreta, inteira e não-negativa X, mostre que
∞∑
k=0
kP (X > k) =
1
2
[
E(X2)− E(X)
]
Sugestão:
∞∑
k=0
k P (X > k) =
∞∑
k=0
k
∞∑
j=k+1
P (X = j), e troque a ordem das somatórias. Atenção
nos ı́ndices ao trocar a ordem.
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