Lista_5

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Universidade Federal de Sa˜o Carlos
Campus de Sorocaba
Probabilidade e Estat´ısitca
- Lista de exerc´ıcios 5 -
Curso: Cieˆncia da Computac¸a˜o
Prof. Dr. Ju´lio Ce´sar Pereira
Nos seguintes exerc´ıcios identifique qual e´ a varia´vel aleato´ria para cada experimento
assim como os valores que pode tomar, a distribuic¸a˜o de probabilidade associada a cada varia´vel
para depois calcular as probabilidades.
Distribuic¸a˜o Binomial
1. Um aluno se apresenta a uma prova que conte´m 8 perguntas, cada pergunta com 3 respostas
opcionais. Suponha que um aluno esta´ respondendo “no chute”. Se para ser aprovado ele deve
responder corretamente 6 ou mais perguntas. Qual e´ a probabilidade do aluno ser aprovado?
2. Os registros de uma pequena empresa indicam que 30% das faturas expedidas sa˜o pagas apo´s
o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual e´ a probabilidade de exatamente treˆs serem pagas
com atraso?
3. Ontem 80% das ac¸o˜es mais negociadas na bolsa de valores Alpha Beta ca´ıram de prec¸o.
Suponha que voceˆ tenha uma carteira com 20 dessas ac¸o˜es e que as ac¸o˜es que perderam valor
tenham distribuic¸a˜o binomial.
Calcule:
a) A probabilidade de que tenha ca´ıdo de prec¸o exatamente 15 dessas ac¸o˜es.
b) Calcular a me´dia e a variaˆncia das ac¸o˜es que tem na carteira.
4. Voceˆ esta´ cac¸ando a baleia Moby Dick. Diariamente voceˆ despacha de seu navio um barco
com arpoadores. Ha´ uma probabilidade de 23 de um desses barcos naufragar em um dia qualquer.
Voceˆ planeja cac¸ar Moby Dick por 4 dias. Qual e´ a probabilidade de perder 3 barcos ou mais?
5. Quantas vezes devemos jogar uma moeda para que a probabilidade de aparecerem ao menos
2 caras seja superior a 12?
6. Qual e´ a probabilidade de dois dos treˆs pro´ximos presidentes terem nascidos em um domingo?
7. As ma´quinas A e B produzem, em me´dia 5% e 10% de pec¸as defeituosas respectivamente.
Qual e´ a probabilidade de que a amostra obtida da produc¸a˜o da ma´quina A tenha exatamente
uma pec¸a defeituosa e a amostra correspondente a ma´quina B contenha duas pec¸as defeituosas?
8. Seja a varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o binomial de pareˆmetros n e p, isto e´, x ∼ b(n, p).
Mostre que o valor esperado da varia´vel aleato´ria X e´ E(X) = np.
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Dica: use o fato que (a+ b)n =
∑n
k=0
 n
k
 akbn−k.
9. A AIDS e´ uma doenc¸a que afeta 1% de uma populac¸a˜o grande. Suponha que escolhemos n
pessoas aleatoriamente dessa populac¸a˜o.
a) Qual e´ a probabilidade de que nenhuma das n pessoas sejam portadores do v´ırus
HIV?
b) Que tamanho deve ter a amostra n, para que esta probabilidade seja menor ou
igual a 10%?
Distribuic¸a˜o Poisson
10. Numa linha condutora de a´gua de 60 km de extensa˜o, o nu´mero de vazamentos no per´ıodo
de um meˆs segue distribuic¸a˜o Poisson de paraˆmetro λ = 4. Qual a probabilidade de ocorrer,
durante um meˆs, pelo menos um vazamento em certo setor de 3 km de extensa˜o?
11. Supondo que o nu´mero de carros que chegam a uma fila de guicheˆ de um peda´gio pos-
sua distribuic¸a˜o Poisson, a uma taxa de treˆs carros por minuto, determine a probabilidade de
chegaram quatro carros nos pro´ximos dois minutos.
12. Se a varia´vel aleato´ria Y possui distribuic¸a˜o Poisson com me´dia λ > 0, mostre que:
P (Y = k + 1) = (
λ
k + 1
)P (Y = k) onde k = 0, 1, 2, . . . , n
13. Seja a varia´vel aleato´ria discreta Y com distribuic¸a˜o Poisson de paraˆmetros ”λ”. Pede-se
mostrar que a esperanc¸a matema´tica e´ igual a variaˆncia da varia´vel aleato´ria Y.
Dica: usar o fato que
∑∞
x=0(
λx
x!
) = eλ.
14. Sabe-se que em certo supermercado vende-se cerveja Skol em me´dia de 10 caixas por hora
durante o per´ıodo de maior venda. Qual a probabilidade de que se venda pelo menos 1 caixa
durante os primeiros seis minutos no per´ıodo de maior venda?
15. Uma indu´stria de tintas recebe pedidos de seus vendedores atrave´s de fax, telefone e internet.
O nu´mero de pedidos que chegam por qualquer meio (no hora´rio comercial) e´ uma varia´vel
aleato´ria discreta com distribuic¸a˜o Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.
15.1) Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora.
15.2) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
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