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nsão radial seja a mesma para o cilindro e para as expa Mostre que essa relação é f/t11 = (2 - v)/(1 - v). que 0 vaso é feito, do mesmo mat.eri.al e que am e semiesferas, tem o mesmo raiO mterno. Se a do cilindro for 12 mm, qual será a espessura exigi as semiesferas? Considere v = 0,3. Problema 10.55 tubo de aço A -36 está sujeito à carga axial de 60 kN. a mudança no volume do material após a aplica carga. 30 mm 40 mm 1---- 0,S m-----1 Problema 10.56 A cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alumí líquido. Quando frio, o líquido fica a 0,3 mm da parte cavidade. Se essa parte superior for coberta e a tem aumentar l10°C, determine as componentes da tensão tl;,•"r eu, no alumínio. Dica: Use a Equação 10.18 com um termo lldieional a8T para a deformação (Equação 4.4). A cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alu ll!fulo 6061-T6 líquido. Quando fiio, o líquido fica a 0,3 mm da .J!Iírte superior da cavidade. Se essa parte superior não for coberta �- temperatura aumentar l10°C, determine as componentes da lflll'onnação E,, EY e Ez no alumínio. Dica: Use as Equações 10.18 í!{lm um termo adicional aô.Tpara a deformação (Equação 4.4). z I 0,3 mm Problemas 10.57/58 � -----.. ·· · ·& . . · OOmml il51mm --L . y TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 387 10.59. O vaso de pressão cilíndrico de parede fina com raio interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p. Se as constantes do material forem E e v, determine as deformações nas direções circunferencial e longitudinal. Com esses resultados, calcule o aumento no diâmetro e no comprimento de um vaso de pressão de aço cheio de ar e sob pressão manométrica de 15 MPa. O vaso tem 3 m de comprimento, raio interno de 0,5 m e espessura da parede de 10 mm. E aço = 200 GPa, v aço = 0,3. *10.60. Estime o aumento no volume do tanque do Proble ma 10.59. Dica: Use os resultados do Problema 10.54 como confirmação. Problemas 10.59/60 10.61. Um material macio está confinado no interior de um cilindro rígido que repousa sobre um suporte rígido. Consi derando que Ex = O e E Y = O, determine qual será o fator de aumento do módulo de elasticidade quando é aplicada uma carga, se v = 0,3 para o material. z I p X y Problema 10.61 10.62. Um vaso de pressão esférico de parede fina com raio interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p. Mostre que o aumento de volume no interior do vaso é ô. V = (2p7Tr4/Et)(1 - v). Use uma análise de pequenas deformações. *1 0 .7 Teo rias de fa l has Quando um engenheiro enfrenta o problema de executar um projeto utilizando um material específi co, torna-se importante estabelecer um limite superior para o estado de tensão que define a falha do mate- 388 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS rial. Se o material for dúctil, normalmente a falha será especificada pelo início do escoamento, ao passo que se for frágil, isso ocorrerá pela ruptura. Esses modos de falha são definidos prontamente se o elemento es trutural estiver sujeito a um estado de tensão uniaxial, como no caso de tensão simples; todavia, se o elemen to estrutural estiver sujeito a tensão biaxial ou triaxial, será mais difícil definir um critério para a falha. Nesta seção, discutiremos quatro teorias frequente mente utilizadas na prática da engenharia para prever a falha de um material sujeito a um estado de tensão multiaxial. Essas teorias, e outras como elas, também são usadas para determinar as tensões admissíveis informadas em muitos manuais e códigos de projeto. Porém, não existe nenhuma teoria de falha única que possa ser aplicada a um material específico todas as ve zes, porque um material pode comportar-se como dúc til ou frágil dependendo da temperatura, taxa de carre gamento, ambiente químico ou processo de fabricação ou moldagem. Quando usamos uma determinada te oria de falha, em primeiro lugar é necessário calcular as componentes da tensão normal e de cisalhamento em pontos do elemento estrutural onde essas tensões são maiores. Para esse cálculo, podemos usar os funda mentos da resistência dos materiais ou utilizar fatores de concentração de tensão onde aplicável ou, em situa ções complexas, determinar as maiores componentes da tensão por análise matemática baseada na teoria da elasticidade ou por uma técnica experimental adequa da. Seja qual for o caso, uma vez definido esse estado de tensão, as tensões principais nesses pontos críticos serão determinadas, uma vez que cada uma das teorias apresentadas a seguir é baseada no conhecimento das tensões principais. Materiais dúcteis Teoria tensão máxima. A cau sa mais comum do escoamento de um material dúctil como o aço é o deslizamento, que ocorre ao longo dos planos de conta to dos cristais orientados aleatoriamen te e que formam o material. Esse deslizamento deve-se à tensão de cisalhamento e, se submetermos um corpo de prova com o formato de uma tira fina com alto po limento a um ensaio de tração simples, poderemos ver como essa tensão provoca o escoamento do material (Figura 10.28). As bordas dos planos de deslizamento que aparecem na superfície da tira são denominadas linhas de Liider. Essas linhas indicam claramente os planos de deslizamento na tira, que ocorrem a aproxi madamente 45° em relação ao eixo da tira. Considere agora um elemento do material tomado de um corpo de prova de ensaio de tração e que este ja sujeito somente à tensão de escoamento O'e (Figura 10.29a) .A tensão de cisalhamento máxima pode ser de terminada traçando-se um círculo de Mohr para o ele mento (Figura 10.29b ). Os resultados indicam que Linhas de Lüdet em uma tira de aço doce Figura 10.28 O' e Tmáx = l (10.26) Além do mais, essa tensão de císalhamento age em planos que estão a 45° em relação aos planos de tensão principal (Figura 10.29c), e esses planos coincidem com a direção das linhas de Lüder mostradas no corpo de prova, indicando que, de fato, a falha ocorre por cisalhamento. Usando essa ideia de que os materiais dúcteis fa lham por cisalhamento, Henri Tresca propôs, em 1868, a teoria da tensão de cisalhamento máxima, ou cri· tério de escoamento de Tresca. Essa teoria pode ser usada para prever a tensão de falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga. A teoria da ten são de cisalhamento máxima afirma que o escoamento do material começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta no material atinge a tensão de ci salhamento que provoca o escoamento desse mesmo material quando sujeito somente a tensão axial. Por tanto, para evitar falha, a teoria da tensão de cisalha mento máxima exige que T , b no material seJ' a menor max a s ou igual a O' /2, onde O' é determinada por um ensaio de tração si�ples. e Para aplicar a teoria, expressaremos a tensão de cisalhamento máxima absoluta em termos das tensõe5 principais. O procedimento para tal foi discutido na Seção 9.7 com referência à condição de estado plano de tensão, isto é, na qual a tensão principal fora do pla no é nula. Se as duas tensões principais no plano tiv<> rem o mesmo sinal, isto é, forem ambas de tração nu de compressão, a falha ocorrerá fora do plano e, Equação 9. 15, Por outro lado, se as tensões principais no plano verem sinais opostos, a falha ocorrerá no plano e, Equação 9. 16, r : Tmáx = abs (J' máx - (J' mín 2 por essas equações e pela 10.26, a teoria da tensão · alhamento máxima para o estado plano de tensão CIS , d _ , . ser expressa para qumsquer uas tensoes pnncl- país no plano como (J' 1 e (J' 2 pelos seguintes critérios: I (J' 1l == (J'e } (J' (J' têm os mesmos sinais I 1' 2 I (J' 2 == (J'e I(J'l _ (J'zl == (J'e } (J'l' (J'2 têm sinais opostos (10.27) A Figura 10.30 apresenta um gráfico dessas equa ções. Fica claro que, se qualquer ponto do material es tiver sujeito ao estado plano de tensão e suas tensões principais no plano forem representadas por uma co ordenada ( (J' 1' (J' 2) marcada no contornoou fora da área hexagonal mostrada nessa figura, o material escoará no ponto e diz-se que ocorrerá a falha. T T (a) T y' Ue x' "'-. Tmáx = T / - � ""' ) �méd - 2 45° (c) Figma 10.29 TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 389 uz Teoria da tensão de cisalhamento máxima Figma 10. 30 Teoria da energia de distorção máxima. Na Seção 3.5, afirmamos que um material, quando de formado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em todo o volume. A energia por unidade de volume do material é denominada densi dade de energia de deformação, e, se o material estiver sujeito a uma tensão uniaxial, (J', a densidade de ener gia de deformação, definida pela Equação 3. 6, pode ser expressa como (10.28) É possível formular um critério de falha com base nas distorções causadas pela energia de deformação. Antes disso, entretanto, precisamos determinar a den sidade de energia de deformação em um elemento de volume de material sujeito às três tensões principais, (J'1, (J'2 e (J'3 (Figura 10. 31a) . Aqui, cada tensão principal contribui com uma porção da densidade de energia de deformação total, de modo que Se o material comportar-se de maneira linear elás tica, a lei de Hooke será aplicável. Portanto, substituin do a Equação 10. 18 na equação acima e simplificando, obtemos (10.29) Essa densidade de energia de deformação pode ser considerada como a soma de duas partes, uma que re presenta a energia necessária para provocar uma mu dança de volume no elemento sem mudar a forma do elemento e outra que representa a energia necessária para distorcer o elemento. Especificamente, a energia armazenada no elemento como resultado da mudan ça em seu volume é causada pela aplicação da tensão 390 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS principal média, uméct = (u1 + u2 + u3)/3, visto que essa tensão provoca deformações principais iguais no material (Figura 10. 31b ). A porção remanescente da tensão, ( (T 1 - (T méd) , ( (T 2 - (T méd) , ( (]"3 - (T méd) , provoca a energia de distorção (Figura 10.31c). Evidências experimentais mostram que materiais não escoam quando submetidos a uma tensão (hidros tática) uniforme, como u méct que acabamos de discutir. O resultado é que, em 1904, M. Huber propôs que o (a) 1 1 (b) + (c) Figura 10. 31 escoamento em um material dúctil ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume do mate rial é igual ou ultrapassa a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando sub. metido a escoamento em um ensaio de tração simples. Essa teoria é denominada teoria da energia de dis torção máxima e, visto que mais tarde foi redefinida independentemente por R. von Mises e H. Hencky, às vezes ela também porta os nomes desses cientistas. Para obter a energia de distorção por unidade de vo lume, substituiremos as tensões (a_-1 - (T méd) , (u2 - a méd), (u3 - u méct) por u1, u2 e u3, respectlvamente, na Equação 10.29, percebendo que u méct = (u1 + u2 + u)/3. Expan dindo e simplificando, obtemos No caso da tensão plana, u3 = O, essa equação re duz-se a Para um ensaio de tração uniaxial, u1 = u0, a2 = u3 = O e, portanto, Como a teoria da energia de distorção máxima exi ge que ua = (ua)e, então, para o caso de tensão no pla no ou biaxial, temos (10.30) Essa equação representa uma curva elíptica (Figura 10.32).Assim, se um ponto no material sofrer uma tensão tal que a coordenada da tensão é marcada no contorno ou fora da área sombreada, diz-se que o material falha. Teoria da energia de distorção máxima Figura 10. 32 u2 Cisalhamento puro Figura 10.33 Uma comparação entre os dois critérios de falha que descrevemos até aqui é mostrado na Figura 10.33. Observe que ambas as teorias dão os mesmos resul tados quando as tensões principais são iguais, isto é, pelas equações 10.2? e _ 10.?0, 0'1 .= O" 2 = O" e ou, quando uma das tensões pnnc1pms for Igual a zero e a outra tiver valor ue. Por outro lado, se o material for subme tido a cisalhamento puro, r, então as teorias demons tram a maior discrepância na previsão da falha. As coordenadas da tensão desses pontos sobre as curvas foram determinadas considerando o elemento mostra do na Figura 10.34a. Pelo círculo de Mohr associado para esse estado de tensão (Figura 10. 34b ), obtemos as tensões principais 0'1 = r e 0'2 = - r. Aplicando as equações 10.27 e 10.30, a teoria da tensão de cisalha mento máxima e a teoria da energia de distorção máxi ma produzem (]' 1 = (]' /2 e (]' 1 = (]'e V3' respectivamente (Figura 10.33). Ensaios de torção reais, usados para desenvolver uma condição de cisalhamento puro em um corpo de prova dúctil, mostraram que a teoria da energia de distorção máxima dá resultados mais precisos para falha por cisalhamento puro do que a teoria da ten são de cisalhamento máxima. Na verdade, visto que ((J'/'/3)/(0"/2) = 1,15, a tensão de cisalhamento para escoamento do material, como dada pela teoria da energia de distorção máxima, é 15% mais precisa do que a dada pela teoria da energia da tensão de cisalha mento máxima. u2 = -r l 'T 1 A (r, O) (a) T (b) Figura 10.34 TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 391 Materiais frágeis Teoria da tensão normal máxima. Afirmamos an teriormente que materiais frágeis, como ferro fundido cinzento, tendem a falhar repentinamente por ruptu ra, sem nenhum escoamento aparente. Em um ensaio de tração, a ruptura ocorre quando a tensão normal atinge o limite de resistência O" r (Figura 10.35a) . Além disso, em um ensaio de torção, a ruptura frágil ocorre devido à tensão de tração máxima, desde que o plano de ruptura para um elemento esteja a 45° em relação à direção de cisalhamento (Figura 10.35b). Portanto, a superfície de ruptura é helicoidal, como mostra a fi gura.* Testes experimentais mostraram também que, durante torção, a resistência do material não é muito afetada pela presença da tensão principal de compres são associada que está em ângulo reta em relação à tensão de tração principal. Por consequência, a tensão de tração necessária para romper um corpo de pro va durante um ensaio de torção é aproximadamente a mesma necessária para romper um corpo de prova sob tensão simples. Por causa disso, a teoria da tensão normal máxima afirma que um material frágil falha rá, quando a tensão principal máxima O" 1 no material atingir um valor limite igual ao limite de resistência à tensão normal que o material pode suportar quando submetido à tração simples. Se o material estiver sujeito ao estado plano de ten são, exige-se que Falha de um material frágil sob tração (a) I0'1 I = O'r IO"z l = O"r Falha de um material frágil sob torção (b) Figura 10. 35 (10.31) Um pedaço de giz escolar quebra desse modo quando suas extre midades são torcidas com os dedos. 392 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS (J2 Teoria da tensão normal máxima Figura 10. 36 Essas equações são mostradas no gráfico da Figu ra 10.36. Aqui, vemos que, se a coordenada da tensão (a a ) em um ponto no material cair sobre o contor-1' 2 • • 1 no ou fora da área sombreada, diz-se que o matena sofreu ruptura. Essa teoria é geralmente atribuída a W. Rankine, que a propôs em meados do século XIX. Constatou-se, por meios experimentais, que a teoria está de acordo com o comportamento de materiais frágeis cujos diagramas tensão-deformação são seme lhantes sob tração e sob compressão. Critério de falha de Mohr. Em alguns materiais frágeis, as propriedades sob tração e sob compressão são diferentes. Quando isso ocorre, podemos usar um critério baseado na utilização do círculo de Mohr para prever a falha do materi�l . Esse n;étodo f?i de senvolvido por Otto Mohr e, as vezes, e denommado critério de falha de Mohr. Para aplicá-lo, em primeiro lugar é preciso realizar três ensaios no material. Um ensaio de tração uniaxial e um ensaio de compressão uniaxial são usados para determinar o limite de resis tência às tensões de tração e compressão,(a , ) 1 e (a , ) c' respectivamente. Além disso, é realizado um ensaio de torção para determinar o limite de resistência à tensão de cisalhamento Tr do material. Em seguida, é construído o círculo de Mohr para cada uma dessas condições de tensão, como mostra a Figura 10. 37. O círculo A representa a condição de tensão a1 = a2 = O, a = - (a ) · o círculo B representa as condições de 3 r c' tensão a 1 = (a,) 1, a 2 = a 3 = O; e o círculo C representa a condição de tensão de cisalhamento puro provoca da por T • Esses três círculos estão contidos em um 'envelop� de falha' indicado pela curva em cinza ex trapolada, desenhada na tangente a todos os três cír culos. Se uma condição de tensão plana em um ponto for representada por um círculo que estiver contido no interior do envelope, diz-se que o material não fa lhará. Todavia, se o círculo for tangente ao envelope em um ponto, ou estender-se para fora de seu contor no, então diz-se que ocorrerá falha. T Envelope de falha B Figura 10. 37 Critério de falha de Mohr Figura 10. 38 Também podemos representar esse critério em um gráfico de tensões principais u1 e u2(u3 = 0), mostrado na Figura 10.38. Aqui, ocorre falha quando o valor ab· soluto de qualquer uma das tensões principais atinge um valor igual ou maior do que (1J,) 1 ou (u,)c ou, �m geral, se o estado de tensão em um ponto for defimdo pela coordenada da tensão (ul' uz) , marcada sobre 0 contorno ou fora da área sombreada. Qualquer um desses dois critérios pode ser usado , ' I na prática para prever a falha de um n:�terial :rag�: Todavia, devemos entender que sua utilidade e b?. tante limitada. Uma ruptura por tração ocorre mwto repentinamente e, em geral, seu i�ício dep�nde �e. c�:� centrações de tensão desenvolvidas em ImpetfelÇ . . d . 1 . 1 - es ou vazws. microscópicas o matena como me uso d entalhes na superfície e pequenas trincas. Como ca a uma dessas irregularidades varia de um corpo de pro� va para outro torna-se difícil especificar a falha com base em um ú�ico ensaio. Por outro lado, trincas e ou· . do o cOI· tras irregulandades tendem a fechar-se quan . - f rma!11 os Po de prova é comprimido e, portanto, na o o . bmete n pontos de falha que formanam quando se su corpo de prova à tração. c a n d TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 393 dúctil, á falha será especificada pelo iúício do escoamento; se for frágil, será eEpeci1icada ;pela no,ae lSta definida quando ocorre deslizamertto entre os cristais que compõem o material. Esse desliza tensão de cisalhamento e a teoria da tensão de cisalhamento máxima é baseada nessa ideia. tl(J defm•mlu , :ao é armazenada em um material quando ele é submetido à tensão normal. A: teoria da energia máxima depende de uma energia de deformação que distorce o material, e não da parte que aumenta material frágil é causada somente pela tensão de tração máxima no material, e não pela tensão de constitui a base da teoria da tensão normal .máxíma e será aplicável se o diagrama tensãO'-defor· for semelhante sob tração e sob compressão. tiver diagramas tensãO'-deformação diferentes sob pressão e sob compressão, o critério de falha ... " ""'n""''" ser usado para prever falha. a imperfeições no material, a ruptura sob tensão de um material frágil é difícil de prever e, por isso, as teorias para materiais frágeis devem ser usadas com cautela. o tubo de aço mostrado na Figura 10.39a tem diâmetro interno de 60 mm e diâmetro externo de 80 mm. Se estiver sujeito a um momento de torção de 8 kN · m e a um mo mento ftetor de 3,5 kN · m, determine se essas cargas provo cam falha como definido pela teoria da energia de distorção máxima. A tensão de escoamento para o aço determinada por ensaio de tração é a e = 250 MPa. SOLUÇÃO Para resolver esse problema, temos de investigar um ponto sobre o tubo que esteja sujeito a um estado de tensão críti ca máxima. Ambos, momento de torção e momento fletor, são uniformes ao longo do comprimento do tubo. Na se ção arbitrária a-a (Figura 10.39a), essas cargas produzem as distribuições de tensão mostradas nas figuras 10.39b e l.0.39c. Por inspeção, os pontos A e B estão sujeitos ao mes mo estado de tensão crítico. Aqui, investigaremos o estado de tensão em A. Assim, Te (8.000 N · m) (0,04 m) r A - - - = 116 4 MPa - J - ( 7T/2) [(0,04 m)4 - (0,03 m)4] ' Me (3.500 N · m) (0,04 m) IJ'A = - - = 101 9 MPa I - (7T/4)[(0,04 m)4 - (0,03 m)4] ' Esses resultados são mostrados em uma vista tridimensional de um elemento de material no ponto A (Figura 10.39d) e, uma vez que o material está sujeito ao estado plano de tensão, ele também é mostrado em duas dimensões (Figura 10.39e). O centro do círculo de Mohr para esse estado plano de tensão está localizado em o - 101,9 G'méd = 2 = -50,9 MPa a 8 kN·m_� (a) (b) + (c) (d) (e) A � 116,4 --t---�-t--+__1_- O" (MPa) r (MPa) Figura 10.39 (f) 394 RESISTl:NCIA DOS MATERIAIS O ponto de referência A(O, -116,4 MPa) é marcado e o cír culo, construído (Figura 10.39f). Aqui, o raio calculado pelo triângulo sombreado é R = 127,1 e, portanto, as tensões prin cipais no plano são 0"1 = -50,9 + 127,1 = 76,1 MPa 0"2 = -50,9 - 127,1 = -178,0 MPa Pela Equação 10.30, exige-se 0"12 - 0"10"2 + O"/ ::; 0"/ ? (76,1)2 - (76,1)( -178,0) + ( -178,0)2 ::; (250)2 51.000 < 62.500 OK Considerando-se que o critério foi cumprido, o material no interior do tubo não escoará ('falhará') , de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. O eixo maciço de ferro fundido mostrado na Figura 10.40a está sujeito a um torque T = 400 N · m. Determine seu menor raio de modo que não falhe de acordo com a teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência de um corpo de prova de ferro fundido determinado por um ensaio de tração é (O",), = 150 MPa. SOLUÇÃO A tensão crítica ou máxima ocorre em um ponto localizado sobre a superfície do eixo. Considerando que o eixo tem raio r, a tensão de cisalhamento é Te ( 400 N·m)r Tmáx = J = (7r/2)r4 (a) -rmáx T (b) Figma 10.40 254,65 N·m r3 T = 400 N·m O círculo de Mohr para esse estado de tensão ( cisalhamento puro) é mostrado na Figura 10.40b. Como R = T máx' então 254,65 N·m 0"1 = - 0"2 = 7rnáx = 3 r A teoria da tensão normal máxima, Equação 10.31, exige I0"1 I ::; O"r 254•65 :s 150 X 106 N/m2 r3 Assim, o menor raio do eixo é determinado por 254•65 = 150 X 106 N/m2 r3 r = 0,01193 m = 11,93 m � � " m���J�Ul® n m.�i4 Resposta O eixo maciço mostrado na Figura 10.41a tem raio de 0,5 cm e é feito de aço com tensão de escoamento O" = 360 MPa. Determine se as cargas provocam a falha do eixo de acordo com a teoria da tensão de cisalhamento máxima e a teoria da energia de distorção máxima. SOLUÇÃO O estado de tensão no eixo é provocado pela força axial e pelo torque. Visto que a tensão de cisalhamento máxima causada pelo torque ocorre na superfície externa do material, temos p A 15 kN ---�2 = - 19,10 kN/cm2 = 191 MPa 1r(0,5 cm) (b) Figura 10.41 3,25 N·m (0,5 cm) = 16 55 k:N/cm2 = 165 5 MPa f (0,5 cm)4 ' ' A ação das componentes da tensão sobre um elemento no ponto A é mostrada na Figura 10.41b. Em vez usar 0 círculo de Mohr, as tensões principais também po ser obtidas pelas equações de transformação de tensão, Equações 9.5. (j + (j X y + a1,2 == __ 2 ___ - - -191 + o + - 2 - == - 95,5 ± 191,1 a1 == 95,6 MPa a2 == -286,6 MPa ( -19� _ o r + (165,5)2 Teoria da tensão de c:isalhamento máxima. Visto que as tensões principais têm sinais opostos, pela Seção 9.7, a defor mação por cisalhamento máxima absoluta ocorrerá no plano e, portanto, aplicando a segunda das Equações 10.27, temos la1 - a2 l :S G'e 1 95,6 - (-286,6) 1 � 360 382,2 > 360 Assim, a falha por cisalhamento do material ocorrerá de acordo com essa teoria. Teoria da energia de distorção máxima. Aplicando a Equação 10.30, temos ( a12 - a1a2 + al) :S G'e2 [(95,6? - (95 .. 6)( -286,6)- < -286,6) 2] � (36W 118.677,9:5 129.600 Por essa teoria, não ocorrerá falha. PRmsrne��s §� "- 0 z - 0 /: � X "' K« "' / '"" :s:, ���"' " "' 4 = "' '"'"' 10.63, Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha de energia de distorção em termos de (]' , a e r . x y xy '10.64. Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha da tensão de cisalhamento máxi �a �m termos de ax, aY e rxy' Considere que as tensões prin C!pats têm sinais algébricos diferentes. 10.65, As componentes do estado plano de tensão em um Ponto crítico de uma carcaça de aço estruturalA-36 são mos tradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima. TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 395 Pl'Oblema 10.65 10.66. As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estruturalA-36 são mos tradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria da energia de distorção máxima. 125 MPa � 80MPa Problema 10.66 75 MPa 10.67. A tensão de escoamento para uma liga de magnésio e zircónio é a e = 107 MPa. Se uma peça de máquina for fa bricada com esse material e um ponto crítico no material for submetido às tensões principais no plano a1 e a2 = -0,5a1, determine o valor de a 1 que provocará escoamento de acor do com a teoria da tensão de cisalhamento máxima. *10.68. Resolva o Problema 10.67 usando a teoria da ener gia de distorção máxima. 10.69. Se um eixo for feito de um material para o qual a e = 350 MPa, determine a tensão de cisalhamento por tor ção máxima exigida para provocar escoamento pela teoria da energia de distorção máxima. 10.70. Resolva o Problema 10.69 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima. As duas tensões principais têm si nais opostos. 10. 71. A tensão de escoamento para um material plástico é ae = 110 MPa. Se esse material estiver sujeito ao estado plano de tensão e ocorrer uma falha elástica quando uma tensão principal for 120 MPa, qual será o menor valor da outra tensão principal? Use a teoria da energia de distorção máxima. *10. 72. Resolva o Problema 10.71 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima. Ambas as tensões principais têm o mesmo sinal. 10. 73. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a a = 175 MPa. Pela teoria de falha da tensão de cisalhamento e 396 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS máxima, determine a tensão de tração máxima ux que pode ser aplicada à chapa, se também for aplicada uma tensão de tração uy = 0,75ux. 10. 74. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a a-e = 175 MPa. Pela teoria da energia de distorção máxima, determine a ten são de tração máxima ux que pode ser aplicada à chapa, se também for aplicada uma tensão de tração uy = 0,75u_, Problemas 10.73174 10. 75. Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para fa bricar um eixo de acionamento maciço que transmita 33 kW a 2.400 rev/min. Usando um fator de segurança de 2 para o escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamen to máxima. *10.76. Resolva o Problema 10.75 usando a teoria da ener gia de distorção máxima. 10. 77. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento que transmita 20 kW a 1.500 rev/min. Usando um fator de segurança de 2,5 para escoamento, deter mine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da energia de distorção máxima. u e = 25 MP a. 10. 78. Uma barra com área de seção transversal quadrada é fei ta de um material cuja tensão de escoamento é u e = 840 MP a. Se a barra for submetida a um momento fietor de 10 kN · m, deter mine o tamanho exigido para a barra de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Use um fator de segurança de 1,5 para o escoamento. 10.79. Resolva o Problema 10.78 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima. *10.80. As tensões principais de deformação no plano que agem sobre um elemento diferencial são mostradas na figu ra. Se o material for aço-máquina com tensão de escoamento a-e = 700 MPa, determine o fator de segurança para escoa mento usando a teoria da energia de distorção máxima. 475 MPa 480 MPa Problema 10.80 10.81. As tensões principais no plano que agem sobre urn elemento diferencial são mostradas na figura. Se o material for aço-máquina com tensão de escoamento u = 700 MPa determine o fator de segurança para escoamento, se for con: siderada a teoria da tensão de cisalhamento máxima. SO MPa SO MPa Problema 10.81 10.82. O estado de tensão que age sobre um ponto crítico em um elemento de máquina é mostrado na figura. Determi ne a menor tensão de escoamento para um aço que possa ser selecionado para a fabricação da peça com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima. Problema 10.82 10.83. A tensão de escoamento para uma liga de urânio é u = 160 MPa. Se uma peça de máquina for fabricada com e;se material e um ponto crítico no material for submetido ao estado plano de tensão de modo tal que as tensões prin· cipais sejam a-1 e a-2 = 0,25ul' determine o valor de a-1 que causará escoamento de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. *10.84. Resolva o Problema 10.83 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima. 10. 85. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento maciço que transmita 25 kN a 1 .200 rev/min. Usando um fator de segurança de 2,5 para es· coamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamen· to máxima. u e = 70 MP a. 10.86. O estado de tensão que age sobre um ponto crític? �·: estrutura de um banco de automóvel durante uma cohsa• é mostrado na figura. Determine a menor tensão de es�oa · mento para um aço que possa ser selecionado para fabn . car o elemento estrutural com base na teoria da tensão de ctsa· lhamento máxima. . ..... ' J (J, I( te I r Ç<l li ! cs se 111 Problema 10.86 175 MPa r560MPa 10.87. Resolva o Problema 10.86 usando a teoria da ener gia de distorção máxima. Problema 10.87 175 MPa r560MPa '10.88. Se uma peça de máquina for feita de titânio (Ti- 6Al-4V) e um ponto crítico no material for submetido ao estado plano de tensão de modo tal que as tensões principais são u1 e u2 = 0,5ul' determine o valor de u1 em MPa que provocará escoamento de acordo com (a) a teoria da tensão de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção máxima. 10.89. Deduza uma expressão para um torque equivalen te r. que, se aplicado sozinho a uma barra maciça de seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distor ção que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T. 10.90. Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento que transmita 40 kN a 1.800 rev/min. Usando um fator de segurança FS = 2 para escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode selecionado com base na teoria da energia de distorção máxima. TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 397 10.91. Deduza uma expressão para um momento fletor equivalente Me que, se aplicado sozinho a uma barra maciça de seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distorção que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T. *1110.92. O resultado do cálculo das cargas internas em uma seção crítica ao longo do eixo de acionamento de aço de um navio são um torque de 3,45 kN · m, um momento fletor de 2,25 kN · m e uma propulsão axial de 12,5 kN. Se os limites de escoamento para tração e cisalhamento forem u e = 700 MPa e r e = 350 MPa, respectivamente, determine o diâmetro exigido para o eixo pela teoria da tensão de cisalhamento máxima. / 3 45 kN·m / ' 12,5 kN Problema 10.92 10.93. O elemento está sujeito às tensões mostradas na Fi gura. Se I.Te = 350 MPa, determine o fator de segurança para essa carga com base na (a) teoria da tensão de cisalhamentomáxima e (b) teoria da energia de distorção máxima. 56 MPa 84MPa Problema 10.93 10.94. O estado de tensão que age em um ponto crítico so bre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser selecionado para a fabricação da ferramenta com base na teoria da energia de distorção máxima. 10.95. O estado de tensão que age em um ponto crítico so bre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser selecionado para a fabricação da ferramenta com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima. 398 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS __.._ . 70 MP a ---t[]t- 175 MPa -- Problemas 10.94/95 *10.96. O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500 N · m e a uma força de compressão axial de 2 kN. Determine se ele falhará de acordo com a teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência do concreto é u, = 28 MPa. Quando um elemento de material está sujeito a deformações que ocorrem somente em um plano, ele sofre defor mação plana. Se as componentes da deformação E , E e ')' forem conhecÍ-x i' xy das para uma onentação especifica do elemento, as deformações que agem em alguma outra orientação do ele mento poderão ser determinadas pe las equações da transformação da de formação no plano. Da mesma forma, as deformações principais normais e a deformação por cisalhamento máxima no plano poderão ser determinadas por equações de transformação. Problemas de transformação da defor mação também podem ser resolvidos de maneira parcialmente gráfica usan do o círculo de Mohr. Para traçar o círculo, definem-se os eixos E e y/2 e traçam-se no gráfico o centro do cír culo C [(Ex + Ey)/2, O] e o 'ponto de re ferência' A(Ex, 'Yx/2). O raio do círculo estende-se entre esses dois pontos e é determinado por trigonometria. SOO N·m SOO N·m 2 kN Problema 10.96 10.97. Se um eixo maciço de diâmetro d for submetido a um torque T e um momento M, mostre que, pela teoria da tensão normal máxima, a tensão principal máxima admissí vel é uadm = (16hrd3)(M + YW + 'P). Problema 10.97 Ex + Ey Ex - Ey /'xy E ·' = --- + ---cos 20 + -sen 2" ·' 2 2 2 u Ex + Ey Ex - Ey Yxy Ey• = --2- - -- 2 -cos 20 - -zsen 20 'Yx'y' (Ex - Ey) 'Yxy -2- = - --2- sen 20+ -zcos 20 _ Ex + Ey �(Ex - Ey)2 (/'xy)2 El z - --- ± + -' 2 2 2 /'�;Imo = ) ex � Ey y + (/';y r Ex + Ey Eméd= --2-- T . . ..... Jrn:u1�.av por cisalhamento má será igual àquela por máxima no plano desde deformações principais no pia sinais opostos. Se tiverem o sinal, então a deformação por máxima absoluta ocor fora do plano. de Hooke pode ser expressa dimensões, onde cada defor está relacionada com as três da tensão normal pelas do material E e v. e v forem conhecidas, então G ser determinada. uu'"""<"v é uma medida da defor volumétrica. O módulo de Jre!>sit,íli<iadle é usado para medir de um volume de material. que as tensões principais um material sejam conhecidas, usar uma teoria de falha a base para um projeto. dúteis falham sob cisalha e, nesse caso, a teoria da tensão v<OGLLlUU'-'<OlUU máxima OU a teoria energia de distorção máxima po r usadas para prever falha. Am- teorías fazem comparações com de escoamento de um corpo rova submetido à tensão uniaxial. frágeis falham sob tração, a teoria da tensão normal ou o critério de falha de Mohr ser usados. Nesse caso, as com são feitas com o limite de à tensão de tração desen em um corpo de prova. TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 399 G = E [2(1 + v)] k = E 3(1 - 2v) 400 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 0 "' � � � Y "' ="' -= "" "'"' � ��+%" =�;;- -"' = 2 W! "� """' � �% % "' F ��Z>V�f!A07ffj "" �R(!!)IBI.!!eNJ�S me R�X�,;IS�® w � "'�:�, , t � � 0 y "' " =� 10.98. As tensões principais que agem em um ponto sobre um vaso de pressão cilíndrico de parede fina são a 1 = pr!t, a2 = pr/2t e a3 = O. Se a tensão de escoamento for a0, deter mine o valor máximo de p com base na (a) teoria da tensão de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção máxima. 10.99. Um vaso de pressão esférico de parede fina tem raio interno r e espessura t e está sujeito a uma pressão interna p. Se as constantes do material forem E e v , deter mine a deformação na direção circunferencial em termos dos parâmetros citados. *10.100. As componentes da deformação no ponto A sobre a carcaça são Ex = 250(10-6), EY = 400(10-6), 'Yxy = 275(10-6), Ez = O. Determine (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano x-y, e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta. Problema 10.100 10.101. Um elemento diferencial é submetido à de formação no plano que tem as seguintes componentes: Ex = 950(10-6), EY = 420(10-6), 'Yxy = -325(10-6). Use as equa ções de transformação da deformação e determine (a) as de formações principais e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação média associada. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento. 10.102. As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico sobre uma carcaça fina de aço são mostradas na figura. Determine se ocorre falha (escoamento) com base na teoria da energia de distorção máxima. A tensão de escoa mento para o aço é a e = 650 MPa. 340 MPa Problema 10.102 10.103. Resolva o Problema 10. 102 pela teoria da tensão de cisalhamento máxima. 340 MPa Problema 10.103 *10.104. A roseta de deformação a 60o está montada sobre uma viga. As seguintes leituras foram obtidas para cada ex tensômetro: E" = 600(10-6), Eb = -700(10-6) e E, = 350(10-6). Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a defor mação normal média. Em cada caso, mostre o elemento dis torcido devido a essas deformações. Problema 10.104 10.105. A viga de alumínio tem a seção transversal retan gular mostrada na figura. Se for submetida a um momento fletor M = 7,5 kN · m, determine o aumento na dimensão de 50 mm na parte superior da viga e a redução dessa dimensão na parte inferior da viga. E ai = 70 GPa e v.1 = 0,3. 75 mm I M = 7,5 kN·m L �50 mm� Problema 10.105 c f\ Ir fc 1 SL I C I : V(' 1111 lo1 cs to: vi� qu X à • ba é r vil:' f<ÍI ca r las llp l OS I c !'c Fig vig.
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