Cargas combinadas - Resistencia dos Materiais Hibbeler

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Ca rgas combi nadas 
OBJETIVOS DO CAPÍTULO 
Este capítu lo serve como revisão da a n á l ise de tensão que foi desenvolvida n os ca pítulos a nteri o res referen­
tes a carga axi a l , torção/ flexão e cisa lhamento. D iscutiremos a so lução de problemas nos q u a is várias dessas 
cargas ocorrem simu ltaneamente sobre a seção transversa l de um elemento. Entretanto, antes d isso, o capí­
tulo começa com u m a a n á l ise da tensão desenvo lvida em vasos de pressão de paredes finas. 
8 . 1 Vasos de pressão d e 
paredes finas 
Vasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na 
indústria como caldeiras, tanques ou reservatórios. 
Quando estão sob pressão, o material de que são feitos 
é submetido a cargas em todas as direções. Mesmo que 
seja esse o caso, o vaso de pressão pode ser analisado 
de uma maneira mais simples, contanto que tenha pa­
redes finas. Em geral, "paredes finas" refere-se a um 
vaso para o qual a relação raio interno-espessura da 
parede tem valor igual ou superior a 10 (rlt � 10). Es­
pecificamente, quando r/t = 10, os resultados de uma 
análise de parede fina preverão uma tensão aproxima­
damente 4% menor que a tensão máxima real no vaso. 
Para relações maiores, esse erro será até menor. 
Quando a parede do vaso é "fina," a variação da dis­
tribuição de tensão pela sua espessura não será signifi­
cativa, portanto consideraremos que ela é uniforme ou 
constante. Adotada essa premissa, analisaremos, agora, o 
estado de tensão em vasos de pressão de paredes finas ci­
líndricos e esféricos. Em ambos os casos, entende-se que 
a pressão no vaso é a pressão manométrica, visto que ela 
mede a pressão acima da pressão atmosférica que consi­
deramos existir dentro e fora da parede do vaso. 
Vaso cilíndricos. Considere o vaso cilíndrico 
com parede de espessura t e raio interno r como mostra 
a Figura 8.1a. A pressão manométrica p é desenvolvida 
no interior do vaso por um gás ou fluido nele contido, 
cujo peso consideramos insignificante. Devido à uni­
formidade dessa carga, um elemento do vaso que este­
ja afastado o suficiente das extremidades e orientado 
como mostra a figura é submetido a tensões normais 
(J' 1 na direção circunferencial ou do aro e (J' 2 no sentido 
longitudinal ou axial. Ambas essas componentes da 
tensão exercem tração sobre o material. Queremos de­
terminar o valor de cada uma dessas componentes em 
termos da geometria do vaso e de sua pressão interna. 
Para isto, temos de usar o método das seções e aplicar 
as equações de equilíbrio de força. 
Para a tensão circunferencial (ou de aro), considere 
que o vaso é secionado pelos planos a, b e c. Um dia­
grama de corpo livre do segmento posterior juntamen­
te com o gás ou fluido contido no vaso é mostrado na 
Figura 8.1b. Aqui são mostradas apenas as cargas na 
direção x. Elas são desenvolvidas pela tensão circunfe­
rencial uniforme (J' 1 que age em toda a parede do vaso 
e pela pressão que age na face vertical do gás ou fluido 
secionado. Para equilíbrio na direção x, exige-se 
y 
(a) 
O"J 
(b) (c) 
Figura 8.1 
\ 
c 
l i 
I 
l i 
11 
2[lTlt dy)] - p(2r dy) = O 
llT1 = �r � (8.1) 
Para obter a tensão longitudinal lT 
2, consideraremos 
a porção esquerda da seção b do cilindro (Figura 8.1a). 
C nlD mostra a Figura 8.1c, lT2 age uniformemente em 
t �a a parede, e p age na seção do gás ou fluido. Visto 
0 0 raio médio é aproximadamente igual ao raio in­
terno do vaso, o equilíbrio na direção y requer 
Nessas equações, 
� � (8.2) 
lT lT = tensão normal nas direções circunferencial t' 2 e longitudinal, respectivamente. Conside­
ramos que cada uma delas é constante em 
toda a parede do cilindro e que cada uma 
submete o material à tração 
p = pressão manométrica interna desenvolvi­
da pelo gás ou fluido 
r = raio interno do cilindro 
t = espessura da parede (rlt � 10) 
Comparando as equações 8.1 e 8.2, devemos obser­
var que a tensão circunferencial ou de aro é duas vezes 
maior do que a tensão longitudinal ou axial. Por con­
sequência, quando vasos de pressão cilíndricos são fa­
bricados com chapas laminadas, as juntas longitudinais 
devem ser projetadas para suportar duas vezes mais 
tensão do que as juntas circunferenciais. 
Vasos esféricos. Podemos analisar um vaso de 
pressão esférico de maneira semelhante. Por exemplo, 
considere que o vaso tem espessura de parede t e raio 
interno r e que está sujeito a uma pressão manomé­
tríca interna p (Figura 8.2a). Se o vaso for secionado 
pela metade usando a seção a, o diagrama de corpo 
livre resultante é o mostrado na Figura 8.2b. Como 
no vaso cilíndrico, o equilíbrio na direção y requer 
y 
(a) (b) 
Figura 8.2 
'S.F = O· y ' 
� � 
CARGAS COMBINADAS 301 
(8.3) 
Por comparação, esse é o mesmo resultado obtido para 
a tensão longitudinal no vaso de pressão cilíndrico. Além 
do mais, pela análise, essa tensão será a mesma indepen­
dentemente da orientação do diagrama de corpo livre 
hemisférico. Por consequência, um elemento do material 
está sujeito ao estado de tensão mostrado na Figura 8.2a. 
Essa análise indica que um elemento de material 
tomado de um vaso de pressão cilíndrico ou esférico 
está sujeito à tensão biaxial, isto é, tensão normal exis­
tente em duas direções apenas. Na verdade, o material 
do vaso também está sujeito a uma tensão radial, lT3, 
que age ao longo de uma linha radial. Essa tensão tem 
um valor máximo igual à pressão p na parede interna e 
diminui até zero à medida que atravessa a parede e al­
cança a superfície externa do vaso, visto que a pressão 
manométrica nesse lugar é nula. Entretanto, para vasos 
de paredes finas, ignoraremos a componente da tensão 
radial, uma vez que a premissa limitadora que adota­
mos, rlt = 10, resulta em lT2 e lT1 como sendo, respecti­
vamente, 5 e 10 vezes mais altas do que a tensão radial 
máxima, (lT3)máx = p. Por último, entenda que as fórmu­
las que acabamos de deduzir só devem ser usadas para 
vasos sujeitos a uma pressão manométrica interna. Se 
o vaso estiver sujeito a uma pressão externa, a tensão 
de compressão desenvolvida no interior da parede fina 
pode tornar o vaso instável e sujeito a falhas. 
Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 
1,2 m e espessura de 12 mm. Determine a pressão interna 
máxima que ele pode suportar de modo que nem a compo­
nente de tensão circunferencial nem a de tensão longitudi­
nal ultrapasse 140 MPa. Sob as mesmas condições, qual é a 
pressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho 
semelhante pode sustentar? 
SOLUÇÃO 
Vaso de pressão cilíndrico. A tensão máxima ocorre na 
direção circunferencial. Pela Equação 8.1, temos 
140 N/mmz = p(600 mm) 
12 mm 
p = 2,8 N/mm2 Resposta 
Observe que, quando essa pressão é alcançada, a Equa­
ção 8.2 mostra que a tensão na direção longitudinal será 
u2 
= 1/2 (140 MPa) = 70 MPa. Além do mais, a tensão máxi­
ma na direção radial ocorre no material da parede interna do 
vaso e é (u3)máx = p = 2,8 MPa. Esse valor é 50 vezes menor 
que a tensão circunferencial (140 MPa) e, como afirmamos 
antes, seus efeitos serão desprezados. 
302 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Vaso esférico. Aqui, a tensão máxima ocorre em qualquer 
das duas direções perpendiculares em um elemento do vaso 
(Figura 8.2a). Pela Equação 8.3, temos 
140 N/mm2 = p(600 mm) 
2(12 mm) 
p = 5 ,6 N/mm2 Resposta 
OBSERVAÇÃO: Embora seja mais difícil de fabricar, o vaso 
de pressão esférico suportará duas vezes mais pressão do 
que um vaso cilíndrico. 
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8.1. Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. 
Se for submetido a uma pressão interna p = 300 kPa, deter­
mine a espessura exigida para que a tensão normal máxima 
não ultrapasse 12 MPa. 
8.2. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado 
com aço de 12 mm de espessura. Se for submetidoa uma 
pressão interna p = 1 ,4 MPa, determine seu raio externo 
para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa. 
8.3. A figura mostra duas alternativas para apoiar o cilin­
dro de parede fina. Determine o estado de tensão na parede 
do cilindro para ambas as alternativas, se o pistão P provocar 
uma pressão interna de 0,5 MPa .A parede tem espessura de 
6 mm, e o diâmetro interno do cilindro é 200 mm. 
(a) (b) 
P1·oblema 8.3 
*8.4. O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão 
interna de 0,63 MP a. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm 
e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da 
tensão que agem no ponto A. Desenhe um elemento de volume 
do material nesse ponto e mostre os resultados no elemento. 
Problema 8.4 
8.5. O tubo de extremidade aberta tem parede de espes­
sura 2 mm e diâmetro interno 40 mm. Calcule a pressão que 
o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar a 
ruptura mostrada na figura. A tensão máxima que o material 
pode suportar na temperatura de congelamento é a . = 360 
MPa. Mostre como a tensão age sobre um pequeno'"�lemen­
to de material imediatamente antes de o tubo falhar. 
Problema 8.5 
8.6. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de poli­
vinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm. 
Se transportar água corrente à pressão de 0,42 MPa, deter­
mine o estado de tensão nas paredes do tubo. 
Problema 8.6 
8.7. Se o fluxo de água no interior do tubo do Problema 
8.6 for interrompido devido ao fechamento de uma válvula, 
determine o estado de tensão nas paredes do tubo. Despreze 
o peso da água. Considere que os apoios exercem somente 
forças verticais sobre o tubo. 
Problema 8.7 
*8.8. A cinta de aço A -36 tem 50 mm de largura e está presa 
ao redor do cilindro rígido liso. Se os parafusos forem aper­
tados de modo que a tração neles seja 2 kN, determine a ten­
são normal na cinta, a pressão exercida sobre o cilindro e a 
distância até onde metade da cinta estica. 
Problema 8.8 
8.9. Inicialmente, a cinta de aço inoxidável 304 está per­
feitamente ajustada em torno do cilindro rígido liso. Se 
ela for submetida a uma queda de temperatura não lí.near 
!J..T = 12 sen2 ooc, onde (! é dado em radianos, deterrmne a 
tensão circunferencial na cinta. 
Problema 8.9 
8.10. O barril está cheio de água, até em cima. Determine 
a distância s entre o aro superior e o aro inferior de modo 
que a força de tração em cada aro seja a mesma. Determine 
também a força em cada aro. O barril tem diâmetro interno 
de 1,2 m. Despreze a espessura da parede. Considere que 
somente os aros resistem à pressão da água. Observação: A 
água desenvolve pressão no barril de acordo com a lei de 
Pascal, p = (900z) Pa, onde z é a profundidade da água em 
relação à superfície, medida em metros. 
Problema 8.10 
8.11. Um tubo de madeira com diâmetro interno de 0,9 m é 
atado com aros de aço cuja área de seção transversal é 125 mm2• 
Se a tensão admissível para os aros for u d = 84 MPa, deter­
mine o espaçamento máximo s dos aros ;omlongo da seção do 
tubo de modo que este possa resistir a uma pressão mano­
métrica interna de 28 kPa. Considere que cada aro suporta a 
pressão do carregamento que age ao longo do comprimento 
s do tubo. 
Problema 8.11 
CARGAS COMBINADAS 303 
*8.12. Uma caldeira é feita de chapas de aço de 8 mm de 
espessura ligadas nas extremidades por uma junta de topo 
que consiste em duas chapas de cobertura de 8 mm e rebites 
com diâmetro de 10 mm e espaçados de 50 mm, como mostra 
a figura. Se a pressão do vapor no interior da caldeira for 
1,35 MPa, determine: (a) a tensão circunferencial na chapa 
da caldeira separada da costura, (b) a tensão circunferencial 
na chapa de cobertura externa ao longo da linha de rebites 
a-a e (c) a tensão de cisalhamento nos rebites. 
a 
Problema 8.12 
8.13. O anel cujas dimensões são mostradas na figura é co­
locado sobre uma membrana flexível bombeada com uma 
pressão p. Determine a mudança no raio interno do anel 
após a aplicação dessa pressão. O módulo de elasticidade 
para o anel é R. 
Problema 8.13 
8.14. Um vaso de pressão com extremidades fechadas é fa­
bricado com filamentos de vidro trançados sobre um mandril 
de modo que, no final, a espessura da parede t do vaso é com­
posta inteiramente de filamento e adesivo epóxi, como mostra 
a figura. Considere um segmento do vaso de largura w trança­
do a um ângulo fJ. Se o vaso for submetido a uma pressão in­
terna p, mostre que a força no segmento é FfJ = u0wt, onde u0 
é a tensão nos filamentos. Além disso, mostre que as tensões 
nas direções circunferencial e longitudinal são u, = u0 sen2 fJ e 
u1= u0 cos2 O, respectivamente. A que ângulo fJ (ângulo de tran­
çamento ótimo) os filamentos teriam de ser trançados para ob­
terem-se tensões circunferencial e longitudinal equivalentes? 
Pt·oblema 8.14