348971-Aula_4_-_Num _Complexos_e_Fator_de_Potência

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Fator de Potência em Circuitos Trifásicos
Prof. Gustavo Fabro de Azevedo
gustavoazevedo@pelotas.ifsul.edu.br
Instituto Federal Sul-rio-grandense
Curso Técnico em Telecomunicações
Disciplina de Sistemas de Energia
1
Uma breve revisão:
Números complexos
2
Números Complexos
• São escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: x + yi
(i ou J), o valor de x é a parte real do número complexo e o 
valor de y é a parte imaginária do número complexo.
►Z = (x,y) (par ordenado)
onde x pertence a R e y pertence a R.
►Podemos então dizer que um número complexo Z será igual 
a Z= x + y.i ou J (forma algébrica) , em que 𝒊 = −𝟏
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Representação Gráfica
►Exemplo:
A (5,3) = 5+3i
Dessa forma, todo o número complexo Z = (x,y) pode ser 
escrito na forma Z = x + y.i, conhecido como forma algébrica, 
onde temos: 
x = Re(z), parte real de Z
y.i = Im(z), parte imaginária de Z
x
y
5
3 A
4
Cada número complexo corresponde a um único ponto, e 
reciprocamente, no plano cartesiano xy.
Forma Retangular ou cartesiana: 
Z = -2 + i (Z = parte real + parte imaginária i )
Exemplo: 
 y
 x + yi
-2 + i i
 x
 -1 0 1
5
Forma Polar
Sejam r e  as coordenadas polares do ponto representado Z, na 
figura a seguir, onde r  0. Então x = r.cos  e y = r.sen 
e z pode ser escrito como Z = r (cos  + i sen ) onde
22 yxr 
Isto é r = |Z| (módulo) e  é o ângulo (argumento) de Z.
Quando Z  0,  pode ser determinado por  = tg-1 (y/ x), 
 =tg-1 (parte imaginária / parte real) ou  = cos-1 ( parte real / módulo).
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Exemplo: iz  3
Então:
𝜃 = tan−1
1
3
= 30°
𝑟 = 3
2
+ 12 =2
Z = 2 ∟30°
 Y
 P
 y z
 r
 
 0 x X
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Operações com Números Complexos
►Adição ou Subtração de Números Complexos
Para somar ou subtrair dois números complexos basta somar ou 
subtrair, separadamente, as partes reais e imaginárias desses 
números. 
Assim, se z1 = a+bi e z2 = c+di, temos que:
►z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i
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Multiplicação/Divisão de Números Complexos
Para multiplicar ou dividir dois números complexos é melhor 
que eles estejam em sua forma polar, basta multiplicar ou dividir os 
módulos e somar (multiplicação) ou diminuir (divisão) os ângulos.
Assim, se z1 = 4∟30° e z2 = 2∟20°, temos que:
►z1 / z2
►= 4/2 e 30°– 20° = 2∟10°
►z1*z2 
►= 4*2 e 30°+ 20° = 8∟50°
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Resumo das Principais Operações
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Transformação de Números Complexos
De forma Retangular (R) para Polar (P):
De forma Polar (P) para Retangular (R) :
Z = r (cos  + i sen ) sendo assim:
Parte Real = r (módulo)*cos 
Parte Imaginária = r (módulo)*sen 
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Converter Coordenada Retangular para Polar e Vice-Versa [Casio fx-82ms]
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Utilizando a Calculadora Científica
Links de Vídeos Que Podem Ajudar:
• Números complexos fx-82MS Parte 1. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=FqIIaDtIlfQ Acesso em: 01 ago. 2014.
• Converter coordenada retangular para polar [Casio fx-82ms]. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=GjTEiePIUvE Acesso em: 01 ago. 2014.
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https://www.youtube.com/watch?v=FqIIaDtIlfQ
https://www.youtube.com/watch?v=GjTEiePIUvE
Fator de Potência em Circuitos 
Trifásicos
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Introdução
A correção do fator de potência através tem sido alvo de muita atenção das 
áreas de projeto, manutenção e finanças de empresas interessadas em 
racionalizar o consumo de seus equipamentos elétricos.
Para otimizar o uso da energia elétrica gerada a ANEEL (Agencia Nacional de 
Energia Elétrica) estabeleceu que o fator de potencia mínimo deve ser 0,92.
A medição do fator de potência é obrigatória para consumidores de média 
tensão (supridos com mais de 2.300 V).
Quem descumpre está sujeito a uma multa que leva em conta o fator de 
potência medido e a energia consumida ao longo de um mês.
Estuda-se aumentar o fator de potência para 0,96. 
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Energias: Ativa (P - W), Reativa (Q - VAr) e Aparente (S - VA)
• A energia reativa, embora não se possa classificá-la de inútil, não realiza 
trabalho útil e produz perdas por provocar aquecimento nos condutores. 
• Ela circula entre a fonte e a carga, ocupando um “espaço” no sistema elétrico 
que poderia ser utilizado para fornecer mais energia ativa.
• Energia Ativa, medida em W, que efetivamente realiza trabalho, gerando 
calor, luz, movimento, etc.
• A energia ativa e a energia reativa, juntas, constituem a energia aparente, 
medida em VA (volt ampère), que é a potência total gerada e transmitida à 
carga.
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REPRESENTAÇÃO FASORIAL DAS ONDAS SENOIDAIS
• As tensões e correntes senoidais podem ser representadas por um vetor, cujo 
módulo é igual ao valor máximo da grandeza, que gira em sentido anti-horário 
com velocidade angular constante. 
• Este vetor girante é denominado FASOR.
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Tipos de Cargas
• O fator de potência é determinado pelo tipo de carga ligada ao 
sistema elétrico, que pode ser: Indutiva, Capacitiva ou Resistiva.
• Cargas indutivas tais como motores e transformadores equipamentos 
com bobinas) produzem potência reativa com a onda de corrente atrasada em 
relação à tensão. 
Gráfico de tensão e corrente características de uma carga indutiva
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• Cargas capacitivas tais como bancos de capacitores ou cabos elétricos enterrados 
produzem potência reativa com corrente adiantada em relação à tensão. 
Gráfico de tensão e corrente características de uma carga capacitiva.
• Se uma carga puramente resistiva é conectada ao sistema, a corrente e a tensão estarão 
em fase.
Gráfico de tensão e corrente características de uma carga resistiva. 19
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/FP_Resistivo.jpg
Triângulo de Potências
• No caso de formas de onda perfeitamente senoidais, P, Q e S 
podem ser representados por vetores que formam um triângulo 
retângulo, também conhecido como triângulo de potências.
• A relação entre as potências 
aparente (S), ativa (P) e reativa (Q)
é expressa por:
Triângulo de potências
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Fator de Potência em Circuitos Trifásicos
• O fator de potência é a razão entre a potência ativa e a 
potência aparente. 
•O fator de potência indica qual porcentagem da potência 
total fornecida (kVA) é efetivamente utilizada como potência 
ativa (kW). 
•Mostra o grau de eficiência do uso dos sistemas elétricos.
• Podemos expressar o fator de potência (FP ou cos φ) da 
seguinte forma:
21
•
• Por definição, o fator de potência é um número adimensional 
entre 0 e 1.
• Quando o fator de potência é 1, toda a energia fornecida pela 
fonte é consumida pela carga. 
• Normalmente o fator de potência é assinalado como atrasado
ou adiantado para identificar o sinal do ângulo de fase entre as 
ondas de corrente e tensão elétricas. 
22
Fator de Potência em Circuitos Trifásicos
Origens de um Baixo Fator de Potência
1. Motores trabalhando a vazio durante grande parte do tempo; 
2. Motores superdimensionados para as respectivas cargas; 
3. Grandes transformadores alimentando pequenas cargas, por 
muito tempo; 
4. Transformadores ligados em vazio, por longos períodos; 
5. Lâmpadas de descarga (vapor de mercúrio, fluorescentes, etc.), 
sem correção individual do fator de potência; e 
6. Grande quantidade de motores de pequena potência.
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Correção do Fator de Potência
Pode ser feito principalmente: 
•Através do aumento do consumo de energia ativa;
•Utilizando capacitores (mais usado); 
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Figura 5 – Instalação com capacitor para correção
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Correção do Fator de Potência
Correção do Fator de Potência
C
o
n
tro
lad
o
r au
to
m
ático
 d
e Fato
r d
e Po
tên
cia
26
27
Ligação Estrela
28
Il = If Vl = √𝟑. Vf
os subscritos f e l indicam valores de fase e de linha, respectivamente.
29
Ligação em Triângulo
30
Il= 𝟑.If Vl = Vf
os subscritos f e l indicam valores de fase e de linha, respectivamente.
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Potências no Sistema Trifásico
• As potências são divididas em três tipos: potência aparente (S), potência ativa (P) e 
potência reativa (Q).
• Para sistema equilibrado
S3Ø = 3 V
f
.I
f
→ valores eficazes por fase
ou
S3Ø = √3.V
l
.I
l 
→ valores eficazes por linha
P3Ø = 3 V
f
.I
f
.cos φ ou √3.V
l
.I
l
.cos φ
Q3Ø = 3 V
f
.I
f
.sen φ ou √3.V
l
.I
l
.sen φ
sendo que: P = potência ativa (W), Q = potência reativa (VAR) e S = potência aparente 
(VA) que é a soma vetorial das potências ativa e reativa, ou seja, é a potência total 
absorvida pela instalação.
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Exemplo 1: 
Correção de Fator 
de Potência
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Exemplo 2
• Uma rede trifásica simétrica de tensão de linha 173 V (valor eficaz) 
alimenta uma carga trifásica em Y com impedância Z= 10∟20° Ω por 
fase. Determinar os valores de potência ativa, reativa, aparente e o 
fator de potência.
• Relembrando:
• S3Ø = √3.V
l
.Il P3Ø = √3.V
l
.I
l
.cos φ Q3Ø = √3.V
l
.I
l
.sen φ
• Respostas:
• Potência aparente: S = 3 kVA. Potência ativa: P = 2,82 kW.
• Potência reativa: Q = 1,02 kVAR. FP = cos φ = 0,94. 34
Exercícios
1. Três impedâncias são ligadas em estrela, cada uma de valor 
(4 − 3j) e alimentadas por um gerador trifásico equilibrado com 
uma tensão de linha de 208V. Calcule:
A) O valor da corrente em cada impedância,
B) O fator de potência,
C) A potência ativa total na carga.
Dica calcular utilizando a tensão de fase.
Resp.: IF = 24A, FP = 0,8, PT = 6,92kW. 
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2. Um gerador trifásico com uma tensão de linha no valor de 208 V 
está alimentando uma carga em triângulo. A corrente em cada 
impedância da carga é de 5A, e o fator de potência é de 0.8. 
Calcule a corrente de linha.
Resp.: IL = 8,66A
36
Exercícios
Exercícios
3. Três impedâncias no valor de (4+3j) são ligadas em triângulo a um 
gerador trifásico com 240 V de tensão de linha. Calcule a corrente 
em cada fase, a corrente de linha, o fator de potência, e a potência 
ativa total na carga. 
Dica: calcule potência utilizando a corrente de fase.
Resp.: IF = 48A, IL = 83,14A, FP = 0,8, PT = 27,65KW. 
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Exercícios
4. Considere o gerador trifásico representado na figura. Cada fase 
do gerador debita uma corrente de 30A com uma tensão por fase de 
254V e um fator de potência de 0, 8. Calcule:
A) Qual a tensão aos terminais do gerador;
B) A potência ativa em cada fase;
C) A potência ativa total entregue pelo gerador trifásico.
Resp.: VL = 439,9V, PF = 6,1KW, PT = 18,3KW.
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Exercícios
5. A carga em triângulo representada na figura consome uma 
potência ativa total de 600kW para uma tensão de linha de 5000V 
Se a corrente medida na linha for de 75A, qual o fator de potência 
do circuito?
Resp.: FP = 0,92.
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Bibliografia
1- Irwin, J. David; Análise de Circuitos em Engenharia, Makron Books do 
Brasil Ltda, 4ª edição, 2000.
2- William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly; Análise de Circuitos em 
Engenharia, McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1973.
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