Importância da Estatística

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Análise Estatística
Aula 1: Conceitos Introdutórios em Estatística
Introdução à Análise Estatística
Atualmente, é fundamental o emprego da Estatística em quase todas as áreas do conhecimento, todas as vezes que estiverem envolvidas informações na forma de dados coletados em pesquisas ou de forma experimental.
Com o objetivo de alcançar uma melhoria dos processos tanto nas áreas industriais como tecnológicas, as ferramentas estatísticas tem alcançado um papel importantíssimo nesse cenário.
O que modernamente se conhece como Estatística:
Um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que, entre outros tópicos, envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações.
Estatística da Área de Gestão
Todo profissional hoje em dia deve estar ciente da importância da Estatística e ter conhecimento de como utilizá-la, a fim de ter um lugar no mercado de trabalho com a capacidade de lidar com as realidades atuais extremamente competitivas. Dentre várias habilidades profissionais, vem crescendo em importância o desenvolvimento do pensamento estatístico, tendo em vista as necessidades de todas as áreas de conhecimentos de uma análise mais apurada durante os processos decisórios.
 Pódio de bonecos. ( Fonte: Shutterstock / Por Percom)
A metodologia estatística está sendo empregada em várias áreas de conhecimento, tais como nos setores farmacêuticos, médicos e setores industriais diversos, principalmente para melhoria da área de produção
Controle de qualidade
Observa-se que o controle de qualidade foi criado como uma necessidade de resolver problemas na redução de custos, no controle de perdas desnecessárias, na uniformização e normalização da produção, auxiliando as empresas a controlarem, melhor distribuírem e maximizarem os seus recursos, tornando-as assim mais competitivas.
Aplicação
Um interessante estudo experimental aplicado à pesquisa médica é o relato do primeiro ensaio clínico planejado para comprovar a eficácia do AZT (zidovudina) no prolongamento da vida de aidéticos. Os dados foram publicado por Fischl et al. (1987) e posteriormente discutidos por Soares & Siqueira (1999, p.176-183).
O experimento considerou essencialmente o acompanhamento de 282 pacientes aidéticos durante 24 semanas de tratamento, os quais foram aleatoriamente divididos em dois grupos: o grupo de pacientes tratados com AZT (composto por 145 aidéticos) e o grupo controle, composto por 137 aidéticos que receberam o placebo. A variável resposta (desfecho) é a situação do paciente (sobrevivente ou não sobrevivente) após as 24 semanas de tratamento.
Número de sobreviventes e não sobreviventes após 24 semanas de tratamento com AZT ou Placebo.
	Grupo / Situação
	Vivo
	Morto
	Total
	AZT
	144
	1
	145
	Placebo
	121
	16
	137
Atenção
A avaliação da eficácia do AZT para o prolongamento da vida de aidéticos consiste basicamente em comparar as proporções de sobreviventes dos dois grupos. Entre os indivíduos tratados com AZT, a proporção de sobreviventes e 𝑃 𝐴𝑍𝑇= 0,993, enquanto que no grupo de pacientes que receberam o placebo é 𝑃 𝑃𝐿𝐴𝐶𝐸𝐵𝑂 = 0,883.
Aparentemente a proporção de sobreviventes é maior no grupo de pacientes tratados com AZT, mas para estender este resultado para a população, é vital avaliar se as diferenças observadas não são devidas ao acaso, mediante um teste de hipóteses. Neste problema, a estratégia de análise adotada foi o teste de homogeneidade de populações, baseado na estatística (lê-se “qui-quadrado”) de Pearson.
O valor calculado da estatística de teste foi igual a 15,087, cuja probabilidade de significância associada (𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 , em inglês) é inferior a 0,0001. Este resultado evidencia que a verdadeira proporção de pacientes aidéticos que sobrevivem após 24 semanas é maior quando são tratados com AZT em relação aos não tratados (isto é, que recebem o placebo).
Métodos
Método Científico
Há muito tempo que o homem faz descobertas importantes, que originaram muitos dos conhecimentos atuais. Entretanto muitas dessas descobertas foram ao acaso, ou em função de uma necessidade da época e muitas dessas descobertas não seguiram um caminho, roteiro ou um método específico. Contudo hoje em dia os métodos de observação, estudo e análise fazem parte da maioria dos aumentos de conhecimentos atuais. Até mesmo os conhecimentos obtidos por descobertas ao acaso são desenvolvidos com base em métodos específicos, que chamamos de métodos científicos. Os métodos são as trilhas que nos permite chegar a um objetivo, ou a um determinado resultado, sendo um conjunto de passos e procedimentos que repetidos fornecem um resultado específico. Dentre os métodos científicos destacamos o método estatístico e experimental.
Método Experimental
Quando se realiza um experimento e se deseja analisar como se comportam seus resultados ao se alterar algum dos elementos componentes do experimento, é necessário manter constante os demais fatores (causas).Quando se usa este tipo de pesquisa, faz-se uma análise do problema, montam-se as hipóteses necessárias. A seguir procede-se a uma manipulação das variáveis referentes ao fenômeno observado, alterando-as da melhor maneira possível. As alterações nas variáveis tanto em quantidade, quanto em qualidade, permite o estudo das relações de causas e efeitos do referido fenômeno em análise. Todo esse procedimento experimental permite que se possa avaliar e controlar os resultados obtidos.
Pontos importantes do método experimental:
· Indicar o objeto de estudo;
· Determinar as variáveis independentes capazes de influenciar o fenômeno em estudo;
· Identificar as ferramentas de análise, controle e observação dos efeitos, resultantes da manipulação das variáveis, sobre o objeto.
Método Estatístico
No nosso dia a dia, quando fazemos repetidas observações com relação a um determinado sistema ou fenômeno específico, verificamos que os resultados obtidos não são exatamente os mesmos. A esta fato podemos chamar de variabilidade.
Como fazer para que essa variabilidade possa fazer parte da nossa tomada de decisão?
Através da análise estatística, é possível descrever a variabilidade e entender quais a fontes mais importantes, ou quais as de maior potencial de influência na variabilidade do fenômeno.
No método estatístico, observando suas várias etapas, podemos considerar que a mais importante muitas vezes não é a análise de dados. Podemos dizer que a etapa que necessita de maior atenção e cuidado é o planejamento de como o conjunto de dados será coletado. Um mau planejamento, ou mesmo uma coleta feita de forma inapropriada pode acarretar em dados inúteis, de onde não se consegue tirar nenhuma informação ou qualquer conclusão coerente.
No método estatístico, observando suas várias etapas, podemos considerar que a mais importante muitas vezes não é a análise de dados. Podemos dizer que a etapa que necessita de maior atenção e cuidado é o planejamento de como o conjunto de dados será coletado. Um mau planejamento, ou mesmo uma coleta feita de forma inapropriada pode acarretar em dados inúteis, de onde não se consegue tirar nenhuma informação ou qualquer conclusão coerente.
Abusos da Estatística
Não é de hoje que ocorrem abusos com a Estatística. Assim é que, há cerca de um século, o estadista Benjamin Disraeli disse:
Há três tipos de mentiras: as mentiras, as mentiras sérias e as estatísticas.
Já se disse também que:
Os números não mentem; mas os mentirosos forjam os números.
E que:
Se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admitir qualquer coisa.
O historiador Andrew Lang disse que algumas pessoas usam a Estatística:
Como um bêbado utiliza um poste de iluminação – para servir de apoio, e não para iluminar.
Todas essas afirmações se referem aos abusos da Estatística quando os dados são apresentados de forma enganosa. Eis alguns exemplos das diversas maneiras como os dados podem ser distorcidos:
Pequenas Amostras
Números Imprecisos
Estimativas por Suposição
Porcentagens Distorcidas
Cifras ParciaisDistorções Liberadas
Perguntas Tendenciosas
Gráficos Enganosos
Pressão do Pesquisador
Más Amostras
Os motoristas mais idosos são mais prudentes que os mais jovens?
A American Association of Retired People — AARP (Associação Americana de Aposentados) alega que os motoristas mais idosos se envolvem em menor número de acidentes do que os mais jovens. Nos últimos anos, os motoristas com 16-19 anos de idade causaram cerca de 1,5 milhões de acidentes em comparação com apenas 540.000 causados por motoristas com mais de 70 anos, de forma que a alegação da AARP parece válida. Acontece, entretanto, que os motoristas mais idosos não dirigem tanto quanto os mais jovens.
Em lugar de considerar apenas o número de acidentes, devemos examinar também as taxas de acidentes. Eis as taxas de acidentes por 100 milhões de milhas percorridas: 8,6 para motoristas com idade de 16 a 19 anos; 4,6 para os com idade de 75 a 79 anos; 8,9 para os com idade de 80 a 84 e 20,3 para os motoristas com 85 anos de idade ou mais. Embora os motoristas mais jovens tenham de fato o maior número de acidentes. os mais velhos apresentam as mais altas taxas de acidentes.
Aula 2: Revisão das Medidas de Tendência Central e de Posição
Medidas de Posição Central
Em uma dada distribuição amostral, é possível fazer várias observações, no intuito de entender o comportamento dos seus valores. Podemos, por exemplo, tentar localizar a maior concentração de valores de uma determinada distribuição. Entretanto, para que tenhamos parâmetros de comparação entre as tendências características de cada distribuição, é necessário introduzir conceitos que se expressem através de números.
Veremos então as medidas de posição 1 . As serem estudadas são as medidas de tendência central e as separatrizes.
Média aritmética
Moda
Mediana
Iremos estudar as separatrizes:
Quartis
Decis
Percentis
Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são valores que, de maneira condensada, trazem informações contidas nos dados estatísticos. É um valor que tende a melhor representar um conjunto de números. Funcionam como um resumo, passando a ideia do comportamento geral dos dados. Representam um valor central em torno do qual os dados se concentram e se distribuem, mostrando se essa concentração ocorre no inicio, no meio ou no final da distribuição, ou até mesmo se estão distribuídos de forma igual ao longo da amplitude considerada.
Quando esses valores estão associados a uma população, chamamos de parâmetros; quando estão ligados a uma amostra, são chamados de estatísticas. Como o cálculo dos parâmetros é feito em cima de todos os números, os parâmetros são valores constantes, fixos. Já os valores estatísticos são obtidos dos dados selecionados da população, e como para cada amostra temos dados diferentes, que irão influenciar no cálculo dos valores estatísticos, esses valores não são fixos.
Média
Para uma distribuição de dados estatísticos a ser analisada, composta por n valores 𝑥 𝑖 , i = 1, 2 ..., n. É interessante, sempre que possível, ordenar os dados de modo que 𝑥 𝑖 seja o menor valor e 𝑥 𝑛 seja o maior valor da relação de valores da distribuição.
Muitas vezes existe uma concentração maior dos dados em torno de um valor; outras vezes os dados estão equilibradamente distribuídos entre a faixa de valores compreendido pela amplitude dos dados (Amplitude =𝑥 𝑛 - 𝑥 1 ). Esta informação quanto à distribuição muitas vezes é importante, sendo calculada através da média aritmética, ou apenas média.
Outro tipo de média, também bastante utilizada, é a média aritmética ponderada. A média ponderada é muito usada em situações em que os dados são agrupados por frequência, ou em situações em que os dados possuem importâncias diferentes, sendo representados na forma de pesos.
Média Aritmética e Ponderada
A média aritmética é usada para distribuições simétricas, ou quase simétricas, ou para distribuições que têm um único pico dominante. É determinada somando-se todas as observações e dividindo-se pelo número total de observações.
O cálculo da média se dá pela fórmula:
Moda
Denominamos moda o valor que ocorre com a maior frequência em uma relação de dados. Muitas vezes é utilizada por ser a medida de posição de mais rápida visualização.
A moda (Mo) é usada quando temos distribuições extremamente assimétricas, ou nas situações irregulares em que dois ou mais pontos de concentração de dados são verificados na série de dados. Ou até mesmo nas situações em que se deseja eliminar os efeitos de valores extremos que destoam da normalidade da série de valores.
A moda também pode ser designada como valor típico, valor dominante ou norma.
 Quanto à classificação modal, um conjunto pode ser considerado unimodal, quando apresenta apenas uma moda.
Exemplo:
X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) → Mo = 6
(o valor de maior frequência)
 Pode ser considerado bimodal quando possui duas modas.
Exemplo:
X = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) → Mo = 2 e Mo = 4
(os valores de maior frequência)
 É considerada plurimodal ou multimodal quando apresenta mais de duas modas.
Exemplo:
X = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) → Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4
(os valores de maior frequência)
 Quando todos os valores apresentam a mesma frequência, o conjunto é considerado amodal.
Exemplo:
X = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
(não apresenta valor predominante)
Mediana
A mediana é o valor central da distribuição quando os dados estão ordenados de forma crescente ou decrescente. Normalmente é usada quando se deseja obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais, ou quando existem valores extremos que afetam a média de forma acentuada. Também existe uma tendência a utilizar a mediana quando o valor a ser analisado ou estudado é salário, ou para informações que possam ser ordenadas de alguma forma, mas que não possuem valores mensuráveis (cor, nomes etc.).
Exemplo:
1) Considere o conjunto de dados: X = (6, 2, 7, 10, 3, 4, 1, 12). Determine a mediana.
2) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente: X = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12);
3) Determinar a ordem ou a posição do elemento (E) da mediana:
	En+12=8+12=4,5Εn+12=8+12=4,5
4) Localizar a mediana e calcular o seu valor (para o ocaso de n par):
5) Determinar x4,5, sabendo que:
	x4= 4 e x5 = 6 → Med = x4+x52=4+62=5
Comparação entre a Média, a Mediana e a Moda
Relação entre a Média, a Mediana e a Moda
Com essas três medidas de posição é possível determinar a assimetria da curva de distribuição de frequência. A tabela de distribuição de frequências é composta de uma coluna contendo os valores que compõem a relação de dados e uma coluna com as correspondentes quantidades que cada valor aparece na relação de dados. As medidas de assimetria complementam as informações dadas pelas medidas de posição, a fim de permitir uma melhor compreensão das distribuições de frequências. A mediana se localiza na posição central da distribuição, devendo estar entre os valores da média e moda e podendo até mesmo ser igual a ambas.
Nesta situação temos três casos possíveis:
	1º Caso
	
	Média = Mediana = Moda
	
	A curva da distribuição é simétrica
	2º Caso
	
	Média < Mediana < Moda
	
	A curva da distribuição tem assimetria negativa
	3º Caso
	
	Média > Mediana > Moda
	
	A curva da distribuição tem assimetria positiva
O coeficiente de assimetria pode ser calculado pela fórmula do primeiro coeficiente de Pearson, tornando mais fácil determinar se a assimetria da distribuição é positiva ou negativa:
Atenção
No denominador da fórmula temos um símbolo que representa o desvio padrão da distribuição. Quando for apresentado o estudo sobre as medidas de dispersão, veremos mais detalhes sobre o cálculo do desvio padrão e seu significado. No momento podemos adiantar que terá sempre um valor positivo (ou seja, não é possível ocorrer desvio padrão negativo). Assim sendo o que vai determinar o sinal da fração é o sinal do numerador.
1º Caso
Média = Moda → ͞𝑥 - Mo = 0 → Assimétrica nula = Simétrica
2º Caso
Média < Moda → ͞𝑥 - Mo < 0 → Assimetria negativa
3º Caso
Média > Moda → ͞𝑥 - Mo> 0 → Assimetria positiva
Curva da distribuição é simétrica
Curva da distribuição é assimétrica positiva e negativa
· Quando a distribuição de frequência é assimétrica à direita da curva, dizemos que a distribuição tem assimetria positiva;
· Quando a distribuição de frequência é assimétrica à esquerda da curva, dizemos que a distribuição tem assimetria negativa.
Outro coeficiente de assimetria de Pearson indica se esta é forte ou fraca:
Aula 3: Revisão das Medidas de Dispersão
Medidas de Posição Central
Em uma dada distribuição amostral é possível fazer várias observações no intuito de entender o comportamento dos seus valores. Normalmente as medidas de posição não são suficientes para dar o comportamento de uma distribuição de dados, sendo necessárias informações adicionais que permitam uma melhor análise do fenômeno a ser estudado. É importante levar um ponto em consideração durante a análise dos dados, a dispersão ou variabilidade. A dispersão ou variabilidade indica a maior ou menor diferença entre os valores de uma variável, dado da distribuição, e sua medida de posição, normalmente a média.
Estudaremos as seguintes medidas de dispersão:
1
Amplitude
2
Desvio médio
3
Variância e desvio padrão
4
Coeficente de variação
Amplitude
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Amplitude Interquadril
Com o objetivo de determinar onde se situam os 50% valores centrais, pode calcular a Amplitude Interquartil (IQR):
IQR = Q3 – Q1
Amplitude Total
Numa amostra de n valores ordenados, onde n é a quantidade total de dados, definimos como amplitude total (R) a diferença entre os valores máximo (H) e mínimo (L) da relação.
R = xmáx – xmín = H – L
Exemplo
Amplitude total: sabendo-se que a quantidade de garrafas de refrigerantes vendidas no mercado, durante uma semana, foi de 10, 12, 13, 14, 15, 16 e 18 garrafas, temos para a amplitude total:
· n = 7;
· H = xmáx = x7 = 18;
· L = xmín = x1 = 10
Amplitude total: R = 18 – 10 = 8
A amplitude total, pela influência dos valores extremos, que muitas vezes podem não representar o comportamento da distribuição dos dados, são considerados instáveis.
Os dados podem ser agrupados numa tabela de distribuição de frequência ou numa tabela de distribuição por classes:
O fato de a variância ser calculada a partir dos quadrados dos desvios gera um número com a unidade quadrada em relação a variável em estudo, que é um inconveniente. Esse inconveniente criou a necessidade de uma nova variável denominada desvio padrão definida como a raiz quadrada da variância e representada por s (amostra) e σ (população), com mais utilidade e interpretação prática.
	σ=σ2−−√     e     s=s2−−√
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação mede a homogeneidade dos dados, ou seja, mostra a magnitude do desvio padrão em relação à média dos dados como porcentagem. Permitindo caracterizar a dispersão dos dados em função do valor médio. Quanto maior o valor do coeficiente de variação, menos homogêneo será o conjunto.
	CV= σ μ×100CV= σ μ×100    (População)
	CV= s x¯×100CV= s x¯×100    (Amostra)
Quando é necessário comparar duas amostras com média e desvio padrão diferentes, podemos comparar os coeficientes de variação. Quanto maior o valor, menor será a homogeneidade da distribuição, ou seja, apresenta o maior grau de dispersão.
Tomemos os resultados das medidas de altura e pesos de um mesmo grupo de pessoas tiradas de uma sala de aula.
	
	
	s
	ALTURA
	176 cm
	5,0 cm
	PESO
	69kg
	2,0kg
A fim de comparar a dispersão das duas relações de medidas, utilizaremos o coeficiente de dispersão.
	CVALT= 5 176=0,0284CVALT= 5 176=0,0284
	CVPESO= 2 69=0,0290CVPESO= 2 69=0,0290
Podemos observar que neste grupo de pessoas, a relação de distribuição das alturas apresenta um menor grau de dispersão do que os pesos.
Usando o Excel
Seja uma distribuição amostral composta de sete números (n), representando o tempo (em minutos) de execução de uma prova.
X = (85, 86, 88, 88, 91, 94, 104)
Usando as fórmulas prontas do Microsft Excel para determinar a variância e o desvio padrão da amostra e da população, teremos:
O comando VARP(NUM1;NUM2...) calcula a variância da população, bastando marcar as células que contêm os dados.
Aula 4: Gráficos Estatísticos no Microsoft Excel
Inserindo Gráficos no Excel
Para que um gráfico seja inserido no Excel, é necessário que os dados que se deseja analisar também estejam contidos na planilha.
Vejamos como seria ilustrar graficamente a venda de camisas por cor:
Formatando o Gráfico
É preciso formatar o gráfico criado, pois ele não possui informação de cabeçalho, rótulos nos dados, nome dos eixos etc
Movendo o Gráfico
O gráfico pode ser colocado na mesma planilha onde estão inseridos os dados, ou em uma planilha diferente, caso não haja espaço para colocá-lo. Para fazer essa escolha, basta clicar na opção local, ainda na opção design.
Escolhendo a opção Nova planilha, o Excel vai inserir uma planilha com o nome especificado na caixa de texto e moverá o gráfico para esta planilha criada. Escolhendo a opção Objeto em, o Excel vai inserir o gráfico em uma das planilhas existentes no arquivo e que estarão listadas na caixa de opções ao lado da opção escolhida, conforme mostrado na figura. Esta mudança pode ser desfeita refazendo o processo novamente desde o início.
Menu Layout
O menu Layout possui as seguintes opções:
Seleção Atual
A primeira opção, Seleção atual, permite formatar uma parte do gráfico dentre as opções relacionadas na caixa, utilizando a janela drop-down.
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Como exemplo, vamos alterar o eixo vertical.
Escolha a opção Formatar seleção.
Abrirá a caixa e marcaremos o mínimo como fixo e 0,0 na caixa de texto, o máximo como fixo e 35 na caixa de texto, conforme a figura.
Com a opção Inserir, é possível colocar imagens (figuras e fotos), formas (setas, linhas, figuras geométricas etc.) ou caixas de texto.
Com a opção Rótulo, é possível inserir e formatar os vários rótulos do gráfico, como rótulo dos dados, título do gráfico e dos eixos, a legenda e a tabela de dados.
Rótulos
As duas seleções seguintes são referentes aos dados que podem ser colocados no gráfico, opção Rótulo de dados, ou na forma de tabela, opção Tabela de dados.
As linhas de grades em um gráfico têm a finalidade de orientar a posição de um valor em comparação aos outros valores do gráfico, principalmente neste exemplo, se as alturas das colunas fossem próximas. Quando se utilizam rótulos, as linhas de grades podem ser alteradas.
Comentário
Em nosso exemplo, utilizaremos para o eixo horizontal as linhas de grades principais, que são as mais utilizadas. Para o eixo vertical será mantida a opção Nenhuma.
Plano de Fundo, Análise e Propriedades
Menu Formatar
As duas seleções seguintes são referentes aos dados que podem ser colocados no gráfico, opção Rótulo de dados, ou na forma de tabela, opção Tabela de dados.
Aula 5: Medidas de Assimetria e de Curtose
Medidas de Assimetria
Nas aulas anteriores, vimos a natureza da assimetria, isto é, quando a curva de frequência se afasta da posição de simetria, sendo simétrica quando a média e a moda coincidem, ou seja, possuem o mesmo valor.
A curva de uma distribuição simétrica tem por característica que o valor máximo encontra-se no ponto central da distribuição. Desta forma, os pontos equidistantes do centro possuem a mesma frequência.
Quando se faz um levantamento estatístico, dificilmente encontramos, na prática, uma distribuição simétrica. O que ocorre, em levantamentos de dados reais, são medidas mais ou menos assimétricas em relação à frequência máxima.
A distribuição assimétrica à esquerda ou negativa ocorre quando o valor da moda é maior do que a média. Logo, a distribuição assimétrica à direita ou positiva ocorre quando a moda é menor do que a média.
Desta forma, a diferença entre a moda e a média poderá definir o tipo de assimetria.
Calculando o valor da diferença
x = Mo
x - Mo = 0 → Assimetria nula ou distribuição simétrica.
x = Mo < 0 → Assimetria negativa ouà esquerda.
x - Mo > 0 → Assimetria positiva ou à direita.
Exemplos
Logo, usando a fórmula (x - Mo), tem-se:
A assimetria nos mostra o quanto a média se desloca para a direita ou para a esquerda, mostrando, também, como algumas condições impostas sobre a população podem influenciar o resultado e deslocamento da média.
Atenção
O grau de curtose indica se a distribuição está mais ou menos concentrada, fazendo com que a curva esteja mais ou menos achatada em relação à curva normal (curva mesocúrtica), padrão de referência para a classificação do grau de curtose.
Aula 6: Probabilidade
Estatística
A maioria dos assuntos de que trata a Estatística tem uma natureza aleatória ou probabilística. É esta a importância do estudo dos conhecimentos fundamentais do cálculo da probabilidade, além de ser fundamental no estudo da Estatística Inferencial ou Indutiva.
Experimento Aleatório
É qualquer processo aleatório capaz de produzir observações e que possa se repetir indefinidamente no futuro sob as mesmas condições. Um experimento aleatório apresenta variações nos resultados, o que faz com que seus resultados a priori não sejam determinados antes que tenham sido realizados. É possível, entretanto, indicar todos os seus resultados possíveis, ou seja, as suas probabilidades. É na verdade qualquer processo capaz de gerar um resultado incerto ou casual.
O experimento aleatório apresenta três características, que possibilitam calcularmos uma probabilidade, são elas:
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Característica 1
Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições, n vezes (n ∞).
Característica 2
Embora não se possa prever a priori que resultados ocorrerão, pode-se descrever o conjunto de resultados possíveis.
Característica 3
À medida que se aumenta o número de repetições, surgirá certa regularidade dos resultados, isto é, haverá uma estabilidade na ocorrência da frequência relativa de um particular resultado.
Comentário
Assim, observamos que todo experimento que apresentar resultados diferentes quando repetido nas mesmas condições iniciais é considerado um experimento aleatório, e a variabilidade dos seus resultados deve-se ao acaso. A tudo isto liga-se a incerteza, que é a chance de ocorrência do resultado de interesse.
Temos como exemplo os operários que trabalham no setor de produção de determinada empresa. Sabe-se que neste setor trabalham oito operários. Um experimento ao acaso seria escolher de forma aleatória um dos operários. Pode-se considerar como evento de interesse o sexo do operário escolhido.
Espaço Amostral
Cada experimento aleatório corresponde, normalmente, a inúmeros resultados possíveis. Chamamos de espaço amostral ou conjunto universo o seu conjunto de possibilidades, isto é, o conjunto formado por todos os possíveis resultados do experimento, geralmente denominado S ou Ω (letra grega que se lê: “ômega”). Definimos por n(S) como sendo o número de elementos do conjunto S, ou seja, o número de resultados possíveis do experimento.
1
Finito
Número limitado de elementos.
Ex.: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
Infinito
Número ilimitado de elementos, e pode ser subdividido em: Finito e Infinito.
3
Enumerável
Quando os possíveis resultados puderem ser postos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais (N) (caso das variáveis aleatórias discretas).
4
Não Enumerável
Quando os possíveis resultados não puderem ser postos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais (caso das variáveis aleatórias contínuas).
Eventos
Seja um espaço amostral S de um experimento aleatório qualquer, consideramos evento qualquer subconjunto desse espaço amostral S.
Logo, qualquer que seja E um conjunto de possíveis resultados do experimento, se E ⊂ S, então E é um evento de S.
Se E = S, chamamos E de evento certo; se E é um conjunto unitário e E ⊂ S, chamamos E de evento elementar; quando E = ∅, chamamos de evento impossível.
Probabilidade
Seja S o espaço amostral de um experimento aleatório, se todos os elementos de S possuem a mesma chance de acontecer, então S é um conjunto equiprovável.
Definimos como sendo a probabilidade de um evento A (A ⊂ S) o valor real P(A), tal que:
P(A)=n(A)n(S)
Onde:
n(A) = número de elementos de A;
n(S) = número de elementos de S.
A probabilidade de um evento certo é igual a 1: P(S) = 1;
A probabilidade de um evento impossível é igual a 0: P(∅) = 0;
A probabilidade de um evento A qualquer (A ⊂ S) é o valor real P(A), tal que: 0 ≤ P(A) ≤ 1;
Seja n(S) = n e A um evento elementar qualquer, onde n(A) = 1, logo a probabilidade de A será:
P(A)=1nP(A)=1n
O valor de uma probabilidade está dentro do intervalo fechado de números reais que vai de 0 a 1, incluindo as extremidades desse intervalo. A probabilidade pode ser da forma decimal do tipo 0,70, ou representada na forma de percentagem onde o mesmo número é multiplicado por 100. Ficando na forma 70%.
Saiba mais
Quanto mais a probabilidade se aproxima de 1, maior é sua possibilidade de ocorrer. Quanto mais se aproxima de 0, o evento se torna mais improvável de ocorrer.
Há três maneiras de estimar ou calcular probabilidades, são elas:
Método Subjetivo
O método subjetivo, que se baseia em estimativas pessoais de probabilidade ou algum tipo de crença.
Método Empírico
O método empírico, que leva em consideração a frequência relativa de um determinado evento em cima de um grande número de fatos repetidos.
Método Clássico
No método clássico, o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. Em geral, utiliza-se este último método para o cálculo de probabilidades.
O que não pode acontecer é confundir “chance” com “probabilidade”, pois existe certa diferença entre eles. A chance compara a quantidade de resultados possíveis de A com os resultados possíveis de outro evento (B ou C), enquanto que a probabilidade faz relação entre os resultados possíveis de A com a quantidade total dos resultados possíveis do experimento aleatório.
Em uma caixa com 7 bolas brancas, 3 azuis e 4 pretas, a probabilidade de retirar uma bola branca é:
P (branca) = 𝟕/𝟏𝟒 = 0,5 ou 50%
Enquanto que a chance de retirar uma bola branca é 7:7, ou seja, a chance de retirar uma bola branca é a mesma de retirar uma bola de outra co
Eventos Complementares
Todo evento pode ocorrer ou não. Se um evento possui uma probabilidade p de sucesso e uma probabilidade de insucesso q, então para esse mesmo evento existe a relação:
p+q=1 → q=1−Pp+q=1 → q=1-P
Se P(A) é a probabilidade do evento A, então 𝑃(𝐴 ̅) é a probabilidade do evento não A (complemento de A), tal que:
P(A)+P(A¯¯¯)=1 → P(A¯¯¯)=1−P(A)
Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando o sucesso ou o insucesso de um dos eventos não afeta a probabilidade de sucesso do outro evento e vice-versa. O resultado obtido por um evento independe do resultado obtido no outro evento. Neste caso de eventos independentes, a probabilidade de que os dois eventos se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de sucesso de cada evento.
Sejam dois eventos A e B, onde P(A) = p1 e P(B) = p2, logo um terceiro evento C, definido pela ocorrência simultânea dos eventos A e B, terá probabilidade P(C) = p. E a probabilidade do evento C será função das probabilidades individuais de A e B, dada por:
p=p1×p2p=p1×p2
Outra forma de representar a ocorrência simultânea de dois eventos A e B é P(A ∩ B).
P(A∩B)=P(A)×P(B)
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando o sucesso de um evento exclui a realização do(s) outro(s).
Desta forma, no experimento aleatório de lançamento de um dado, o evento tirar o número 3 e o evento tirar o número 6 são mutuamente exclusivos, uma vez que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Quando se deseja calcular a probabilidade de que um evento ou outro se realize, sendo estes eventos mutuamente exclusivos, determinamos a soma das probabilidades de sucesso de cada evento separadamente.
Ou seja:
p=p1+p2p=p1+p2
No caso do dado a probabilidade do evento de tirar 3 ou 6 é:
p=p1+p2=16+16=26=13Aula 7: Distribuição Binomial
Tipos de Variáveis
Existem muitos tipos de variáveis que serão utilizadas em um estudo estatístico. É importante compreender o conceito matemático de variável. Variável é algo que se refere a um determinado aspecto do fenômeno que está sendo estudado. Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja é uma variável. Representemos essa variável pela letra X.
Essa variável pode assumir diversos valores específicos, em função dos anos de safra, por exemplo, X1986, X1990 e X1992.
Variáveis Quantitativas
Referem-se a quantidades e podem ser medidas em uma escala numérica. Exemplos: idade de pessoas, preço de produtos, o peso de recém-nascidos.
As variáveis quantitativas subdividem-se em dois grupos:
Variáveis Quantitativas Discretas
São aquelas que assumem apenas determinados valores tais como 1, 2, 3, 4, 5, 6, dando saltos de descontinuidade entre seus valores. Normalmente referem-se a contagens.
Por exemplo: número de vendas mensais em uma loja, número de pessoas por família, quantidade de internações por hospital.
Variáveis Quantitativas Contínuas
São aquelas cujos valores assumem uma faixa contínua e não apresentam saltos de descontinuidade.
Exemplos dessas variáveis são:
• O peso de pessoas;
• O consumo mensal de energia elétrica;
• O preço de um produto agrícola.
Referem-se ao conjunto dos números reais ou a um de seus subconjuntos contínuos.
Variáveis Qualitativas
Referem-se a dados não numéricos. Exemplos dessas variáveis são: o sexo das pessoas, a cor, o grau de instrução.
As variáveis qualitativas subdividem-se também em dois grupos:
 Clique nos botões para ver as informações.
Variáveis Qualitativas Ordinais
São aquelas que definem um ordenamento ou uma hierarquia. Como exemplo, temos o grau de instrução, a classificação de um estudante no curso de estatística, as posições das 100 empresas mais lucrativas etc.
Variáveis Qualitativas Nominais
Não definem qualquer ordenamento ou hierarquia. Como exemplos, temos a cor, o sexo, o local de nascimento etc. Dependendo da situação, uma variável qualitativa pode ser representada (codificada) através do emprego de números (por exemplo: em sexo, representamos homens como sendo “0” e mulheres como sendo “1”). Mas no tratamento estatístico dessa variável codificada, não podemos considerá-la como sendo quantitativa. Ela continua sendo uma variável qualitativa (pois o é em sua essência e natureza), apesar de sua codificação numérica, que tem como finalidade uma maior finalidade de tabulação de resultados.
Variável Aleatória
função variável aleatória. Costuma-se definir a função variável aleatória por uma letra maiúscula e seus valores por letras minúsculas.
Seja S o espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas moedas”, logo S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}. Se X representa “o número de caras” que aparecem, temos que a cada ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela.
	NÚMERO DE ACIDENTES
	FREQUÊNCIAS
	(Ca, Ca)
	2
	(Ca, Co)
	1
	(Co, Ca)
	1
	(Co, Co)
	0
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Com a distribuição binomial, podemos determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas.
A função para tal é:
f(x)=P(x=k)=(nk)pk.qn−kfx=Px=k=nkpk.qn-k
Distribuição de Probabilidade
Suponha uma distribuição de frequências relativas ao número de acidentes diários em um estacionamento
	NÚMERO DE ACIDENTES
	FREQUÊNCIAS
	0
	22
	1
	5
	2
	2
	3
	1
	
	∑∑ = 30
Em um dia, a probabilidade de:
• Não ocorrer acidente é: p=2230 = 0,73p=2230 = 0,73
• Ocorrer um acidente é: p=530 = 0,17p=530 = 0,17
• Ocorrerem dois acidentes é: p=230 = 0,07p=230 = 0,07
• Ocorrerem três acidentes é: p=130 = 0,03p=130 = 0,03
É possível, então, escrever a tabela de probabilidade:
	NÚMERO DE ACIDENTES
	FREQUÊNCIAS
	0
	0,73
	1
	0,17
	2
	0,07
	3
	0,03
	
	∑∑ = 1
Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2, x3,..., xn. A cada valor de xi correspondem pontos do espaço amostral. Para cada valor de xi fica associada uma probabilidade pi de ocorrência (sucesso) de tais pontos no espaço amostral. Desta forma, temos que:
∑∑Pi = 1
Os valores x1, x2, x3,..., xn e seus correspondentes p1, p2, p3,..., pn definem uma distribuição de probabilidade.
Vejamos novamente a tabela do espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas moedas”, incluindo uma coluna de probabilidade de X (o número de caras).
Temos então:
	NÚMERO DE ACIDENTES
	FREQUÊNCIAS
	P(X)
	(Ca, Ca)
	2
	1/2 x 1/2 = 1/4
	(Ca, Co)
	1
	1∕2  x 1∕2=1∕41∕2  x 1∕2=1∕4→14+14=241∕2  𝑥 1∕2=1∕41∕2  𝑥 1∕2=1∕4→14+14=24
	(Co, Ca)
	1
	
	(Co, Co)
	0
	1/2 x 1/2 = 1/4
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma relação unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P (probabilidade). Nessa correspondência temos os valores xi (i = 1, 2, 3, .., n) formando o domínio da função e os valores pi (i = 1, 2, 3, .., n) formando o seu conjunto imagem.
Desta forma definimos a função probabilidade, representada por:
f(x)=P(x = xi)f(x)=P(x = xi)
A função P(x = xi)P(x = xi) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Tomando como exemplo o lançamento de um dado, onde a variável X é definida por “pontos de um dado” e podendo tomar os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Sabendo que a cada um destes valores está associada apenas uma probabilidade de realização e que P(xi) = 1, fica definida uma função, da qual resulta a tabela de distribuição de probabilidade.
	(X)
	P(X)
	6
	1/6
	5
	1/6
	4
	1/6
	3
	1/6
	2
	1/6
	1
	1/6
	
	∑ = 1
Distribuição Binomial
A distribuição binomial é um prolongamento da distribuição de Bernoulli, devendo ser aplicada em problemas nos quais um experimento é realizado um número de vezes preestabelecido. Cada uma destas repetições é denominada prova ou experimento.
Vamos considerar um experimento aleatório que tenha as seguintes características:
 O experimento deve ser repetido nas mesmas condições, um número finito de vezes, ou seja, considerar n tentativas;
 As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das demais;
 Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso e insucesso, com as mesmas probabilidades de ocorrer;
 No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Em geral resolveremos problemas do tipo: determinar em n tentativas a possibilidade de se obterem k sucessos. O experimento “obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda” satisfaz essas condições.
Atenção
É importante entender que, na realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento (insucesso) é 1 – p = q.
Suponhamos que realizemos o mesmo experimento n vezes, em tentativas sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nos experimentos realizados é dada pela função:
f(x)=P(x =k)=(nk)pk.qn−kf(x)=P(x =k)=(nk)pk.qn-k
Em um dia, a probabilidade de:
(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas;
p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso;
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova – insucesso;
(nk)(nk) é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a n!k!(n−k)!
É importante lembrar que o sinal “!” representa a função fatorial, logo 5! representa o produto da sequência de 1 a 5. 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial. O nome binomial vem do fato de (nk)pk.qn−k(nk)pk.qn-k ser o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade utilizada em experimentos onde é possível ter dois tipos de resultados: sucesso ou fracasso.
Aula 8: Distribuição normal e Gráficos dedispersão
Determinando a variável
Diversos tipos de variáveis são utilizadas em um estudo estatístico. É importante entender o conceito matemático de uma variável.
Chamamos variável aquilo que se refere a um determinado aspecto do fenômeno que está sendo estudado.
Exemplo
Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja é uma variável. Representemos essa variável pela letra X. Essa variável pode assumir diversos valores específicos, em função dos anos de safra, como por exemplo, X1986, X1990 e X1992. Esses valores que a variável assume em determinados anos não são a própria variável, mas valores assumidos por ela para determinados objetos, ou pessoas da amostra ou da população. Se uma amostra tiver 50 indivíduos, podemos referir-nos a X como sendo a variável nota de estatística e a X30 como a nota de um indivíduo particular, no caso o trigésimo.
Distribuição normal
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, podemos considerar a distribuição normal como uma das mais empregadas.
A observação cuidadosa mostrou que a ideia de que distribuição normal não correspondia à realidade de todos os fenômenos da vida real. De fato, não são poucos os casos representados por distribuições assimétricas (não normais).
Mas a distribuição normal tem papel predominante na Estatística, e os processos de inferência nela baseados possuem vasta aplicação.
Saiba mais
É comum na literatura encontrarmos letras maiúsculas para a notação de variáveis e as correspondentes letras minúsculas para referência aos valores particulares assumidos por essa variável. Porém, neste resumo procuraremos evitar essa forma de notação.
Gráfico da distribuição normal de frequências
1
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real
2
A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média (x¯x¯), ponto central e de maior frequência (coincidem média, moda e mediana), que recebe o nome de curva normal ou de Gauss
3
A probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real corresponde à área total sob a curva, ou seja, a área total entre a curva e o eixo das abscissas, que é igual a 1
5
A densidade de probabilidade é mais alta no meio e diminui gradualmente em direção às caudas. Logo, as extremidades da curva normal aproximam-se indefinidamente do eixo das abscissas sem tocá-lo, isto é, a curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas
6
Por ser padrão, todos os momentos e coeficientes de assimetria são iguais a zero, e o coeficiente de curtose é igual a 0,263
7
Como a curva normal é simétrica em torno da média (x¯x¯), a probabilidade de ocorrer um valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer um valor menor do que a média, que são iguais à metade da área, ou seja, 0,5. Dizemos que: P(X > x¯x¯)= P(X < x¯x¯)= 0,5
Probabilidades
As probabilidades referentes à distribuição normal reduzida estão determinadas em uma tabela específica, apresentada a seguir, não sendo mais necessário serem calculadas.
Esta tabela fornece a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre 0 e determinado valor de z, tal que:
P (0 < Z ≤ z)
Aula 9: Correlação e Regressão Linear
Correlação e Regressão
Nas aulas anteriores procuramos descrever a distribuição de valores de uma única variável. A partir desse ponto podemos aprender a calcular as medidas de tendência central, variabilidade e demais parâmetros. Quando, porém, consideramos observações de duas ou mais variáveis surge um novo problema, do tipo, como verificar as relações que podem existir entre as variáveis estudadas. Para esse tipo de análise, as medidas estudadas não são eficientes.
Assim, quando consideramos variáveis como peso e estatura de um grupo de pessoas, uso do cigarro e incidência de problemas pulmonares, procura-se verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual é essa relação.
Uma vez caracterizada a relação quantitativa, procuramos descrevê-la através de uma função matemática. A regressão é o instrumento adequado para determinação dos parâmetros dessa função e medir essa relação. Se todos os valores das variáveis satisfazem exatamente uma equação, diz-se que elas estão perfeitamente correlacionadas ou que há correlação perfeita entre elas.
Dica
Quando estão em jogo somente duas variáveis, fala-se em correlação e regressão simples. Quando se trata de mais de duas variáveis, fala-se em correlação e regressão múltipla.
Correlação
É de conhecimento matemático que a área e o comprimento do lado do quadrado estão relacionados. Essa é uma relação perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença matemática, algumas vezes chamada de relação funcional:
A = ℓ2
Onde A é a área e ℓ é o lado do quadrado.
Vejamos, agora, a relação que existe entre peso e altura das pessoas de um grupo. Fica claro de essa relação não é a do mesmo tipo e nem tão precisa quanto a anterior.
Uma vez que pessoas de alturas diferentes tenham pesos iguais e, da mesma forma, pessoas com alturas iguais possuam pesos diferentes. Entretanto, quanto maior a altura, maior o peso. Neste caso dizemos que peso-altura possui uma relação estatística.
Diagrama de Dispersão
Um exemplo interessante é separar as notas das provas de alunos de uma mesma turma da faculdade A. vejamos duas disciplinas da área de exatas, por exemplo, matemática e estatística. Separando uma amostra de notas de 10 alunos escolhidos aleatoriamente, teremos:
Para esboçar um diagrama de dispersão, primeiro traça-se o sistema de eixos cartesianos ortogonais. Depois se representa uma das variáveis no eixo “x” (horizontal) e a outra no eixo “y”(vertical). Colocam-se, então os valores das variáveis sobre os respectivos eixos e marca-se um ponto para cada par de valores.
Esse diagrama nos fornece uma ideia grosseira, porém útil da correlação existente entre as variáveis.
Correção Linear
De um modo geral, os pontos de uma análise estatística colocados no gráfico cartesiano, possuem a forma aproximada de uma elipse em diagonal. Logo, quanto mais fina for essa elipse, mais ela se aproximará de uma reta. Essa reta pode ser chamada de “imagem” da correlação.
A correlação linear é a aproximação dessa elipse em uma reta que mais se aproxime da maioria dos pontos dados.
Neste exemplo a “imagem” é uma reta crescente, então é denominada correlação linear positiva.
Correlação Linear Positiva
Os pontos do gráfico têm como “imagem” uma reta crescente.
Correlação Linear Negativa
Os pontos do gráfico têm como “imagem” uma reta decrescente.
Correção Não – Linear
Os pontos do gráfico têm como “imagem” uma curva.
Não há Correlação
Quando os pontos, por sua elevada dispersão, não segue nenhum dos casos anteriores, dizemos que não há correlação.
Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então: r = +1
Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então: r = –1
Se não há correlação entre as variáveis, então: r = 0
Saiba mais
Para que possamos descrever a relação por meio do coeficiente de correlação de Pearson é fundamental que ela se aproxime da função linear. A maneira prática de verificar essa linearidade é a inspeção do diagrama de dispersão. Se a elipse apresenta reentrâncias ou saliências mais acentuadas, provavelmente trata-se da correlação curvilínea. O r mede a intensidade, ou grau, de um relacionamento linear. Não serve para medir a intensidade de um relacionamento não-linear.
Em função do coeficiente de correlação é possível concluir a relação entre as variáveis:
0,6 ≤ |r| ≤ 1
É considerada boa a correlação entre as variáveis, é possível tirar conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das variáveis.
0,3 ≤ |r| < 0,6
A correlação entre as variáveis é relativamente fraca.
0 < |r| < 0,3
A correlação entre as variáveis é muito fraca e não é possível concluir praticamente nada sobre a relação das variáveis em estudo.
Vamos analisar a correlação das notas de matemática e estatística dos alunos da amostra selecionada?
Regressão
Todas as vezes que temosduas variáveis com certa correlação e desejamos estudar uma variável em função da outra, fazemos uma análise de regressão.
O objetivo principal da análise de regressão é realizar a relação entre as duas variáveis, a partir de um modelo matemático linear, partindo de n observações das mesmas.
A variável sobre a qual desejamos fazer a estimativa é denominada variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.
Considerando X a variável independente e Y a variável dependente, vamos determinar o ajustamento da reta obtendo a função definida por:
Y = aX + b
Onde a e b são parâmetros.
Voltando ao exemplo das notas de matemática e estatística, verificamos que existe uma correlação acentuada entre as variáveis, r = 0,91. Vimos ainda pela forma do diagrama de dispersão, que se trata de uma correlação retilínea.
Observando as notas vemos que a menor nota é 2 e a maior nota é 10, então 4,5 ∈ [2 , 10]. Dizemos então que foi feita uma interpolação, isto é, a estimativa de uma nota dentro da faixa abrangida pelos dados da amostra. Da mesma forma vemos que 1,5 não faz parte da relação de notas, fazendo a estimativa dessa nota:
X = 1,5 ⇒ Yˆ = 0,86 x 1,5 + 0,89 = 2,18X = 1,5 ⇒ Y^ = 0,86 x 1,5 + 0,89 = 2,18
	
Observando as notas vemos que 1,5 ∉ [2 , 10]. Dizemos então que foi feita uma extrapolação, isto é, a estimativa de uma nota fora da faixa abrangida pelos dados da amostra.
Atenção
Uma norma básica no uso da regressão linear é a de nunca extrapolar, exceto quando considerações teóricas ou experimentais demonstrem a possibilidade de extrapolação.
Aula 10: Números Índices
Premissa
Um exemplo simples de números absolutos e relativos pode esclarecer melhor essa ideia. Imagine uma determinada faculdade que possua os cursos A, B, C, D e E. Uma pesquisa identifica a quantidade de alunos que trancaram a matrícula no ano anterior.
	Curso
	Alunos Trancados
	Total
	A
	90
	1.543
	B
	83
	997
	C
	150
	2.352
	D
	60
	717
	E
	110
	1.766
Com a necessidade de comparar os cursos para análise, esta tabela, com números absolutos, não ajuda muito. Entretanto, ao apresentarmos uma tabela com números relativos, temos:
	Curso
	Alunos Trancados
	A
	5,83%
	B
	8,32%
	C
	6,38%
	D
	8,37%
	E
	6,23%
O que nos permite facilmente verificar que o curso D apresentou o maior índice de alunos que trancaram a matrícula.
Conceito
É a relação entre dois ou mais estados de uma variável, que está sujeita à variação no tempo ou no espaço. Ou seja, é a razão entre uma variável numa determinada data e esta mesma variável em outra data. Esta razão é obtida dividindo o valor da variável na data desejada pelo valor da variável na data base. O resultado é então multiplicado por 100.
Vejamos a tabela a seguir, que mostra a análise de um estabelecimento de ensino sobre a quantidade de alunos matriculados no período de 2006 a 2010.
	Anos
	2006
	2007
	2008
	2009
	2010
	Matriculados
	1050
	1160
	1230
	1440
	1580
	Número-índice
	100,00
	110,5
	117,1
	137,1
	150,5
Observando a tabela, verifica-se que os números-índices mostram a evolução percentual, permitindo-nos perceber imediatamente a variação relativa sofrida pelo número de alunos matriculados ao longo do período escolhido.
Comentário
A tabela mostra um aumento, em relação ao ano de 2006, de 10,5% em 2007; 17,1% em 2008; 37,1% em 2009; e 50,5% em 2010. Observe que, por convenção, o símbolo de percentagem (%) não é utilizado.
Relativos de preços
Sempre que é necessário analisar a variação no preço, na quantidade ou no valor de um determinado bem, é possível fazer uso do que chamamos de relativos de preço, de quantidade ou de valor. Fazemos isso através da variação percentual do item a ser analisado.
Vamos considerar o índice o para representar a data-base e o índice t para representar a época atual (ou a ser analisada).
Determinando o relativo de preços, temos:
po: preço na época-base | pt: preço na época atual
A fórmula é determinada a partir de uma regra de três simples, na qual fazemos o preço na data-base ser equivalente a 100, como segue:
po,t (relativo de preço): é um indicador que reflete a variação de preços de um conjunto de bens e serviços entre momentos no tempo.
po,t = ptpo × 100po,t = ptpo × 100
qo,t (relativo de quantidade): representa as variações das quantidades de conjunto de bens ou serviços produzidos, vendidos ou consumidos entre momentos no tempo.
qo,t = qtqo × 100qo,t = qtqo × 100
vo,t (relativo de valor): é um indicador que representa as variações dos preços em relação às quantidades em momentos diferentes do tempo.
vo,t = vtvo × 100vo,t = vtvo × 100
Tipos de índice
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Índices agregativos
Até agora, vimos índices utilizados apenas para caracterizar a evolução do preço de um só bem. No entanto, exige-se um índice que sintetize a variação dos preços de um conjunto de bens (agregado). Para cumprir essa finalidade, utilizamos o índice agregativo.
Muitas são as formas de determinar os índices agregativos, apesar de os fundamentos básicos serem constantes. Na verdade, o que varia são os aspectos relacionados com o campo de aplicação do índice. Um exemplo clássico é o índice de inflação, que considera diversas variáveis, com pesos distintos.
• Índice agregativo simples
Este índice é calculado a partir da média aritmética dos relativos, obtendo assim o índice médio dos relativos.
Índice de preços
Para se construir um índice de preços, independentemente da finalidade, devemos considerar alguns pontos básicos:
a) Objetivo do índice: o objetivo do índice deve ser definido com bastante precisão, definindo o que está sendo medido e a que se refere. A partir daí, é possível selecionar os produtos que comporão o índice.
b) Produtos a serem incluídos: na escolha dos produtos a serem incluídos, deve-se procurar os mais representativos e importantes, dentre aqueles que integram o setor para o qual o índice será calculado.
c) Preços a serem incluídos: após identificar o setor para o qual vão ser determinados os preços (atacado, varejo etc.), deve-se decidir a forma de cotação e como serão coletados os preços.
d) Fórmula: a fórmula de Laspeyres é a mais usada nos casos de índices de preços, pois emprega pesos fixos, permitindo a revisão periódica de seus valores. Desta forma, as comparações podem ser feitas diretamente ou através de elos de relativos.
Índice de custo de vida
O índice de custo de vida, também chamado de índice de preço ao consumidor, mede a variação de preços de um conjunto de bens e serviços necessários à vida do consumidor final padrão.
Os principais itens devem ser considerados, tais como: alimentação, vestuário, mobiliário, habitação, lazer, saúde, higiene, além dos gastos com água, luz, transporte, educação e outros.
As famílias, por meio de pesquisas, determinam a lista de bens e serviços consumidos por elas e a percentagem de gastos com os respectivos itens. A partir desses dados, é fixado um índice de preço (Laspeyres) para cada grupo.
Após todos os dados coletados, calcula-se a média aritmética ponderada dos índices de preços dos grupos, onde os pesos são os valores percentuais dos gastos com cada grupo na despesa total da família padrão.
Índice de preços ao consumidor (IPC)
É um índice que reflete os gastos das famílias com renda de até 8 salários mínimos, onde o chefe da família é assalariado em sua ocupação principal. Os gastos são agrupados em categorias de consumo de mesma natureza, como alimentação, habitação, vestuário, higiene, transporte, luz, combustível, educação, recreação e diversos.
A coleta de preços é feita pelo IBGE, em dez regiões metropolitanas. O período pesquisado é do dia 16 do mês ao dia 15 do mês seguinte.
IPC da FIPE
FIPE é a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da USP, que pesquisa o custo de vida em São Paulo para famílias que possuem renda de dois a seis salários mínimos. A FIPE compara os preços médios de quatro semanas com as quatro semanas imediatamente anteriores.
É o índice mais antigo do Brasil e, na opinião de alguns especialistas, é o que melhormede a inflação, refletindo a variação dos preços de alimentos, aluguel, vestuário, transporte etc.
Índice de cesta básica (ICB)
É um índice bimestral usado para a correção do salário mínimo. Tem uma metodologia semelhante ao do IPC, porém representa os gastos de famílias com renda de até dois salários mínimos.
Índice geral de preços (IGP)
É um índice calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) através da média ponderada dos seguintes índices, com seus respectivos pesos: índice de preços por atacado (60%), índice de custo de vida (30%) e índice de custo da construção civil na cidade do Rio de Janeiro (10%).
O período de coleta é do 1º ao 30º dia do mês de referência. É o mais usado como indexador de contratos de longo prazo, públicos e privados.
Saiba mais
Esse procedimento é denominado deflacionamento de salários, e o índice de preços usado na determinação do salário real é chamado deflator.
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