Estatística - Contrastes

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Correção da atividade 1
Delineamentos inteiramente casualizados
Contrastes
Testes de Comparação de Médias
Estatística Experimental
Aula 2
Atividade 1
1) Defina: Média; Variância; Desvio padrão; Coeficiente de variação
2) Quais os princípios básicos da experimentação? Em que consiste cada 
princípio. Dê exemplos.
3) O que é um delineamento inteitamente casualizado? 
1) Média aritmética: é uma medida de tendência central = o quociente da 
divisão da soma dos valores da variável pelo número deles. x=xi/n
Variância: é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor
desse conjunto está do valor central (média). Baseia-se nos desvios em torno da
média aritmética, porém determinando a média aritmética dos quadrados dos
desvios.
S2=(xi-x)2/n.
Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. S = (S2)(pois a variância é
um número em unidade quadrada).
Coeficiente de variação: é uma medida usada para expressar a variabilidade
dos dados estatísticos excluindo a influência da ordem de grandeza, isto é,
caracteriza a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu
valor médio CV=(S/ x)100.
2) Princípios básicos da experimentação
(1) Repetição
(2) Casualização
(3) Controle local
3) Inteiramente casualizado
4) Um engenheiro agrícola deseja determinar qual dos bicos de um tipo de
pulverizador apresenta a maior área de distribuição. Diferentes bicos foram
testados sob as mesmas condições, em delineamento inteiramente
casualizado e determinado o alcance, em cm, conforme a tabela abaixo.
a) Construa o quadro da análise de variância
b) Teste a hipótese de nulidade na qual todos os tratamentos são iguais.
Dê as conclusões
Bicos
1 2 3 4
19 80 47 95
20 61 26 46
19 73 25 83
30 56 35 78
8 80 50 97
FV GL SQ QM F
Tratamento 3 12042.00 4014.00 21.78**
Resíduo 16 2948.80 184.30
Total 19 14990.80
a) Quadro da análise de variância
b) Hipóteses
H0: T1=T2=T3=T4
Ha: pelo menos as médias de dois tratamentos diferem entre si ao nível α de probabilidade.
21, 78 > 5,29 →Rejeita-se Ho a 1% de probabilidade
Conclusão: Pelo menos as médias de dois tratamentos diferem entre si ao nível de 1% de probabilidade
F[3;16]5% = 3,24 
F[3;16]1% = 5,29
Repetições
Tratament
o
1 2 3 4 5 6
A 70 80 100 90 80 50
B 100 100 120 130 110 -
C 180 150 170 180 160 -
D 220 210 200 190 200 -
E 130 140 160 150 - -
F 220 200 220 230 - -
G 270 250 250 280 - -
5) Um experimento foi conduzido em delineamento inteiramente casualizado para investigar a eficiência da aplicação de vinhaça em cana-de-açúcar em
condições de campo. Os tratamentos aplicados foram: (A) Volume adicionado: 0 m3/ha, (B) Volume adicionado: 100 m3/ha uma vez, (C) Volume
adicionado: 500 m3/ha uma vez, (D) Volume adicionado: 1000 m3/ha uma vez, (E) Volume adicionado: 100 m3/ha duas vezes, (F) Volume adicionado:
500 m3/ha duas vezes, (G) Volume adicionado: 1000 m3/ha duas vezes, obtendo-se as seguintes produtividades de cana, em t/ha.
a) Construa o quadro da análise de variância
b) Teste a hipótese de nulidade em que todos os tratamentos são iguais. Quais são suas conclusões?
FV GL SQ QM F
Tratamento 6 117320.00 19553.33 101.41**
Resíduo 26 5013.33 192.82
Total 32 122333.33
a) Quadro da análise de variância
b) Hipóteses
H0: A=B=C=D=E=F=G
Ha: pelo menos as médias de dois tratamentos diferem entre si ao
nível α de probabilidade.
101,41>3,59 → Rejeita-se Ho ao nível α de probabilidade.
Conclusão: Pelo menos as médias de dois tratamentos diferem
entre si ao nível de 1% de probabilidade.
F[6;26]5% = 2,47 
F[6;26]1% = 3,59
Média 
Mi = ∑(x∕r)
Variância da média: 
Var(Mi) = QMR/r
Mi = Média do tratamento
QMR = quadrado médio do resíduo
r = número de repetições
Intervalo de confiança da média: 
IC para Mi: Mi ± t(α/2; GLR)√Var(Mi) ou
IC para Mi: Mi ± t(α/2; GLR)√(QMR/r)
GLR = graus de liberdade do resíduo
t = valor tabela t 
α = nível de significância
Contraste: Ψ = ∑Ci.Mi ∑ Ψ = 0
Ci = Coeficiente do contraste do tratamento
Variância do contraste
Var Ψ = QMR.∑(Ci2/r)
QMR=quadrado médio do resíduo
Ci = Coeficiente do contraste
r = número de repetições
Soma do quadrado do contraste
SQΨ = Ψ2 / ∑(Ci2/r)
Contraste
Contrastes ortogonais
A ortogonalidade entre os contrastes indica independência linear na comparação estabelecida por um contraste na 
comparação estabelecida pelos outros contrates. 
Ou seja, a covariância entre os contrastes deve ser zero, ou seja ∑(CiΨ1 . CiΨ2 ...) /r = 0 ou ∑(CiΨ1 . CiΨ2 ...) = 0
Para um experimento com i tratamentos podem ser formados até i-1 contrastes ortogonais (= GLtrat). 
Regras práticas para formação dos contrastes: objetivos, divisão em grupos e subgrupos.
Contrastes
Objetivo: Comparar a eficiência de dois 
herbicidas novos (K e Z) com o padrão (F)
• K tem 3 formulações (2 líquidas, 1 granulada)
• Z tem 2 formulações (2 oral)
Tratamentos
KL1 = herbicida K líquida 1
KL2 = herbicida K líquida 2
KG = herbicida K granulada
ZL1 = herbicida Z líquida 1
ZL2 = herbicida Z líquida 2
F = herbicida padrão
Hipoteses:
1) O efeito dos novos herbicidas difere do herbicidas padrão
2) As formulações líquidas do herbicida K difere da granulada
3) As formulações do herbicida K difere do herbicida Z
4) As duas formulações líquidas do herbicida Z são diferentes
5) As duas formulações líquidas do herbicida K são diferentes
Contraste: Ψ = ∑Cimi
mi = Média do tratamento
Ci = Coeficiente do contraste
Contraste F KL1 KL2 KG ZL1 ZL2 ∑Ci
Ψ1 5 -1 -1 -1 -1 -1 0
Ψ2 0 1 1 -2 0 0 0
Ψ3 0 2 2 2 -3 -3 0
Ψ4 0 0 0 0 1 -1 0
Ψ5 0 1 -1 0 0 0 0
ortogonal 0 0 0 0 0 0 0
Quadro dos coeficientes dos contrastes (Ci)
Contrastes
2
SQΨ = Ψ
∑(Ci) ∕ r
2
Ψ1) O efeito dos novos antibióticos difere do antibiótico padrão?
F = (KL1 + KL2 + KG + ZL1 + ZL2)/5
5F = KLl + KL2 + KG + ZL1 + ZL2
5F - KLl - KL2 - KG - ZL1 - ZL2 = 0
5-1-1-1-1-1 = 0
Ψ2) As formulações oral do antibiótico K difere da pomada?
(KL1+KL2)/2 = KG
KL1 + KL2 = 2KG
KL1 + KL2 - 2KG = 0
1+1-2 = 0
Ψ3) As formulações do antibiótico K difere do antibiótico Z?
(KL1+KL2+KG)/3 = (ZL1+ZL2)/2
2KL1+2KL2+2KG = 3ZL1+3ZL2
2KL1+2KL2+2KG-3ZL1-3ZL2 = 0
2+2+2-3-3 = 0
Ψ4) As duas formulações orais do antibiótico Z são diferentes?
ZL1 = ZL2
ZL1-ZL2 = 0
1-1 = 0
Ψ5) As duas formulações orais do antibiótico K são diferentes?
KL1 = KL2
KL1-KL2 = 0
1-1 = 0
EXEMPLO 1 - Um pesquisador pretende investigar como reduzir a taxa de desenvolvimento da requeima da batata
a) O enxofre é eficiente?
b) Qual a melhor época de aplicação?
c) Qual a melhor dose?
0 Testemunha
P3 Enxofre =300kg/ha aplicado no plantio
P6 Enxofre =600kg/ha aplicado no plantio
P12 Enxofre =1200kg/ha aplicado no plantio
A3 Enxofre =300kg/ha aplicado antes do plantio
A6 Enxofre =600kg/ha aplicado antes do plantio
A12 Enxofre =1200kg/ha aplicado antes do plantio
➢ Número de plantas infectadas (sintomas)
➢ A doença é inibida em solos ácidos 
➢ A aplicação de enxofre aumenta a acidez do solo
A3
9
0
12
P6
18
A12
10
P6
24
P12
17
P3
30
A6
16
0
10
P3
7
A12
4
A6
10
P3
21
0
24
0
29
P6
12
A3
9
P12
7
A6
18
0
30
A6
18
P12
16
A3
16
A12
4
P3
9
0
18
P12
17
P6
19
0
32
A12
5
0
26
A3
4
Trat Repetições Total Média
1 2 3 4 5 6 7 8
0 12 10 24 29 30 18 32 26 181 22,625
P3 30 7 21 9 67 16,75
P6 18 24 12 19 73 18,25
P12 17 7 16 17 57 14,25
A3 9 9 16 4 38 9,50
A6 16 10 18 18 62 15,50
A12 10 4 4 5 23 5,70
501
Delineamento Inteiramente Casualizado
Unidade experimental = Parcela = 50 plantas
FV GL SQ QM F
Tratamento 6 972,34 162,0 3,61*
Resíduo 25 1122,88 44,9
Total 31 2095,22
Quadro da análise de variância
SQtrat = Ʃ(T2/r) – (G2/n) = (1812/8 + 672/4 +732/4 + 572/4 + 382/4 + 622/4 + 232/4) – (5012/32) = 972,34
SQtotal = Ʃyi2 – (G2/n) = (92 + 122 + 182 + ...+ 42) – (5012/32) = 2095,22
SQresíduo = SQtotal – SQtrat = 2095,22 – 972,34 = 1122,88
t = número de tratamentos
n = número de parcelas
T = total do tratamento
r = número de repetições
G = total geral
Yi = parcela
HipóteseHo: 0 = A3 = A6 = A12 = P3 = P6 = P12
Ha: Pelo menos dois tratamentos diferem 
entre si ao nível α de probabilidade
Se Fcalculado > Ftabelado → Rejeita-se Ho ao nível α de probabilidade
Se Fcalculado ≤ Ftabelado → Não se rejeita Ho ao nível α de probabilidade
2,49 < 3,61 < 3,63 → Rejeita-se Ho a 5% de probabilidade 
Conclusão: Pelo menos dois tratamentos diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade 
ns
F [6;25]5% = 2,49
*
F [6;25]1% = 3,63
**
Contraste: Ψ = ∑Cimi
mi = Média do tratamento
Ci = Coeficiente do contraste
Contraste 0 P3 P6 P12 A3 A6 A12 ∑Ci=0
Ψ1 = Test vs Demais 6 -1 -1 -1 -1 -1 -1 = 0
Ψ2 = Plantio vs Antes 0 1 1 1 -1 -1 -1 = 0
Ψ3 = 300 vs (600, 1200) 0 2 -1 -1 2 -1 -1 = 0
Ψ4 = 600 vs 1200 0 0 1 -1 0 1 -1 = 0
Ψ5 = Interação ψ2 e ψ3 0 2 -1 -1 -2 1 1 = 0
Ψ6 = Interação ψ2 e ψ4 0 0 1 -1 0 -1 1 = 0
a) O enxofre é eficiente?
b) Qual a melhor época de aplicação?
c) Qual a melhor dosagem?
Quadro dos coeficientes dos contrastes (Ci)
Média dos 
tratamentos
0 = 22,625
P3 = 16,75
P6 = 18,25
P12 = 14,25
A3 = 9,50
A6 = 15,50
A12 = 5,75
Contrastes
OBS: Somatório dos coeficientes dos contrastes (Ci) deve ser igual a zero
Ψ1 = (6×22,625) + (-1×16,75) + (-1×18,25) + (-1×14,25) + (-1×9,50) + (-1×15,50) + (-1×5,75) = 55,75 
SQΨ = Ψ
∑(Ci) ∕ r
2
2
SQΨ1 = 55,75 = 518,01
6 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) 
2
2 2 2 2 2 2 2
8 4
Média dos tratamentos
0 = 22,625
P3 = 16,75
P6 = 18,25
P12 = 14,25
A3 = 9,50
A6 = 15,50
A12 = 5,75
Contraste: Ψ = ∑Cimi
mi = Yi = Média do tratamento
Ci = Coeficiente do contraste
SQΨ = Ψ
∑(Ci) ∕ r
4
4
5
5
6
Ψ6
5 Ψ6
2
2
Fonte de variação GL SQ QM F
Tratamento 6 972,34 162,06 3,61*
Ψ1 = Test vs Demais 1 518,01 518,01 11,54**
Ψ2 = Plantio vs Antes 1 228,17 228,17 5,08*
Ψ3 = 300 vs (600, 1200) 1 0,52 0,52 0,01ns
Ψ4 = 600 vs 1200 1 189,06 189,06 4,22ns
Ψ5,6 = Interação 2 36,58 18,29 0,41ns
Resíduo 25 1122,88 44,92
Total 31 2095,22
F[1;25]5% = 4,24
F[1;25]1% = 7,77
Testemunha vs Demais
Ho: 0 = (A3, A6, A12, P3, P6, P12)
Ha: 0 ≠ (A3, A6, A12, P3, P6, P12)
7,77< 11,54 → Rejeita-se Ho a 1% de probabilidade 
Conclusão: A aplicação de S diminuiu a doença a 1% de probabilidade
Plantio vs Antes
Ho: No plantio = Antes plantio
Ha: No plantio ≠ Antes plantio
Quadro da Análise de Variância
Plantio vs Antes
4,24< 5,08 <7,77 → Rejeita-se Ho a 5% de probabilidade 
Conclusão: As plantas que receberam S antes do plantio 
apresentaram menor intensidade de doença do que as que 
receberam S no plantio a 5% de probabilidade.
300 vs (600, 1200)
Ho: 300 = 600,1200
Ha: 300 ≠ 600, 1200 
0,01< 4,24 → Não se rejeita-se Ho a 5% de probabilidade 
Conclusão: A dose de 300 não diferiu das demais doses a 5% 
de probabilidade
600 vs 1200
Ho: 600 = 1200
Ha: 600 ≠ 1200
4,22< 4,24 → Não se rejeita-se Ho a 5% de probabilidade 
Conclusão: A dose de 600 não diferiu da dose de 1200 a 5% de 
probabilidade.
Interação época × dose
Ho: Interação = 0 (Não há interação)
Ha: Interação ≠ 0 (Há interação)
0,41< 3,39 → Não se rejeita-se Ho a 5% de probabilidade 
Conclusão: Não houve interação entre época e dose a 5% de 
probabilidade.
F[2;25]5% = 3,39
F[2;25]1% = 5,57
Interação:
1) Some GL do Ψ5 com Ψ6 → 1+1=2
2) Some SQ do Ψ5 com Ψ6 → 3,52 + 33,06 = 36,58