Introdução à Geometria Espacial

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ESPACIAL
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Olá!
Ao final desta aula, o aluno será capaz de: 1. Identificar os diversos postulados que envolvem retas e planos; 2.
reconhecer as posições relativas entre retas e planos; 3. investigar a interseção de planos.
Olá! Seja bem-vindo à aula sobre introdução à geometria espacial!
Antes de iniciar, que tal algumas perguntas?
Você sabe por que ?GEOMETRIA ESPACIAL
Quais são as formas que consideramos como espacial?
Conheça algumas definições!
ESPAÇO é o conjunto de todos os pontos.
FIGURA GEOMÉTRICA é qualquer conjunto não vazio de pontos.
FIGURAS COPLANARES são figuras que têm todos os seus pontos pertencentes a um mesmo plano. Se a figura
tem todos os seus pontos num mesmo plano, dizemos que é uma FIGURA PLANA. Se a figura não tem todos os
seus pontos num mesmo plano, dizemos que é uma FIGURA NÃO PLANA OU ESPACIAL.
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1 Postulados
I. DA EXISTÊNCIA
• Existe reta e, numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
• Existe plano e, num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.
II. DA DETERMINAÇÃO
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
III. DA INCLUSÃO
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano.
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2 Conheça agora sobre determinação de planos
Um plano fica determinado de quatro modos diferentes. São eles:
• por três pontos não colineares
• por uma reta e um ponto for dela
• por duas retas concorrentes
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• por duas retas paralelas distintas
3 Posições relativas de duas retas
Considere duas retas r e s, do espaço. Temos dois casos a considerar:
1º) r e s estão num mesmo plano, isto é, são coplanares. Nesse caso, elas podem ser:
Paralelas – quando não têm ponto comum.
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B- Concorrentes ou Secantes – quando têm um único ponto P em comum.
Obs.: i) Quando duas retas concorrentes r e s formam um ângulo reto, dizemos que as retas são
PERPENDICULARES.
ii) Quando duas retas concorrentes r e s não são perpendiculares, dizemos que elas são OBLÍQUAS.
C- Coincidentes – quando têm todos os pontos comuns.
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2º) r e s não estão num mesmo plano, isto é, são não coplanares. Nesse caso, dizemos que as retas são
REVERSAS.
Obs. Dizemos que duas retas reversas, r e s, são ORTOGONAIS, quando uma reta r1, paralela a r e passando por
um ponto P pertencente a s, forma um ângulo reto com s.
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4 Posições relativas de reta e plano
Considere uma reta r e um plano α do espaço. Essa reta e esse plano podem assumir as seguintes posições:
• A reta está contida no plano.
• A reta é paralela ao plano.
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• A reta é paralela ao plano.
• A reta é concorrente ou secante ao plano.
Importante
Obs.: Uma reta r, concorrente a um plano α, é perpendicular a α se, e somente se, todas as retas desse plano, que
concorrem com r, são perpendiculares a r.
Indicamos essa perpendicularidade por r _I_ α
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5 Posições Relativas de Dois Planos
Consideremos dois planos α e β, do espaço. Esses planos podem ser:
A – Coincidentes – têm todos os pontos em comum.
B – Paralelos – não têm pontos comuns.
C – concorrentes ou secantes – quando a interseção entre eles é uma reta.
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O que vem na próxima aula
• Na próxima aula, estudaremos Paralelismo e Perpendicularismo.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu os diversos postulados que envolvem retas, planos e suas posições relativas;
• analisou a interseção de planos.
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	Olá!
	
	1 Postulados
	2 Conheça agora sobre determinação de planos
	3 Posições relativas de duas retas
	4 Posições relativas de reta e plano
	5 Posições Relativas de Dois Planos
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO