316869585-Geometria-Espacial-de-Posicao-Resumo

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São os primeiros conceitos. Não possuem antecedentes, portanto não 
podem ser definidos. São esses: o ponto, a reta e o plano. 
 
 Ponto: 
 
 
 Reta: 
 
 
 Plano: 
 
 
 
 
1. Conceitos primitivos 
Indicado por letras maiúsculas: 
A, B, C, … 
Indicado por letras minúsculas: 
a, b, c, … 
Indicado por letras gregas 
minúsculas: α, β, γ, … 
O espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto será 
desenvolvido a geometria espacial. 
Geometria Espacial de Posição 
2. Postulados* sobre pontos e retas 
 Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. 
 
 
 Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por 
eles. 
 
 
 
 Um ponto qualquer divide uma reta em duas semirretas. 
 
 
 
 
 Por um ponto passam infinitas retas. 
 
 
*Postulados são aceitos 
sem demonstração. 
3. Postulados sobre o plano e o espaço 
 Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. 
 
 
 
 
 
 Se dois pontos distintos pertencem a uma reta e a um plano, então 
esta reta está contida no plano. 
 
 
 
 
 
 O plano é infinito, isto é, ilimitado. 
 Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por 
eles. 
 
 
 
 
Por uma reta passam infinitos planos. 
(teorema) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre a questão: por que não 
podemos dizer que três pontos 
colineares determinam um plano? 
Os referenciais bibliográficos afirmam que os postulados são 
aceitos sem demonstração. Então, uma maneira que encontro 
para responder a questão acima, de acordo com os postulados e 
a explicação do teorema da página anterior, é: 
• (postulado) Em uma reta, bem como fora dela, existem 
infinitos pontos. Então, na nossa questão foram determinados 
três, mas poderiam ter sidos mais ou infinitos. 
• Pelo que vimos na página anterior, fica definido que por uma 
reta passam infinitos planos e não apenas um plano. Assim, três 
pontos colineares (alinhados) não determinam um plano. 
 
4. Posições relativas de duas retas no espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a figura na qual temos um paralelepípedo: 
Em cada plano há infinitas retas. No 
plano da face ABCD, por exemplo, 
além das retas indicadas, temos as 
retas AC e BD. 
No espaço há infinitas retas. Localize 
na figura dada as retas AG, BE, BG e 
DF. 
Nesse modelo: 
• as arestas serão “representações” das 
retas que as contêm. Por exemplo: 
• as faces serão “representações” dos 
planos que as contêm. Por exemplo: 
Plano (ABCD): plano que contém a 
face determinada por ABCD. 
Plano (BCFG): plano que contém a 
face determinada por BCGF. 
4. Posições relativas de duas retas no espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a figura na qual temos um paralelepípedo: 
No espaço há infinitos planos. Além dos 6 
planos determinados pelas faces do 
paralelepípedo, procure imaginar outros, 
como p(ADGF), p(ABGH), p(AEGC), etc. 
• os vértices serão “representações” dos 
pontos dos espaços: A, B, C, D, etc. 
Usando esse modelo, podemos estudar as posições relativas de retas distintas no 
espaço: 
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. 
(definição) 
Retas coplanares que não 
tem ponto comum são 
chamadas de retas paralelas 
distintas.(definição) 
4. Posições relativas de duas retas no espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a figura na qual temos um paralelepípedo: 
Observação: duas retas concorrentes são 
sempre coplanares. 
Retas que tem um único ponto comum são 
chamadas retas concorrentes. (definição) 
Dadas duas retas, quando não existe 
um plano que contém as duas, elas 
são chamadas de retas reversas. 
(definição) 
4. Posições relativas de duas retas no espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro – resumo: 
Observação: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não 
significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece 
no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes. 
Lembrando que, pelo postulado, um único plano passa por três 
pontos não colineares, um plano também pode ser determinado por: 
5. Determinação de um plano 
Os três são teoremas. 
6. Posições relativas entre reta e plano