ListaAF-3-2024-1

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Lista (3) – AF - 30.03.2024
Departamento de Matemática
Grupo de Análise/EDP – UFC
Prof. Cleon S. Barroso (cleonbar@mat.ufc.br) – UFC
Exerćıcios
1. Enuncie e demonstre o Teorema da Contração de Banach.
Solução. Veja Lista 4.
2. Moste que (X, ∥ · ∥) é um espaço de Banach, então X não admite uma base de Hamel
enumerável.
Solução. Veja Lista 4.
3. Seja (X, ∥ · ∥) um espaço normado. Mostre que para todo x ∈ X existe um funcional
f ∈ X∗ tal que f(x) = ∥x∥2.
Solução. De fato, seja G = JxK (espaço gerado por x) e defina g : G → R tal que g(tx) =
t∥x∥2. Note que |g(tx)| ≤ ∥x∥∥tx∥ para todo t ∈ R. Defina ρ : X → R+ pondo ρ(y) = ∥x∥∥y∥.
Então, |g(y)| ≤ ρ(y) para todo y ∈ G. Pelo Teor. Hahn-Banach existe funcional linear
f : X → R tal que f |G ≡ g e f(y) ≤ ∥x∥∥y∥ para todo y ∈ X. Segue que:
f(x) = g(x) = ∥x∥2 & |f(y)| ≤ ∥x∥∥y∥ ∀y ∈ X.
4. Para 1 ≤ p < ∞, considere o espaço
ℓp :=
{
(an)
∞
n=1 ⊂ R :
∞∑
n=1
|an|p < ∞
}
.
Mostre que x = (an)
∞
n=1 7→ ∥x∥p =
( ∞∑
n=1
|an|p
)1/p
define uma norma completa em ℓp.
Solução. Veja Lista 4.
5. Defina a noção de convexidade estrita. (i) Mostre que (c0, ∥ · ∥∞) não é estritamente
convexo – (Lembre que em Rn ocorre igualdade na ”desigualdade triangular”se, e somente
se, os vetores envolvidos são múltiplos um do outro. Vimos em sala de aula que isso não é
verdade em c0: x = e1 e y = e1 − e2). (ii) Mostre que se 1 < p < ∞ então (ℓp, ∥ · ∥p) é
estritamente convexo. (iii) Mostre que ℓ1 não é estritamente convexo. (iv) Mostre que para
todo n ∈ N, o espaço n-dimensional ℓn1 (i.e. Rn com a norma da soma) não é linearmente
isométrico a um subespaço de ℓp com 1 < p < ∞.
Solução. Um espaço normado (X, ∥ · ∥) é dito ser estritamente convexo se:
∥x+ y∥ = 2, ∥x∥ = ∥y∥ = 1 ⇒ x = y
(i) (c0, ∥ · ∥∞) não é estritamente convexo: Tome x = e1 e y = e1 − e2.
(ii) A convexidade estrita de ℓp segue da convexidade uniforme. Veremos isso mais adiante.
Contudo, seria interessante pesquisar se há uma prova desse fato sem o uso da convexidade
uniforme. Por outro lado, segue diretamente da prova da Desigualdade de Minkowski que se
∥x + y∥p = ∥x∥p + ∥y∥p com x = (xn)
∞
n=1 e y = (yn)
∞
n=1, então |xn + yn| = |xn| + |yn| para
todo n ∈ N.
(iii) Considere x = e1 e y = e2.
(iv) Basta usar o fato que ℓp (com 1 < p < ∞) é estritamente convexo e que ℓ1 não é. Se
houver dúvida em relação a isso, me avise.
6. Mostre que se 1 < p < ∞, então o dual do espaço ℓp é o espaço ℓq com 1/p+ 1/q = 1.
Solução. Feito em sala de aula (Veja Lista 4).
7. (i) Mostre que c0 não é reflexivo. (ii) Mostre que ℓ1 não é reflexivo.
Solução. Veja Lista 4.
8. Mostre que se 1 < p < ∞, então ℓp é reflexivo.
Solução. Veja Lista 4.
9. Mostre que se (X, ∥·∥) é um espaço vetorial de dimensão infinita, então existe um funcional
f ∈ X# \X∗, em que X# é o espaço vetorial formado por todos os funcionais lineares em X.
Solução. Veja Lista 4.
10. Para 1 < p < q < ∞, mostre que valem as seguintes inclusões e desigualdades:
(a) ℓ1 ⊂ ℓp ⊊ ℓq ⊊ c0 ⊊ ℓ∞ (b) ∥x∥∞ ≤ ∥x∥q ≤ ∥x∥p ≤ ∥x∥1 para todo x ∈ ℓ1.
Solução. Veja Lista 4.
11. Mostre que o espaço C[0, 1] das funções cont́ınuas em [0, 1], munido com a norma do sup,
é um espaço de Banach.
Solução. Feito em sala de aula.
12. Mostre que c0 é linearmente isométrico a um subespaço fechado de C[0, 1]. Conclua que
C[0, 1] não é reflexivo.
Solução. Feito em sala de aula.