Circuitos Magnéticos

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Circuitos Magnéticos
1
S umá r i o
1 - F l u x o e c a m p o m a g n é t i c o .... 4
2 - P r o d u ç ã o d e c a m p o m a g n é t i c o .... 8
3 - H i s t e r e s e e c u r v a d e m a g n e t i z a ç ã o .... 12
4 - R e s o l u ç ã o d e c i r c u i t o s m a g n é t i c o s .... 16
5 - F o n t e d e e x c i t a ç ã o a l t e r n a d a .... 24
6 - F l u x o c o n c a t e n a d o e i n d u t â n c i a .... 37
7 - I m ã s p e r m a n e n t e s .... 44
2 0 2 31 º S e m e s t r e
N O T A S D E A U L A
UnB / FGA - E n g e n h a r i a de E n e r g i a
Te o r i a d e S i s t e m a s d e C o n v e r s ã o d e E n e r g i a
Prof. Flávio 
 B i b l i o g r a f i a
[1] Edson Bim , Máquinas Elétricas e Acionamento – 2a edição, Campus Elsevier Editora Ltda, 
2012 – ISBN 978-85-352-5923-0
[2] A. E. Fitzgerald, Charles Kingsley Jr. e Stephen D. Umans, Máquinas Elétricas– 6a edição,
Bookman, 2006 – ISBN 978-85-60031-04-7
[3] Paresh Chandra Sen , Principles of Electric machines and Power Electronics– 3rd edition, 
John Wiley & Sons, 2013 – ISBN 978-1-118-07887-7
[4] Jimmie J. Cathey, Electric machines: analysis and design applying MATLAB, McGraw Hill, 
2001 – ISBN 0-471-02295-0
[5] Turan Gonen, Electrical machines with MATLAB, 2nd edition, CRC Press, 2012 – ISBN 
13:978-1-4398-7800-2 (eBook-PDF)
[6] Syed A. Nasar, Schaum’s outlines of theory and problems of Electric Machines and
Electromechanics, 2nd edition, McGraw-Hill, 2005 – ISBN 0-07-045994-0.
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
B i b l i o g r a f i a 2
 As notas de aula não substituem as referências bibliográficas e nem as aulas expositivas.
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 Circuitos magnéticos são utilizados para concentrar o efeito magnético de uma
corrente em uma região particular do espaço. Desta forma, o circuito direciona o
fluxo magnético para onde ele é necessário.
 Nas máquinas elétricas, os condutores são percorridos por correntes que interagem
com os campos magnéticos, resultando na conversão eletromecânica de energia.
 A análise de circuitos magnéticos é geralmente realizada a partir de sua analogia com
os circuitos elétricos.
3CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
0 - Introdução 3
danad 
rr
da
A
4CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
1 - Fluxo e campo magnético 4
1 - Fluxo e campo magnético
 
43421
r
B
AB
 vetor pelo
 aatravessad
 efetiva área
cos
 Considere uma superfície de área A , localizada em uma região com densidade de 
fluxo magnético . O fluxo magnético total que atravessa essa 
superfície é dado pela expressão:
(1)
onde é o diferencial de área perpendicular ao vetor .
 Observação: 
- superfície plana de área A e densidade de fluxo uniforme de magnitude B.
,  
A
adB
r
r
da
B
r
B
r
A
ad
r
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 Unidades:
 Lei de Biot-Savart (obtida experimentalmente) - Permite calcular a densidade de fluxo
magnético em um ponto P do espaço livre (vácuo), cuja distância do condutor que
conduz uma corrente elétrica estacionária i é dada pelo vetor distância .
Em P, considerando um elemento de corrente , tem-se:
(2)
onde é a permeabilidade magnética do vácuo.
   
   Tesla
m
Wb
TB
WeberWb
 
 
2


r
r
 


 22 44 r
rldi
B
r
rldi
Bd oo
r
r
r
r
r
r
r
r



 
o
 AmWbo   710.4
ldi
r
 
5CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
1 - Fluxo e campo magnético
m
H
Am
Wb


  e d a d i n u
5
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 A distribuição do vetor aplicado em torno de um condutor
longo percorrido por uma corrente é definido pelo produto
vetorial e pode ser representada por linhas concêntricas
e fechadas em torno do condutor.
rld
r
r

B
r
 REGRA DA MÃO DIREITA : dedo polegar aponta no sentido da corrente, o sentido das linhas 
de será dado pelo sentido de enlace da mão.B
r
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
1 - Fluxo e campo magnético
 Distribuição das linhas de campo magnético em uma bobina
N S
6
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 Da equação (2), define-se o vetor intensidade de campo magnético
(3)
― No vácuo: .
― Distribuição do vetor  regra da mão direita.
― Unidade:
 


 22 44 r
rldi
H
r
rldi
Hd
r
r
r
r
r
r
r
r

HB o
rr

H
r
  mAH 
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
1 - Fluxo e campo magnético
 Lei de Ampère (obtida experimentalmente) - A integral da
componente tangencial de ao longo de uma trajetória C
fechada é igual à corrente total enlaçada por esta trajetória.



n
k
k
C
ildH
1
rr
 
H
r
(4)
7
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2 - Produção de campo magnético
 Para se obter altos valores de densidade de fluxo magnético, deve-se fazer com que a
corrente elétrica circule em uma bobina acomodada em uma estrutura composta por
material magnético.
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
2 – Produção de campo magnético
 O vetor intensidade de campo é em função da corrente do circuito e estabelece a
densidade de fluxo .
H
r
B
r
― No vácuo, tem-se: HB o
rr

 Ao inserir um material ferromagnético no interior dessa bobina, um novo valor de
densidade de fluxo é estabelecido e determinado pela expressão
(5)MHB oo
rrr
 
onde é o vetor intensidade de campo magnético causado pela orientação dos
domínios magnéticos do material, geralmente denominado vetor de magnetização.
M
r
8
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
2 – Produção de campo magnético
― Unidade:   mAM 
(a) Domínios magnéticos orientados 
aleatoriamente. 
(b) Domínios magnéticos alinhados na 
presença de um campo magnético 
externo.
⇨ No interior do material ferromagné-
tico, há inúmeras regiões minúsculas
denominadas domínios. A presença de um
campo magnético externo, faz com que
os campos magnéticos de cada domínio
dentro do material aponte no mesmo
sentido, de modo que cada domínio se
comporte como um pequeno imã
permanente.
 Experimentos mostram que é uma função não linear da intensidade de campo
magnético aplicado, quando o material é ferromagnético,
(6)
onde  é a suscetibilidade magnética do material e depende do valor de aplicado.
M
r
HM
rr

H
r
9
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
2 – Produção de campo magnético
 HBMHB o
HM
oo
rrrrr
rr
     1 (7)
 Substituindo (6) em (5), tem-se:
 Definindo, permeabilidade relativa do material pela expressão:
 1r
(8)
e substituindo (8) em (7), tem-se:
HB ro
rr

 Definindo, permeabilidade do material pela expressão:
(9)
ro  (10)
 Então, .HB
rr
 (11)
10
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 Observação:
― representa a quantidade de vezes que a permeabilidade do material é maior
que a permeabilidade do vácuo.
― Material ferromagnético ideal possui .
― Materiais utilizados no núcleo de transformadores e máquinas elétricas possuem
permeabilidades relativas de 2000a 15000, ou até mesmo valores mais
altos.
 Isto significa que para uma dada corrente, é produzido de 2000a 15000
vezes mais fluxo emum pedaço de material ferromagnético do que no
respectivo volume de ar.
r
r
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
2 – Produção de campo magnético / Exemplo 11
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3 - Histerese e curva de magnetização
 Nos materiais ferromagnéticos, a curva de desmagnetização não é igual à de
magnetização. Esse fenômeno é denominado histerese e pode ser visto no
gráfico abaixo.
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
3 – Histerese e curva de magnetização
I. Supondo o material desmagnetizado, o
aumento progressivo (a partir do zero)
da intensidade H até o valor de
saturação Bs produz a curva inicial 01.
II. Se o valor de H é reduzido até zero, o
caminho é a curva 12, diferente da
inicial.
12
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
3 – Histerese e curva de magnetização
― No ponto 2, não há nenhuma corrente de magnetização (H = 0) e o valor de B
não é nulo, significando uma magnetização residual Br (ímã permanente).
III. Para anular a magnetização residual, é necessário um valor negativo de inten-
sidade Hc (ponto 3), que é usualmente denominado campo coercitivo ou força
coercitiva.
IV. Aumentando o valor negativo de H, chega-se ao ponto de saturação 4. O caminho
de retorno até o ponto inicial 1 é dado pela curva 4561, com Br e Hc de sinais
contrários aos sinais dos anteriores.
 No aspecto termodinâmico, pode-se dizer que a histerese representa as irreversi-
bilidades do processo de magnetização e desmagnetização do material. A área
interna da curva 1234561é proporcional à energia dissipada sob forma de calor.
13
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 As proporções da curva de histerese
dependem da composição do material
magnético e têm influência em sua
aplicação.
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
3 – Histerese e curva de magnetização
― Uma curva estreita como a figura (a), é adequada para núcleos de
transformadores, onde se requer a menor perda possível de energia devido à
histerese do material.
― Uma curva mais larga como na figura (b) é apropriada para ímãs permanentes
devido à elevada magnetização residual e ao também elevado campo coercitivo,
significando que o material não pode ser facilmente desmagnetizado.
14
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
3 – Histerese e curva de magnetização
 É prática submeter um material a laços de histerese crescentes com a variação cíclica
da corrente. A curva resultante da combinação dos pontos extremos do primeiro
quadrante desses laços menores de histerese formam a conhecida curva de
magnetização.
 Pode-se obter através de uma apro-
ximação linear o valor da permea-
bilidade do material
(12)
H
B


 As curvas BH são indispensáveis nos cálculos e projetos com materiais ferro-
magnéticos.
15
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material A
material 
B
i
N
M
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando aproximação linear da curva de magnetização
4 - Resolução de circuitos magnéticos
 Considere um circuito magnético composto por dois materiais ferromagnéticos (A e
B) com permeabilidades A e B, comprimentos médios lA e lB, e áreas de seção
dadas por AA e AB. Uma bobina de N espiras, que conduz uma corrente i é
responsável pela produção do campo magnético externo.
 Supondo fluxo magnético uniforme confi-
nado no interior do núcleo (no compri-
mento médio) e aplicando a Lei de Ampere,
equação (4), tem-se:
NilHlHldH
C
 BBAA
rr
 (13)
onde é denominado força magnetomotriz.mmFNi 
16
4.1 – Considerando aproximação linear da curva de magnetização
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 Suponha que o fluxo atravessa a área da seção do circuito magnético transversal e
perpendicular à densidade de fluxo.
BBAA ABABM  (14)
 Considerando uma aproximação linear da curva de magnetização, pode-se adotar um
valor constante para a permeabilidade de cada material, A e B. Desta forma,
substituindo (11) em (14), tem-se:
BBBAAA AHAHM   (15)
 De (15), obtém-se as expressões para as intensidades de campo magnético
BB
B
AA
A A
H
A
H MM

 e (16)
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando aproximação linear da curva de magnetização 17
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 Substituindo (16) em (13), tem-se:
(17)Ni
A
l
A
l
M 


 
BB
B
AA
A

 Define-se relutância de um material do núcleo ferromagnético por
― Unidade:  
Wb
espirasA
(18)    seçãodaáreamaterialdomagnéticadadepermeabili
médioocompriment
 
 

― Relutância representa a propriedade do material ferromagnético em permitir
ou não a passagem de fluxo magnético.
― Quanto menor a relutância mais próximo do ideal é o material.
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando aproximação linear da curva de magnetização 18
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 Substituindo (19) em (17), tem-se:
(20)  mmM FNi  BA
 Observando (20), pode-se montar um circuito elétrico análogo
B
AM
NiFmm 
 Então, a relutância de cada material é dada por
BB
B
B
AA
A
A A
l
A
l

 e (19)
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando aproximação linear da curva de magnetização 19
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 Ao se retirar o material ferromagnético B, o ar cuja a permeabilidade é o passa a ser
o novo meio para o fluxo magnético. Esse espaço entre as faces polares é
denominado entreferro.
go
g
g A
l

 (21)― No entreferro:
 Valores altos de provocam espraiamento do fluxo na região de
entreferro.
 A modelagem matemática do efeito do espraiamento é realizada
aumentando a área efetiva do entreferro, ao se somar o compri-
mento do entreferro lg às suas outras dimensões, dadas por a
(largura) e b (espessura). Desta forma, tem-se a área corrigida:
  gg
c
g lblaA  (22)
g
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando aproximação linear da curva de magnetização 20
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos
 A maioria dos núcleos magnéticos é montada por chapas de espessuras finas e
isoladas entre si por um tratamento de suas superfícies ou por um verniz isolante.
― Desta forma, o volume efetivo (de material magnético) é menor do que
aparenta, uma vez que sempre há um espaço entre as lâminas empilhadas. A razão
entre o volume efetivo e o bruto , define o fator de empilhamento
do núcleo.
lA  lA
lA
lA
k

 (23)
Núcleo ferromagnético 
laminado
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 Considere o circuito magnético composto por uma
bobina de N espiras instalada em um núcleo
ferromagnético de permeabilidade , compri-
mento médio e área , e um entreferro de com-
primento médio e área .
g
o
g
cc
B
H
ggcc l
B
lHNilHlHNi o
g
g

   
(13) de
c
4.2 – Considerandoa não linearidade da curva de magnetização
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando a não linearidade da curva de magnetização 22
gl
cl
 Problema com o conhecimento de grandeza magnética
― Lei de Ampere
― Determine o valor de
― Com o valor de , determine o valor de utilizando a curva de magneti-
zação do material.
― Substitua na Lei de Ampere e calcule a variável de interesse.
cH
cB
g
c
g
c
c
M
c
ABAB B
A
A
B
A
BggccM   
ou
gM B ou 
cA
gA
cB
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4 – Resolução de circuitos magnéticos / Considerando a não linearidade da curva de magnetização 23
gc
og
c
gc
cgo
c lA
NiA
H
lA
lA
B


 Se o número de espiras N, a corrente i e as dimensões do circuito forem conhecidas
― Lei de Ampere
― Reta de carga do circuito
g
o
g
cc
B
H
ggcc B
l
lHNilHlHNi o
g
g

   
(13) de
c
og
gc
cc
B
A
A
B
B
A
lA
lHNi
c
g
c
g

 

― Trace a reta de carga no mesmo gráfico da
curva de magnetização. O ponto de
intersecção, será o ponto de operação do
circuito. Desta forma, determina-se os
valores de Bc e Hc .
― Calcule outras variáveis de interesse.
cB
cH
reta de carga
Ponto de 
operação
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5 – Fonte de excitação alternada
5 - Fonte de excitação alternada
 Considere um circuito magnético composto por uma bobina de N espiras alimentada
por uma fonte de tensão senoidal v(t).
 v(t) senoidal implica que H(t) e B(t) também serão senoidais.
 Desta forma, uma expressão para fluxo magnético gerado no núcleo pode ser dada
por:
onde é a amplitude do fluxo e f é a frequência em Hz da fonte elétrica.
 ftt MM 2sin)( max (24)
max
M
24
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5 – Fonte de excitação alternada
 A força eletromotriz gerada na bobina de N espiras, devido a variação do fluxo
magnético ― Lei de Faraday, é dada pela expressão
 Substituindo (24) em (25), tem-se:
 Observe que a amplitude da tensão gerada na bobina é
 O valor eficaz da tensão induzida, de período T, é definido como
t
Nte M
 
 
d
d
)(
 (25)
    
 ftEte
ftfNteft
t
Nte
E
MM


2cos)(
2cos2)(2sin
d
d
)(
max
maxmax
max

 
43421
 
 
2
d)(
1 max)(
0
2 E
Ette
T
E ef
te
T
ef    senoidal é 
(26)
max
max 2 MfNE   (27)
(28)
25
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5 – Fonte de excitação alternada
 Substituindo (27) em (28), tem-se:
 Lei de Kirchhoff na malha do circuito elétrico (fonte - bobina)
onde Ré a resistência elétrica da bobina, em .
 A corrente elétrica na bobina i(t), denominada corrente de excitação, não será
senoidal se o núcleo for constituído de material magneticamente não linear, devido
ao efeito de histerese.
― A forma de onda da corrente elétrica i(t) pode ser obtida graficamente a partir
das características magnéticas do material do núcleo. Como B e H se relacionam
com e i por constantes geométricas conhecidas, o laço de histerese CA
deve ser traçado em termos de =BA e .
max2 Mef fNE   (29)
)()()( tetRitv  (30)
M
M
N
Hli 
26
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5 – Fonte de excitação alternada
― Observe que um determinado valor de i corresponde a dois valores diferentes
de fluxo , que ocorrem nos instantes e .
 Se a bobina for excitada por uma fonte de corrente senoidal, a forma de onda da
tensão gerada na bobina e o fluxo que a gerou não serão senoidais.
27
)(tM
)(te
)(ti
it
M
1t 2t
)( 1ti
)( 2ti
)( 2tM
)()( 21 titi 
)( 1tM
)( 2tM
)( 1tM
1tM 2t
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5 – Fonte de excitação alternada / Potência aparente de excitação
5.1 – Potência aparente de excitação
 Uma das características magnéticas fornecidas pelos fabricantes é a potência apa-
rente por unidade de massa do material utilizado no núcleo.
onde mé a massa do material, é dado por (28) e de (13) obtém-se .
 Substituindo em (31), tem-se
 Se  é a densidade em do material utilizado no núcleo, então
  kg
esVA eficaz
ma
efef
ma P
m
IE
P  //
(31)
N
lH
ef
efI 
 
m
Al
HfBP
m
N
lH
fN
P efma
AB
ef
M
ma
M max
/
max
/ 2
2
maxmax


 




  
 
efma
Alm HB
ρ
f
P max
/
2
 
    (32)
28
efE
3/mKg
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5 – Fonte de excitação alternada / Perdas de potência no núcleo
5.2 – Perdas de potência no núcleo
 As perdas no núcleo magnético, também denominadas perdas-ferro, são geralmente
classificadas em perdas por histerese e perdas por correntes parasitas
(correntes de Foucault).
A) Perdas por histerese
 Desconsiderando o efeito da resistência elétrica da bobina, tem-se a seguinte
expressão para a potência instantânea entregue em seus terminais
 Se V=Al é o volume de material do núcleo, tem-se:
phfe PPP  (33)
t
NtitPtetitP M
 
 ndosusbstitui
d
d
)()()()()( )25(  
(34)
t
tB
tAlHtP
 
 
 (14) e (13) de
d
)(d
)()(  
(35)
t
tB
tHtP
 
 
d
)(d
)(V)( 
29
hP
pP
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS
5 – Fonte de excitação alternada / Perdas de potência no núcleo
 A energia entregue à bobina durante um ciclo de corrente, de período T, que
corresponde a um laço de histerese é dada por:
― Observe em (34) que a intensidade de campo magnético deve estar em função
da densidade de fluxo magnético.
― Para calcular analiticamente a expressão, deve-se conhecer o valor da
permeabilidade magnética do núcleo a cada par HB do laço de histerese.
 A energia por unidade de volume dissipada no núcleo, convertida em calor,
corresponde a área interna do laço de histerese.
(36)   BHttP
T
dVWd)(W
0
 (34) dosubstituin
(37)
3][d
V
W
m
Joules
HH wBHw   
30
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5 – Fonte de excitação alternada / Perdas de potência no núcleo
 Sendo f=1/T a frequência do ciclo de corrente, a expressão da perda de potência
ativa por unidade de volume do núcleo é dada por:
  3m
W
HH
H
H pfw
T
w
p  (38)
B) Perdas por correntes parasitas
 Campos magnéticos variáveis no tempo originam campos elétricos no material do
núcleo. Esses campos resultam em correntes parasitas, também denominadas
correntes de Foucault, que circulam no material do núcleo.
 Para amenizar as perdas o núcleo maciço deve ser substituído por um núcleo
laminado. Desta forma, a área da seção é reduzida e a resistência elétrica é
aumentada.
PRÁrea
l
Ae
P
R
e
P A
l
R

   

22
(39)
31
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5 – Fonte de excitação alternada / Perdas de potência no núcleo
 As laminas de material do núcleo recebem um tratamento de óxido em sua superfície,
ou uma fina camada de esmalteou verniz de isolação
 A perda por correntes parasitas por unidade de volume do núcleo é geralmente dada
pela expressão
onde é uma constante e depende do material utilizado no núcleo.
    3
2max
m
W
FFF pfBKp  (40)
32
FK
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5 – Fonte de excitação alternada / Circuito elétrico equivalente em regime permanente
5.3 – Circuito elétrico equivalente em regime permanente
 Considere o circuito magnético abaixo composto por uma bobina de N espiras.
onde é o fluxo de dispersão e é o fluxo magnetizante.
 A força eletromotriz na bobina é dada por:
 O fluxo gera a força eletromotriz , dada pela expressão:
)(td )(tM
)()()( tetete Md 
(42)
d de
IjXE
t
ti
Lte dddd
ˆˆ
d
)(d
)(   permanente regime
(41)
33
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5 – Fonte de excitação alternada / Circuito elétrico equivalente em regime permanente
onde é a reatância de dispersão e a indutância de dispersão.
 O fluxo gera a força eletromotriz e tensões no núcleo que estabelecem as
correntes parasitas. Portanto, não se deve associar o fluxo magnetizante somente a
queda de tensão em reatância, pois a ele também estão associadas as perdas no
núcleo.
 A decomposição em série de Fourier da corrente possui termos em cosseno e
em seno.
― A componente fundamental em cosseno, representada por , está em fase
com a força eletromotriz e é a componente de perdas no núcleo.
― A componente em seno, representada por , é denominada corrente de
magnetização, e está atrasada em relação a força eletromotriz .
dd LX  dL
M Me
)(ti
fei
Me
Mi
o90 Me
34
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5 – Fonte de excitação alternada / Circuito elétrico equivalente em regime permanente
 Relação entre as correntes considerando as componentes fundamentais
 De acordo com a equação (43), as correntes e percorrem caminhos paralelos:
um contendo a resistência e outro contendo a reatância de magnetização
, onde é a indutância de magnetização.
 Equação de malha do circuito em fasores
 Substituindo (42) em (44), tem-se:
onde
 De (45) e (46), tem-se o circuito equivalente
MfeMfe IIItititi ˆˆˆ)()()(   permanente regime (43)
fei
Mi
fer
MM LX 
ML
Mdb
EEE
b EEIrVEIrV Md ˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆ
   : (41) de (44)
  Mdb EIjXrV ˆˆˆ  (45)
fefeMMM IrIjXE ˆˆˆ  (46)
35
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5 – Fonte de excitação alternada / Circuito elétrico equivalente em regime permanente
 Diagrama fasorial
36
MÊ
IjX d
ˆ
Irb
ˆ
Î
feÎ
MÎ
V̂
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância 
6 - Fluxo concatenado e indutância
 Considere um circuito magnético composto por duas bobinas e núcleo de
permeabilidade magnética constante.
 Se a bobina de espiras for excitada com uma fonte de corrente e .
Cada uma de suas espiras concatenará o fluxo próprio
2N
)(1 ti )(2 ti
1N)(1 te )(2 te
)(2 td)(1 td
)()()( 21 ttt MMM 
)()()( 1111 ttt Md  (47)
37
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1N )(1 ti 0)(2 ti
 Se a bobina de espiras for excitada com uma fonte de corrente e
Cada uma de suas espiras concatenará o fluxo próprio
 Se as duas bobinas forem excitadas ao mesmo tempo
― Cada espira de uma bobina concatenará, além de seu próprio fluxo, a parcela de
fluxo da outra bobina que o enlaça.
 Fluxo concatenado em cada bobina:
)()()( 2222 ttt Md  (48)
)()()()()()( 112111 tttttt MdM   (47) dosubstituin (49)
(50)
 )()()()()( 111111 ttNttNt Md  (51)
)()()()()()( 221222 tttttt MdM   (48) dosubstituin
 )()()()()( 222222 ttNttNt Md  (52)
  espirasWbtNt  )()(
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância 38
2N )(2 ti 0)(1 ti
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 Tensões geradas nas bobinas pelos respectivos fluxos concatenados
ou
ou
 As expressões (54) e (56) podem ser escritas da seguinte forma
t
t
N
t
t
Nte
t
t
te Md
d
)(d
d
)(d
)(
d
)(d
)( 1
1
11
1
1
  (51) dosubstituin (53)
t
t
N
t
t
Nte
t
t
te Md
d
)(d
d
)(d
)(
d
)(d
)( 2
2
22
2
2
  (52) dosubstituin (55)
t
t
N
t
t
Nte M
d
)(d
d
)(d
)( 2
1
11
11
 (54)
t
t
N
t
t
Nte M
d
)(d
d
)(d
)( 1
2
22
22
 (56)
t
ti
i
t
N
t
ti
i
t
Nte
M
M
L
d
)(d
d
)(d
d
)(d
d
)(d
)( 2
2
2
1
1
1
11
11
1211
4342143421
 (57)
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância 39
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 Indutância própria de uma bobina é o quociente entre a variação de fluxo
concatenado e a variação de sua respectiva corrente; só nessa bobina passa
corrente.
 Indutância mútua entre duas bobinas é o quociente entre a variação de fluxo por
uma bobina e a variação de corrente na outra bobina.
t
ti
i
t
N
t
ti
i
t
Nte
M
M
L
d
)(d
d
)(d
d
)(d
d
)(d
)( 1
1
1
2
2
2
22
22
2122
4342143421
 (58)
1
11
111
01
1
11 d
)(d
d
)(d
2
i
t
NL
i
t
L
i


(59)
2
22
222
02
2
22 d
)(d
d
)(d
1
i
t
NL
i
t
L
i


(60)
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância 40
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2
2
112
02
1
12 d
)(d
d
)(d
1
i
t
NM
i
t
M M
i


(61)
― Indutância mútua da bobina 1 com a bobina 2
― Indutância mútua da bobina 2 com a bobina 1
 Para um circuito magnético com n bobinas
― Indutância própria da bobina x
― Indutância mútua entre duas bobinas x e y
1
1
221
01
2
21 d
)(d
d
)(d
2
i
t
NM
i
t
M M
i


(62)
0
d
)(d


yix
x
xx i
t
L
0
d
)(d


xi
y
x
xy i
t
M
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância 
(63)
(64)
41
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância
 O circuito magnético apresentado no slide 37 possui o seguinte circuito elétrico
análogo
 Considere ativa e
― Indutância própria
)(11 tiN )(22 tiN
c
d1
d2
  
1 2MMM 21 
 d1 d2
)(1 ti 0)(2 ti
c
MMc
d
ddd
iN
iN
iN
iN





11
1111
1
11
11111
 




   
cd
NL
i
NL Md
11
d
d
1
2
111
1
11
111
1111(59) de
(65)
(66)
(67)
42
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6 – Fluxo concatenado e indutância
― Indutância mútua da bobina 2 com a bobina 1
c
M NN
M
i
t
NM

  21
21
1
1
221 d
)(d(62) de (68)
 Considere ativa e
― Indutância própria
)(2 ti 0)(1 ti
c
MMc
d
ddd
iN
iN
iN
iN





22
2222
2
22
22222
 




   
cd
NL
i
NL Md
11
d
d
2
2
222
2
22
222
2222(60) de
(69)
(70)
(71)
― Indutância mútua da bobina 1 com a bobina 2
 Observe que as indutâncias mútuas são iguais
c
M NNM
i
t
NM

  21
12
2
2
112 d
)(d(61) de (72)
2112 MM 
43
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
7 - Imãs permanentes
 São materiais com a propriedade de manter o magnetismo, sem a presença de fonte
externa de magnetização.
 A curva característica B-H está limitada ao segundo quadrante, onde H < 0 e B > 0,
e é denominada curva de desmagnetização.
44
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
 Os imãs permanentes são classificados basicamente em 3 categorias.
― Cerâmicos - Representados pelo ferrite de bário (BaFe2O3) e ferrite de estrôncio (SrFeO3).
Os materiais cerâmicos são frágeis e quebram com facilidade, o que impede a sua utilização
como elemento estrutural de um dispositivo. Possui baixo custo, sendo o preferido para
aplicações de baixa potência, alta resistência elétrica (valores baixos ou nulos de corrente
de Foucault), baixo valor de densidade de fluxo magnético e altos valores de coercividade.
― Alnico - Formado pela liga de ferro, alumínio, níquel e cobalto. Possuem altos valores de
densidade de fluxo magnético baixos valores de coercividade e alta temperatura de
trabalho.
― Terras-raras - Representados pelas ligas samário-cobalto (SmCo) e neodímio-ferro-boro
(NeFeB) . Possuem propriedades ideais para a aplicação em máquinas elétricas rotativas:
altos valores de coercividade e de densidade de fluxo quando comparado com outros imãs.
A principal desvantagem do imã SmCo é o alto custo, devido a sua escassez na natureza e
ao seu processamento. A desvantagem do imã NeFeB é a sua sensibilidade a corrosão.
45
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
 Principais características de um imã
― Densidade de fluxo magnético remanescente é o valor da densidade de fluxo magné-
tico que é mantida pelo material quando a intensidade de campo magnético externo é nulo.
Isso significa que o imã está em circuito magnético sem entreferro e sem excitação externa
de uma bobina.
― Coercividade é a intensidade de campo magnético que, aplicado no sentido contrário
ao do campo original de magnetização, desmagnetiza totalmente o imã.
― Produto energético máximo é o valor máximo do produto , expresso em .
― Linha de recuo é a nova característica BH sobre a qual se dá a recuperação dos novos
pontos de operação do imã quando ocorre a variação do campo magnético externo,
provocada por exemplo pela variação do entreferro.
― Permeabilidade magnética da linha de recuo é a permeabilidade do imã nessa linha e
numericamente igual à proporção entre a variação da densidade de fluxo magnético e a do
campo magnético. Valores típicos estão na faixa de 1,1 a 3,5 .
46
mm HB  3/ mkJ
rB
cH
rec
o o
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
― Temperatura de trabalho é a máxima temperatura na qual o ponto de operação
permanece em uma faixa segura de estabilidade magnética; quanto mais próximo a
densidade de fluxo magnético remanescente estiver desse ponto, maiores podem ser os
valores dessas temperaturas.
― Temperatura de Curie é a temperatura na qual toda a magnetização do material é
anulada. Atingido esse ponto, se não houver alterações significativas em suas propriedades,
tais como a orientação dos grãos e estrutura cristalina, o material pode ser magnetizado
novamente.
 A magnetização de um imã pode ser feita por uma
bobina excitada por corrente contínua, cujo valor deve
ser ajustado para saturar o material ferromagnético de
permeabilidade elevada, que estabelece juntamente
com o imã um circuito magnético fechado.
imã
Entreferro preenchido com 
mesmo material do núcleo
47
oT
cT
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
 O valor da densidade de fluxo remanescente de um imã
é obtido, quando a força magnetomotriz desenvolvida
pela bobina é desligada . Nesta condição, é dito que o
imã está curto-circuitado.
 Ao se retirar o material colocado para preencher o entreferro é dito que o imã está em
circuito aberto. Isto considerando que o comprimento lg é grande o suficiente para
que resulte em fluxo magnético nulo nas faces polares do imã.
0i
― Na prática, a relutância do entreferro é elevada mas
finita, então sempre haverá um fluxo entre as faces,
o mínimo que seja.
0i
 O ponto de operação do imã depende do circuito
externo a ser magnetizado por ele.
48
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
7.1 – Ponto de operação do imã sem força magnetomotriz externa
 Considere um circuito magnético, composto por núcleo
ferromagnético de permeabilidade elevada, entreferro e um
imã. Os comprimentos médios e área de seção são dados
respectivamente por lc, lg e lm e Ac, Ag e Am.
 Lei de Ampere
 Núcleo com permeabilidade elevada
― O efeito do entreferro é desmagnetizar o circuito, sendo considerado uma
carga magnética.
 Fluxo magnético contínuo
(sem dispersão e espraiamento)
0  mmggcc lHlHlH(13) equação (73)
(74)
g
m
mg
lH
l
l
HHcc    0
(75)
g
m
mg
BABA
A
A
BBmmgg  

49
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
 No entreferro
 Substituindo (76) em (74), tem-se a reta de carga do circuito
(76)m
go
m
g
HB
B
A
A
Hgog


 
 (75) em dosubstituin e 
(77)m
gm
m
mm
m
m
g
go
m H
A
l
BH
A
l
l
A
B
g



 
321
1

― Observe que quanto maior a relutância
do entreferro, menor a densidade de
fluxo magnético resultante.
 A interseção entre (77) e a curva de
desmagnetização do imã estabelece o
ponto de operação do circuito.
Reta de carga
Ponto de operação
rB
 zz BH ,
50
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS
7 – Imãs permanentes
 Se a partir do ponto de operação, o imã for curto-circuitado com o mesmo material
utilizado em sua magnetização inicial, a densidade de fluxo magnético
remanescente será menor do que aquela com que o imã foi originalmente
magnetizado.
Reta de carga
Ponto de operação
rB
 zz BH ,
rBLinha de recuo
 A nova característica de magne-
tização do imã passa a ser dada pela
linha de recuo.
 A permeabilidade magnética na linha
de recuo é dada por
(78)
z
zr
rec H
BB


 Equação da linha de recuo: (79) zmreczm HHBB  
51
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7 – Imãs permanentes
 Volume do imã:
(80)
32143421
mm
o
g
A
g
m
g
l
g
m
B
mmmm A
B
B
l
H
Al   VV (63) e (62) expressões das
mmo
gg
m
lA
mmo
ggg
m HB
B
HB
lAB
ggg

V
VV
2
V
2
 

 
mmHB
― Conhecendo o comprimento do
entreferro e a densidade de fluxo
magnético desejado no entreferro,
pode-se determinar o volume mínimo
do imã escolhendo um ponto de
operação que resulte no máximo
valor do produto , que corres-
ponde ao ponto de máximo produto
energético.
52
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7 – Imãs permanentes
7.2– Ponto de operação do imã com força magnetomotriz externa
 Considere um circuito magnético, composto por uma
bobina de N espiras instalada em um núcleo ferro-
magnético de permeabilidade elevada, um entreferro e
um imã. Os comprimentos médios e área de seção são
dados respectivamente por lc, lg e lm e Ac, Ag e Am
i
 Lei de Ampere
 Fluxo magnético contínuo
(sem dispersão e espraiamento)
NilHlH mmgg
lH cc    0 e (13) equação
(81)
(82)
g
m
o
m
g
AHBA
A
AB
Hggomm


 

m
g
m
g
g H
l
l
l
Ni
H 
53
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
 Substituindo (82) em (81), tem-se a reta de carga do circuito
 Comparando (77) e (83) pode-se observar que as retas de carga possuem o mesmo
coeficiente angular.
― Para uma determinada corrente i a reta de carga (83) é paralela à reta (77),
sem força magnetomotriz, e cruza o eixo da abscissa da curva de desmagne-
tização do imã em
 A intersecção da reta de carga (83) com a linha de recuo (79) determina o ponto de
operação do imã.
(83)
gm
m
gm
m
m
mg
go
m
m
m
g
go
m A
Ni
H
A
l
B
A
Ni
l
A
H
A
l
l
A
B
gg




 
321321
11

mmm
mmm
m
m FH
FH
l
Ni
H



0
0
2
1
 
 magnetizante
desmagnetizante
(84)
54
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
 Análise do gráfico
― Considere o imã, curto-circuitado em um circuito magnético sem Fmm externa,
operando no ponto z.
― O material que preenche o entreferro é retirado. Desta forma, o imã passa a operar
no ponto a da linha de recuo.
10  e i
20  e i
20  e i
mH1 mH2
z
z
a
a
m
m
20  e i
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CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
7 – Imãs permanentes
― Com i > 0, a Fmmé magnetizante e a reta de carga é deslocada para a direita
interceptando o eixo da abscissa em . A densidade de fluxo magnético no
imã aumenta e mpassa a ser o novo ponto de operação.
― Se o sentido da corrente elétrica for invertido, a reta de carga será deslocada
para a esquerda e tocará o eixo da abscissa em . Quando a magnitude
da Fmm é suficiente para interceptar a curva de desmagnetização em um
ponto abaixo das coordenadas de z, dado por z’, tem-se uma nova reta de
recuo.
― Fazendo i = 0, o ponto passa a ser o ponto de operação.
― Aumentando a o valor da corrente, torna-se o ponto de operação.
mH1
mH2
a
m
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