LIVRO DIDATICO

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gleysson Morais Andrade 
 
Especialista em Ensino de Física pela Faculdade Única de Ipatinga (2021). Possui 
graduação em Engenharia Mecânica pelo Centro Universitário do Leste de Minas Gerais 
(2018) e Licenciado em Física pela Faculdade Única de Ipatinga (FUNIP). Possui experiência 
como Professor na educação básica e na educação superior, atuando no curso de 
Licenciatura em Física e Engenharia Mecânica. Além dessa obra, “Mecânica dos Sólidos”, 
também redigiu “Termodinâmica” para os cursos de Física e Engenharia da Faculdade 
Única de Ipatinga. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Naiana Leme Camoleze 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes Leite 
 Fernanda Cristine Barbosa 
 Guilherme Prado Salles 
 Lívia Batista Rodrigues 
Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza Perboyre Campos 
 
 
 
 
 
 
© 2021, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor. 
 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
http://www.faculdadeunica.com.br/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo 
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles 
são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um 
com uma função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos 
científicos (artigos, monografias, dissertações e teses), 
sites ou links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e 
Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo 
abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de 
determinados termos/palavras mostradas ao longo do 
livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre 
questões citadas em cada unidade, associando-o a 
suas ações, seja no ambiente profissional ou em seu 
cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
MECÂNICA GERAL .................................................................................... 8 
1.1 VETORES...................................................................................................................... 8 
1.2 OPERAÇÕES COM VETORES ............................................................................... 9 
1.3 INTRODUÇÃO À MECÂNICA............................................................................. 10 
1.3.1 A Primeira Lei de Newton (Lei Da Inércia) ................................................11 
1.3.2 Definição de Força .........................................................................................12 
1.3.3 A Segunda Lei de Newton ............................................................................13 
1.3.4 Força Gravitacional (𝐅𝐠) E Força Peso. .....................................................13 
1.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM ESTÁTICA DOS SÓLIDOS............................... 14 
1.5 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA ................................................ 18 
1.5.1 Centroide de uma Área ................................................................................18 
1.5.2 Áreas Compostas ............................................................................................19 
1.5.3 Exemplo Resolvido ..........................................................................................19 
1.5.4 Momento de Inércia de uma Área ............................................................21 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 23 
ESTUDO DAS TENSÕES ............................................................................. 28 
2.1 FORÇA VERSUS TENSÃO .................................................................................... 28 
2.2 TENSÕES NORMAIS (𝛔) ...................................................................................... 37 
2.3 TENSÕES DE CISALHAMENTO (𝛕) ....................................................................... 40 
2.4 TENSÕES DE ESMAGAMENTO ............................................................................ 44 
2.5 TENSÃO ÚLTIMA – TENSÃO ADMISSÍVEL – FATOR DE SEGURANÇA ................ 45 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 49 
TENSÃO X DEFORMAÇÃO ...................................................................... 55 
3.1 INTRODUÇÃO À DEFORMAÇÃO ....................................................................... 55 
3.2 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO ............................................................ 57 
3.3 MÉTODO DA DEFORMAÇÃO RESIDUAL ............................................................ 63 
3.4 FRAGILIDADE VS DUCTILIDADE ......................................................................... 64 
3.5 LEI DE HOOKE ..................................................................................................... 65 
3.6 COEFICIENTE DE POISSON ................................................................................ 67 
3.7 TENSÃO – DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO ................................................ 68 
3.8 FALHA POR FLUÊNCIA E FADIGA ...................................................................... 70 
3.9 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT ........................................................................... 73 
3.10 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA EM BARRAS SUJEITA A CARREGAMENTO AXIAL .. 75 
3.11 BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO ESTATICAMENTE INDETERMINADO.. 77 
3.12 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM ESFORÇOS AXIAIS .................................... 79 
3.12.1 Exemplo Resolvido: ..........................................................................................81 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 83 
ESTUDO DA TORÇÃO PURA .................................................................... 88 
4.1 INTRODUÇÃO À TORÇÃO ................................................................................. 88 
4.2 ÂNGULO DE TORÇÃO (𝛉), DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA 
SECÇÃO. ............................................................................................................ 89 
4.3 A FÓRMULA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ............................ 91 
4.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO (EXEMPLO RESOLVIDO) ............... 93 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 96 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
ESTUDO DA FLEXÃO PURA .................................................................... 101 
5.1 INTRODUÇÃO À FLEXÃO ................................................................................. 101 
5.2 CONVENÇÃO DE SINAIS NA ANÁLISEDE FLEXÃO EM VIGAS ...................... 104 
5.3 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR (EXEMPLO RESOLVIDO 
I) ........................................................................................................................ 105 
5.4 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR (EXEMPLO RESOLVIDO 
II) ....................................................................................................................... 111 
5.5 TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO. .......................................................... 117 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................. 120 
PROJETO DE VIGAS E EIXOS ................................................................. 125 
6.1 DIMENSIONAMENTO DE EIXO (EXEMPLO RESOLVIDO I). .............................. 125 
6.2 DIMENSIONAMENTO DE EIXO (EXEMPLO RESOLVIDO II). ............................. 126 
6.3 DIMENSIONAMENTO DE VIGA (EXEMPLO RESOLVIDO III). ........................... 127 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................. 133 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................. 138 
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 139 
 
 
 
UNIDADE 
05 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
Prezado estudante, nesta unidade você irá relembrar conceitos de 
Mecânica Newtoniana, com ênfase em estática. Iremos abordar 
conceitos de mecânica geral, como por exemplo, força, equações 
de equilíbrio de força e momento, propriedades de figuras planas 
como centroide e momento de inércia. O objetivo é prepará-lo 
para a introdução nos conceitos de resistência dos materiais. 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo das tensões. 
Abordaremos a tensão normal, a tensão de cisalhamento e a 
tensão de esmagamento. Iremos adotar conceitos fundamentais 
em projetos de máquinas e estruturas como tensão admissível, 
coeficiente de segurança, dentre outros. 
 
 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo das tensões e 
deformações, com ênfase em esforços axiais. Abordaremos o 
diagrama de tensão x deformação, como elemento indispensável 
em projetos estruturais. Estudaremos diversas propriedades dos 
materiais, bem como os ensaios mecânicos. Apresentaremos o 
estudo da tensão e deformação normal. 
 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo dos esforços de torção 
pura. Abordaremos conceitos associados ao ângulo de torção e da 
distribuição das tensões e deformações ao longo da secção 
transversal de um eixo sujeito a um torque externo. 
 
 
 
 
 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo dos esforços de flexão 
pura. Discutiremos os cálculos de força cortante e momento fletor 
em vigas e eixos submetidos à flexão pura. Apresentaremos a 
fórmula da tensão na flexão. Por fim, serão discutidos alguns 
exemplos resolvidos. 
 
Dedicamos essa unidade exclusivamente à apresentação de 
cálculos de dimensionamento de vigas e eixos, sujeitos a esforços 
de torção ou flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
MECÂNICA GERAL 
 
 
 
 
 VETORES 
Um vetor é objeto matemático apresentado como um segmento de reta, 
basicamente uma “seta”. Esse segmento de reta representa uma grandeza física 
vetorial, pode ser a velocidade, a aceleração, a posição o deslocamento de um 
móvel, um campo elétrico, qualquer grandeza vetorial. Daremos um enfoque maior 
na grandeza física vetorial força (�⃗�), que estudaremos a seguir. Um vetor possui 
origem e fim e é representado por uma letra minúscula. O tamanho do vetor está 
relacionado com a intensidade da grandeza medida. Em uma mesma escala, o 
vetor que representa a força peso de um semáforo de 3 𝑘𝑁 deverá ser menor que o 
vetor que representa o peso de uma carreta de 100 𝑘𝑁. 
Observe a figura 1 abaixo, onde temos o Vetor 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ ou simplesmente vetor �⃗⃗�. A 
origem do vetor em 𝐀, e termina em 𝐁. O seu módulo pode ser representado da 
seguinte forma: 
 
Vetor Módulo do vetor 
�⃗⃗� |�⃗⃗�| 
 
Figura 1: Representação de um vetor no plano 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 OPERAÇÕES COM VETORES 
Podemos somar dois ou mais vetores, subtrair dois ou mais vetores e até mesmo 
multiplicar dois vetores. Também podemos multiplicar ou dividir grandezas vetoriais 
por grandezas escalares. Para isso, precisamos utilizar as figuras para que consigamos 
visualizar a operação. 
Na figura 2 abaixo, temos três imagens com situações diferentes. Podemos 
perceber que ao inverter o sentido do vetor, devemos trocar o sinal do mesmo. Ou 
seja, o vetor −i⃗ representa o vetor de mesmo módulo (tamanho) na mesma direção, 
porém, sentido contrário do vetor i⃗. Também podemos perceber que a soma de dois 
vetores resulta em um terceiro vetor. Ao somarmos os vetores v⃗⃗ e u⃗⃗ obtemos um 
terceiro vetor, a⃗⃗. Neste caso em questão, a extremidade final do vetor v⃗⃗ coincide com 
a origem do vetor u⃗⃗. Vale ressaltar que, se invertermos o sentido do vetor, então o seu 
sinal também será invertido. Também é representada na figura 2 a soma entre dois 
vetores j⃗ e l⃗ que possuem a mesma origem em comum, o ponto 𝐃. Neste caso, 
utilizamos a regra do paralelogramo. Para isso, basta representar em linhas 
pontilhadas a projeção dos vetores j⃗ e l⃗. A partir de então, traçamos o vetor 
resultante, conforme a figura 2. 
 
Figura 2: Representação da soma de vetores 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
A soma dos vetores (v⃗⃗ + u⃗⃗) e (j⃗ + l⃗) é expressa abaixo: 
 a⃗⃗ = v⃗⃗ + u⃗⃗ (1) 
 k⃗⃗ = j⃗ + l⃗ (2) 
 
Ao invertemos todos os vetores, obtemos a mesma relação, porém, com sinal 
trocado: 
 −a⃗⃗ = −v⃗⃗ − u⃗⃗ (3) 
 −k⃗⃗ = −j⃗ − l⃗ (4) 
 
A estática é a área da mecânica que estuda a condição de equilíbrio das 
partículas ou de um corpo rígido. A figura 3 a seguir apresenta as ramificações da 
mecânica, por vezes, chamada de Mecânica Newtoniana. 
 
Figura 3: Ramificações da Mecânica 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 INTRODUÇÃO À MECÂNICA 
A Mecânica é dividida em três grandes áreas, são elas, a Cinemática, a 
Dinâmica e a Estática. Nesta unidade, estudaremos as três leis de Newton, com 
enfoque maior na segunda lei em situações em que a aceleração é igual a zero, ou 
seja, na estática, bem como na terceira lei. O estudo das relações entre força e 
aceleração é o que chamamos de Mecânica Newtoniana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 O que é força? 
Um móvel que apresenta variação de velocidade está realizando um 
movimento acelerado ou retardado. Dizemos que quando uma partícula recebe a 
ação de uma força, ela sofre variação em sua velocidade ou, simplesmente, sofre 
uma aceleração. Podemos definir força de maneira grosseira, como um puxão ou 
um empurrão que aplicamos em um objeto, fazendo variar a sua velocidade, para 
mais (acelerando-o) ou para menos (desacelerando-o). 
Um carro quando colide em uma parede, realiza uma força sobre a parede. 
Quando chutamos uma bola de futebol, fazemos variar a velocidade da bola, de 
𝐳𝐞𝐫𝐨 para �⃗⃗�, logo, aplicamos uma força sobre a bola. 
 
1.3.1 A primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) 
Antes dos estudos de Isaac Newton, os cientistas acreditavam que o estado 
natural de um corpo é o repouso (parado), logo, para que um corpo se 
movimentasse com velocidade constante, era necessário que uma força atuasse 
continuamente sobre ele. Essa ideia fazia todo sentido, pois quando observamos um 
disco deslizando em uma superfície, rapidamente o disco fica em repouso. Porém, se 
colocarmos esse mesmo disco em uma pista de patinação de gelo, a distância 
percorrida pelo disco era muito maior, logo, se imaginarmos uma superfície em que 
não existe atrito, podemos presumir que o disco nunca entraria em repouso. Isso levou 
à primeira lei deNewton, enunciada abaixo: 
Primeira Lei de Newton: Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua 
velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer aceleração. 
Logo, um corpo em repouso tende a permanecer em repouso e se estiver em 
movimento, tende a permanecer em movimento com a mesma velocidade 
(módulo, direção e sentido). 
No espaço sideral, por exemplo, afastado de qualquer objeto com massa, 
uma partícula em movimento tende a permanecer eternamente em movimento, até 
que uma força atue sobre ele. 
Essa é a famosa lei da inércia. Na figura 4 abaixo, a bicicleta sofre a ação de 
uma força, provocando uma aceleração (negativa). O ciclista tende a permanecer 
em movimento, portanto, ele é arremessado para frente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Figura 4: A Primeira Lei de Newton 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3ufxPkW. Acesso em março de 2022. 
 
1.3.2 Definição de força 
Imagine que apliquemos uma força em um corpo de massa 1 Kg em um 
ambiente sem atrito, de maneira que a sua aceleração seja de 1 m
s2⁄ . Assim, foi 
definida o Newton (N) a unidade de medida da força. Ou seja, a força necessária 
para provocar aceleração de 1 m
s2⁄ em um corpo de massa igual a 1 m
s2⁄ é de 1 N, 
logo: 
 
1 N = 1 Kg ∙
m
s2
 (5) 
 
Figura 5: Definição de força 
 
Fonte: Halliday Volume 1 (2010) 
 
Quando uma ou mais forças atua em um corpo, podemos calcular a força 
resultante ou força total através de uma soma vetorial. A força é uma grandeza 
vetorial, logo, ela assume todas as características de um vetor, estudadas na secção 
anterior. 
https://bit.ly/3ufxPkW
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
1.3.3 A Segunda Lei de Newton 
A Segunda Lei de Newton: A força resultante que age sobre um corpo, é igual 
ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. 
 
 F⃗⃗R = m ∙ a⃗⃗ (6) 
 
Eventualmente, a segunda lei pode ser expressa com a notação a seguir: 
 
 ∑ F⃗⃗ = m ∙ a⃗⃗ (7) 
 
Em que: 
F⃗⃗R → Soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo [N] 
m → Massa do corpo [Kg] 
a⃗⃗⃗ → Aceleração do corpo [𝑚
𝑠2⁄ ] 
Caso tenhamos três dimensões (x, y e z), devemos considerar a força resultante 
em cada uma dessas direções, sendo: 
Na direção x: FRx = m ∙ 𝑎𝑥 ou ∑ Fx = m ∙ 𝑎𝑥 
Na direção y: FRy = m ∙ 𝑎𝑦 ou ∑ Fy = m ∙ 𝑎𝑦 
Na direção z: FRz = m ∙ 𝑎𝑧 ou ∑ Fz = m ∙ 𝑎𝑧 
 
1.3.4 Força gravitacional (�⃗�𝐠) e Força Peso 
A força gravitacional é a força com que a terra1 atrai os objetos em sua 
superfície. O sentido dessa força é sempre vertical, para baixo, apontando para o 
centro da terra. Se soltarmos um objeto de massa 𝐦 em queda livre, desprezando as 
forças de resistência do ar atmosférico, como este corpo sofrerá a ação da força 
gravitacional (F⃗⃗g) então ele terá uma aceleração, que neste caso é a própria 
aceleração gravitacional do planeta terra (g⃗⃗). 
Como temos apenas a força gravitacional atuando no objeto, então essa 
 
1De acordo com a lei da Gravitação Universal de Newton, qualquer corpo que possui massa 
(M), exerce uma força gravitacional (F⃗⃗g) sobre outro corpo qualquer de massa (m) a uma 
distância d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
força será a força resultante, logo, pela segunda lei de Newton: 
 F⃗⃗g = m ∙ g⃗⃗ (8) 
 
 
 
 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM ESTÁTICA DOS SÓLIDOS 
A estática é a área da mecânica que estuda os sistemas de corpos rígidos em 
equilíbrio, ou seja, que atende duas condições principais: 
O somatório algébrico das forças que atuam em um corpo deve ser nulo, pois 
não há aceleração, logo: 
 
 ∑ F⃗⃗ = 0 (9) 
 
Em situações com duas dimensões do espaço, podemos escrever: 
 
 ∑ F⃗⃗x = 0 (10) 
 ∑ F⃗⃗y = 0 (11) 
 
Para espaços tridimensionais, podemos escrever o equilíbrio na terceira 
dimensão do espaço, 
 ∑ F⃗⃗z = 0 (12) 
 
Outra condição fundamental na a estática dos sólidos é o equilíbrio rotacional, 
e não apenas o translacional relacionada pelas equações anteriores, logo, como 
não há rotação, podemos escrever que a soma algébrica dos momentos deverá ser 
nula, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 ∑ M0 = 0 (13) 
 
O exemplo resolvido a seguir apresenta uma aplicação dos conceitos de 
equilíbrio, reações de apoio, forças internas em elementos estruturais 
Considere a treliça mostrada na Figura 6. Determine as forças e as reações nos 
apoios, em todas as barras, em função da carga externa aplicada P. 
 
Figura 6: Equilíbrio de força e momento em uma treliça 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3eQmwvq. Acesso em: 08 ago. 2022. 
 
O apoio C é do tipo articulado fixo, ou seja, permite apenas a rotação da 
treliça, esse apoio é denominado de 2° gênero, logo, haverá duas reações nesse 
ponto, uma horizontal 𝑹𝒄(𝒙) e uma vertical 𝑹𝒄(𝒚). Já apoio F é do tipo rolete, de 1° 
gênero, e limita o movimento da treliça apenas na direção x, no ponto. Logo, haverá 
apenas uma reação, 𝑹𝑭(𝒙). 
A imagem abaixo apresenta o diagrama de corpo livre da treliça 
 
Figura 7: Reações de apoio em uma treliça 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3BdPdK9. Acesso em: 08 ago. 2022. 
https://bit.ly/3eQmwvq
https://bit.ly/3BdPdK9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Pelas condições de equilíbrio da estática: 
Equilíbrio da direção 𝑥, 
 
 ∑ F⃗⃗x = 0 (14) 
Logo, 
 
 RF(x) = Rc(x) (15) 
 
Equilíbrio da direção y, 
 
 ∑ F⃗⃗y = 0 (16) 
 Rc(y) = P (17) 
 
Equilíbrio de momento em um ponto arbitrário, (escolhendo o ponto 𝑐 
convenientemente), 
 ∑ Mc = 0 (18) 
 P ∙ (2a) − RF(x) ∙ (a) = 0 (19) 
 RF(x) = 2P (20) 
 
A próxima etapa consiste em isolar a treliça, cada nó, iniciando-se 
preferencialmente pelos nós próximos às reações de apoio, a fim de se obter as 
relações de semelhança nos triângulos. 
Isolando o nó 𝐹; 
 
Figura 8: Nós de uma treliça 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Após o desenvolvimento do diagrama de corpo livre DCL, verificamos que os 
esforços internos atuam ao longo do eixo de cada barra, logo, podemos relacionar 
o polígono de forças por meio de uma semelhança de triângulo, uma vez que os 
ângulos internos do polígono de forças e os ângulos internos da estrutura são os 
mesmos. 
Podemos relacionar os esforços internos nas barras, com o comprimento 
correspondente, da seguinte maneira; 
 
 
RF(x)
a
=
REF
a
2⁄
 (21) 
Sendo, portanto, 
 REF = 2RF(x) (22) 
 REF = 2P (23) 
 
O esforço interno na barra DF pode obtido pelo teorema de Pitágoras; 
 RFD = √P2 + (2P)2 (24) 
 RFD = √5P (25) 
 
 
Por se tratar de uma barra submetida a compressão, podemos escrever o 
esforço interno na barra FD sendo −√5𝑃, em que o sinal negativo indica um esforço 
axial de compressão na barra. 
Seguindo o mesmo raciocínio para as demais barras, os valores obtidos estão 
relacionados a seguir; 
 
Figura 9: Esforços internos em barras de uma treliça 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3U9SfYE. Acesso em: 08 ago. 2022. 
https://bit.ly/3U9SfYE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 
1.5.1 Centroide de uma área 
O centroide de uma área é definido como sendo o centro geométrico dessa 
área. Para encontrar o centroide de uma figura plana como um retângulo ou uma 
circunferência, o procedimento é geometricamente simples. Em casos em que a 
forma da figura não é bem definida, as coordenadas do centroide podem ser 
obtidas pelas relações abaixo: 
 
 x̅ =
∫ xdA
A
∫ dA
A
 e y̅ =
∫ ydA
A
∫ dA
A
 (26) 
 
Os numeradores estão associados ao momento das áreas com relação aos 
eixos x e y, respectivamente. Os denominadores são as áreas das figuras. A figura 10 
abaixo apresenta um sistema de coordenadas cartesianas de eixos 𝑥 e 𝑦, área 𝐴 de 
centóide 𝐶, em relação ao sistema de coordenada estabelecido. 
 
Figura 10: Centroide de uma área 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
https://bit.ly/3ePrh8D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Nos casos emque a área apresenta simetria, o centroide estará exatamente 
sob o eixo de simetria da figura. A figura 11 abaixo apresenta a posição do centroide 
em duas áreas que são simétricas em relação ao eixo 𝑦. 
 
Figura 11: Centroide em áreas simétricas 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
 
1.5.2 Áreas compostas 
Em diversas situações, a área total de uma determinada figura pode ser 
dividida em áreas menores com geometrias simples para definição do centroide. 
Neste caso, basta que a área e o centroide de cada uma dessas figuras sejam 
conhecidos, podemos aplicar a equação abaixo: 
 
 x̅ =
∑ x̅A
∑ A
 e y̅ =
∑ y̅A
∑ A
 (27) 
 
1.5.3 Exemplo resolvido 
Localizando o centroide no ponto 𝐶 da área da secção transversal de uma 
viga, cujas dimensões são apresentadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Figura 12: Exemplo de cálculo de centroide em área composta 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
 
Perceba a simetria das figuras. O eixo de simetria de ambas as figuras coincide 
com o eixo das ordenadas 𝑦, logo, o centóide encontra-se sobre esse eixo e, 
portanto, �̅� = 0. 
 
 x̅ =
∑ x̅A
∑ A
= 0 (28) 
 
Para obter a coordenada �̅� do centroide da figura total, calculamos o produto 
�̅�𝐴 de cada área separadamente e, por fim, realizamos a soma desse produto para 
todas as áreas. O resultado desse somatório é divido pelo somatório das áreas. A 
razão entre o somatório do produto �̅�𝐴 e o somatório das áreas fornece à 
coordenada �̅� do centroide em relação ao eixo de referência. 
 
 y̅ =
∑ y̅A
∑ A
=
(5 cm)(10 cm)(2 cm) + (11,5 cm)(3 cm)(8 cm)
(10 cm)(2 cm) + (3 cm)(8 cm)
 (29) 
 y̅ = 8,55 cm (30) 
 
Logo, as coordenadas do centroide em relação ao sistema de coordenadas 
cartesianas da figura 12 são (�̅� = 0, �̅� = 8,55) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
1.5.4 Momento de inércia de uma área 
Para o cálculo do centroide de uma área utilizamos um momento de primeira 
ordem da área em relação a um eixo de referência. Em certas situações, em 
resistência dos materiais, iremos nos deparar com momentos de segunda ordem de 
uma área em relação a um eixo de referência x e ou y. Denominamos esses 
momentos de segunda ordem como momento de inércia, e representamos o 
momento de inércia de uma elemento de área infinitesimal como 𝑑𝐼𝑥 = 𝑦2𝑑𝐴 e 𝑑𝐼𝑦 =
𝑥2𝑑𝐴, integrando essas relações, podemos encontrar o momento de inércia de toda 
a área da figura em torno dos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. 
 
 Ix = ∫ y2dA
A
 (31) 
 Iy = ∫ x2dA
A
 (32) 
 
𝑰𝒙 representa o momento de inércia da área A em relação ao eixo x, e 𝑰𝒚 o 
momento de inércia da área 𝐴 em relação ao eixo 𝑦. A figura 13 abaixo apresenta a 
área A e os eixos 𝑥 e 𝑦 como referências. 
 
Figura 13: Momento de inércia de uma área 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
O momento polar de inércia representa o momento da área em relação ao 
polo O, logo, se a relação 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 é verdadeira, podemos escrever o momento 
polar de inércia em temos dos momentos de inércia, sendo: 
 
 J0 = ∫ r2dA
A
= Ix + Iy (33) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
 
1. Na figura, um corpo massa m = 12232,41 g encontra-se em equilíbrio estático, 
suspenso por um conjunto de três fios ideais A, B e C. Calcule as intensidades das 
trações TA, TB e TC, respectivamente, nos fios A, B e C. Use sin θ = 0,6 e cos θ = 0,8. 
 
 
 
a) TA = 120 N, TB = 0 e Tc = 60 N 
b) TA = 200 N, TB = 120 N e Tc = 200N 
c) TA = 120 N, TB = 160 N e Tc = 200 N 
d) TA = 200 N, TB = 120 N e Tc = 160 N 
e) TA = 240 N, TB = 320 N e Tc = 400 N 
 
2. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma 
corda. Encontre a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha a 
aceleração da gravidade igual a 9,81 m
s2⁄ . 
 
 
 
a) T = 245,7 N e R = 163,8 N 
b) T = 81,9 N e R = 245,7 N 
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
c) T = 163,8 N e R = 148 N 
d) T = 81,9 N e R = 148 N 
e) T = 163,8 N e R = 81,9 N 
 
3. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Uma carga P á aplicada a rótula C 
da treliça abaixo. Determine as reações em A e B com: (a) α = 0º e (b) α = 45º. (V =
 vertical, H = horizontal). 
 
 
 
a) Para α = 0°; VA = −P; HA = P; VB = P 
Para α = 45; VA = 0; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
b) Para α = 0°; VA = P; HA = P; VB = P 
Para α = 45; VA = P; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
c) Para α = 0°; VA = −P; HA = −P; VB = −P 
Para α = 45; VA = −P; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
d) Para α = 0°; VA = P; HA = P; VB = P 
Para α = 45; VA = 0; HA = 0,7P; VB = −0,7P 
e) Para α = 0°; VA = −P; HA = −P; VB = P 
Para α = 45; VA = P; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
 
4. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Observe-se na figura abaixo, três 
cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete em A (Reação 
apenas na vertical) e em uma articulação em B (uma reação de apoio na 
horizontal e outra na vertical). Desprezando o peso próprio da viga, determine as 
reações em A e B quando Q = 75 kN. 
LEONARDO SOUZA
Realce
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
a) RA = 30 kN (↓); RB(y) = 105 kN (↓); RB(x) = 30 kN (←) 
b) RA = 105 kN (↑); RB(y) = 30 kN (↑); RB(x) = 0 
c) RA = 60 kN (↑); RB(y) = 210 kN (↓); RB(x) = 0 
d) RA = 105 kN (↓); RB(y) = 30 kN (↑); RB(x) = 30 (→) 
e) RA = 30 kN (↑); RB(y) = 105 kN (↑); RB(x) = 0 
 
5. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Um guindaste montado em um 
caminhão é utilizado para erguer um compressor de 3 kN. O peso da lança AB e 
do caminhão estão indicados na figura abaixo, e o ângulo que a lança faz com a 
horizontal α é de 45º. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) traseiras C 
e dianteiras D. 
 
 
 
a) RC = 19645 kN e RD = 25000 kN 
b) RC = 26250 kN e RD = 9605 kN 
c) RC = 19645 kN e RD = 9605 kN 
d) RC = 9605 e RD = 19645 kN 
e) RC = 26250 kN e RD = 25000 kN 
LEONARDO SOUZA
Realce
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
6. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). A estrutura da figura suporta parte 
do telhado de um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é de 150 kN, 
determine a reação no extremo fixo E. 
 
 
 
a) RE(y) = 400 kN (↑); RE(x) = 90 kN (←); ME = 180 kN. m (antihorário) 
b) RE(y) = 150 kN (↑); RE(x) = 70 kN (→); ME = 180 kN. m (horário) 
c) RE(y) = 250 kN (↑); RE(x) = 90 kN (←); ME = 180 kN. m (antihorário) 
d) RE(y) = 200 kN (↑); RE(x) = 90 kN (←); ME = 180 kN. m (antihorário) 
e) RE(y) = 300 kN (↓); RE(x) = 80 kN (→); ME = 180 kN. m (horário) 
 
7. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Uma treliça pode ser apoiada de 
duas maneiras, conforme figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos. 
 
 
 
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
a) Caso I: RA = 5,27 kN e RB = 5,4 kN 
Caso II: RA = 2,50 kN e RB = 2,06 kN 
b) Caso I: RA = 6,24 kN e RB = 5,4 kN 
Caso II: RA = 2,50 kN e RB = 2,06 kN 
c) Caso I: RA = 6,24 kN e RB = 4,5 kN 
Caso II: RA = 1,50 kN e RB = 4,5 kN 
d) Caso I: RA = 3,52 kN e RB = 4,5 kN 
Caso II: RA = 1,50 kN e RB = 4,27 kN 
e) Caso I: RA = 4,27 kN e RB = 4,5 kN 
Caso II: RA = 1,50 kN e RB = 6,02 kN 
 
8. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Uma empilhadeira de 2500 kgf é 
utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf. Determine a reação em cada par 
de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras. 
 
 
 
a) RA = 2566 kN e RB = 1134 kN 
b) RA = 1134 kN e RB = 2566 kN 
c) RA = 5112 kN e RB = 2268 kN 
d) RA = 1200 kN e RB = 2400 kN 
e) RA = 3566 kN e RB = 1134 kN 
 
LEONARDO SOUZA
Realce
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
ESTUDO DAS TENSÕES 
 
 
 
 
 
A resistência dos materiais ou mecânica dos materiais é a ciência que estuda 
as tensões internas atuantes nos corpos e as deformações decorrentes da aplicação 
de cargas externas. 
Na Física Clássica,normalmente, trabalha-se com o conceito de corpo rígido. 
Por definição, um corpo rígido não se deforma quando submetido a uma carga 
externa. Neste caso, não são objeto de estudo da física clássica as tensões e 
deformações. Já na resistência dos materiais, essas tensões internas e as 
consequentes deformações são extremamente relevantes, uma vez que o 
entendimento e a compreensão destes conceitos servirão como ferramental teórico 
para projeto de máquinas, projeto de construções civis, desenvolvimento de 
materiais etc. 
 
 FORÇA VERSUS TENSÃO 
Pela Segunda Lei de Newton podemos desenvolver um bom conceito de 
força. Força é o agente capaz de promover a aceleração de um corpo. Se um corpo 
está se movimentando com variação positiva ou negativa de velocidade, então ele 
está sujeito à ação de uma força resultante. Neste caso, a força resultante é diferente 
de zero, o corpo não está em equilíbrio estático. Todavia, ainda que o corpo esteja 
em equilíbrio estático, não significa que ele esteja livre de forças. Nesta obra, por 
vezes, substituiremos palavra força por carga. 
As cargas externas que atuam em um corpo poderão ser de duas naturezas 
distintas, são elas: forças de corpo ou força de superfície. 
As forças de superfícies são forças de contato, ou seja, para que elas existam 
deve ocorrer a interação física entre os corpos. Por exemplo, ao empurrarmos uma 
mesa, estamos exercendo uma força de superfície. As forças de superfície podem ser 
distribuídas linearmente w(s) ou podem ser idealmente concentradas em um único 
ponto. A carga distribuída w é função do comprimento s, por isso, escrevemos w(s). 
UNIDADE 
02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Podemos de maneira simplista, porém, eficaz, substituir a carga distribuída w(s) 
por uma única força concentrada FR no centroide ou centro geométrico do corpo. 
As forças de corpos são forças oriundas da presença de um campo. Por 
exemplo, a força gravitacional, força essa que a terra, por meio do campo 
gravitacional exerce sobre corpos massivos, é uma força de ação a distância, não 
precisa de interação física. A essa força chamamos de força Peso. A força 
gravitacional é matematicamente equacionada pela lei da gravitação universal de 
Isaac Newton. 
A força elétrica também é uma força de corpo, ou seja, uma força de ação 
a distância, uma vez que, um corpo eletricamente carregado produz um campo 
elétrico em sua vizinhança, de tal forma que, um outro corpo carregado na presença 
deste campo elétrico é submetido a uma força elétrica. A força eletricamente foi 
matematicamente equacionada pela lei de Coulomb. 
A figura 14 apresenta um corpo e as diversas possibilidades de atuação de 
forças externas. 
 
Figura 14: Forças de superfície e forças de corpo 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Na figura 15 abaixo observamos uma estrutura metálica, formada por duas 
barras, uma de secção circular (barra BC) e outra de seção retangular (barra AB). 
Essa estrutura está fixada por meio de pinos a uma estrutura fixa na terra. Será que a 
estrutura abaixo suporta o carregamento de 50 KN apresentado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
Figura 15: Análise de carregamento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A estrutura representada pela figura 15 encontra-se em equilíbrio estático, 
portanto, podemos assumir que cada componente dessa estrutura também se 
encontra em equilíbrio. 
Isolando o pino B e observando as forças externas que atuam sobre o Pino B, 
podemos esboçar o diagrama de corpo livre (DCL) da estrutura, com ênfase no pino 
B, que também está em equilíbrio estático. A carga externa de intensidade 50 KN 
força o pino B na direção vertical sentido para baixo, para tanto, uma vez que existe 
o equilíbrio estático, deve haver uma componente de força em sentido contrário. 
Sob essa ótica e com os conhecimentos da estática, deduzimos que as barras AB e 
BC exercem sobre o pino B forças cuja direção e sentido são apresentados na figura 
16 
Figura 16: Diagrama de corpo livre representando o pino B e o polígono de forças atuante 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Para responder à pergunta capital do nosso problema, devemos identificar 
qual a intensidade das forças FBC e FAB, pois a partir delas, encontraremos as tensões 
atuantes em ambas as barras. 
Podemos analisar o problema acima sob duas perspectivas. A primeira, 
aplicando a semelhança de triângulo no nosso polígono de forças. Dizemos que a 
carga de 50 KN está para 2,5 m assim como FAB está para 3,0 m, assim como FBC está 
para √32 + 2,52, logo: 
 
 
 
50 KN
2,5 m
=
FAB
3,0 m
=
FBC
(√32 + 2,52) m
 (34) 
 
Logo: 
 FAB = 60KN e FBC ≅ 78,1 KN (35) 
 
A segunda possibilidade de análise é a partir da decomposição do vetor força 
FBC em suas componentes ortogonais, é apresentada na figura 17 abaixo. 
 
Figura 17: Decomposição em componentes ortogonais 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Do equilíbrio estático podemos assumir que o somatório das forças em todas 
direções do espaço devem ser nulas. Como estamos trabalhando com uma situação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
problema bidimensional (em duas dimensões), portanto, com vetores de forças 
coplanares, podemos escrever as expressões abaixo: 
 
 ∑ FY = 0 (36) 
Logo: 
 FBCY
− 50 = 0 (37) 
 FBCY
= 50 KN (38) 
 FBC ∙ sin θ = 50 KN (39) 
 
FBC =
50 KN 
sin θ
 (40) 
 
Voltando à figura 16, verificamos que: 
 
sin θ =
2,5
√32 + 2,52
 (41) 
 
Logo: 
 FBC = 50 ∙
√32 + 2,52
2,5
 (42) 
 𝐅𝐁𝐂 ≅ 𝟕𝟖, 𝟏𝐊𝐍 (43) 
 
De maneira análoga, para a direção 𝑋, temos: 
 
 ∑ FX = 0 (44) 
 FAB − FBCX
= 0 (45) 
 FAB = FBCX
= FBC ∙ cos θ (46) 
 FAB = 78,1KN ∙
3
√32 + 2,52
 (47) 
 FAB = 60 KN (48) 
 
Obtemos, então, por meio da análise estática da estrutura, que a força 
atuante na barra BC é de 78,1 KN e a força atuante na barra AB é de 60 KN. A priori, 
não podemos determinar se a estrutura será capaz de suportar a carga vertical de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
50 KN apenas com o cálculo das forças internas atuantes em ambas as barras. 
Perceba também, que a ruptura ou não das barras, não está condicionada apenas 
às cargas atuantes, mas, também à área da secção transversal, bem como as 
características mecânicas do material em que as barras foram construídas. Quanto 
maio a área de secção transversal, maior será a carga necessária levar a barra a sua 
ruptura. Quanto maior a resistência mecânica da barra, maior será também a carga 
necessária para romper a barra. A força interna que encontramos para as barras AB 
e BC representam a resultante das forças elementares atuantes ao longo de toda a 
secção transversal da barra. 
Imagine um corte na barra BC, seccionando-a no ponto Z, conforme 
esboçado na figura 18 abaixo. 
 
Figura 18: Seccionamento da barra BC 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A barra BC encontra-se em equilíbrio estático, logo, as suas partes formadas 
pelas barras CZ e BZ, obrigatoriamente, devem estar em equilíbrio e, para tal, o ponto 
Z é submetido a um esforço de tração. Concluímos então que, a barra BC está 
submetida a um esforço de tração. Da mesma forma, perceba que a barra AB 
exerce esforço sobre o pino B, logo, o pino B realiza compressão sobre a barra AB, 
portando, a barra AB está submetida a um esforço de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
Figura 19: Esforço de tração x compressão 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Conforme exposto acima, para afirmamos que as barras são capazes de 
suportar os esforços solicitantes, devemos obter além do valor dos esforços internos, 
a área de seção transversal, bem como conhecer o material cuja estrutura foi 
fabricada. A figura 20 abaixo demonstra que a força interna obtida, anteriormente, 
por meio da análise estática, representa a soma de todos os elementos infinitesimais 
de força que atuam ao longo de toda a secção transversalda barra. Ao dividirmos 
a força resultante desses elementos de força pela área total (𝐀) da secção 
transversal, obtemos então a tensão atuante, comumente designada pela letra 
grega sigma (𝛔), nesta obra será utilizada essa nomenclatura. Se chamarmos de 𝐏, a 
força interna resultante atuante na secção transversal de área 𝐀, escrevemos 
matematicamente que a tensão atuante será: 
 
 σatuante =
P
A
 (49) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Figura 20: Força atuante por unidade de área 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A Unidade de medida para tensão no sistema internacional de unidades (S.I.U) 
é o Pascal2; 
 σ = [
N
m2] = [Pa] (50) 
 
Na engenharia os cálculos estruturais, via de regra, apresentam valores 
grandes de tensão, portanto, faz sentido lançar mão dos múltiplos, sendo o 
quilopascal (KPa), Megapascal (MPa) e o Gigapascal (GPa). 
 
 1 Kpa = 103 Pa (51) 
 1 Mpa = 106 Pa (52) 
 1 Gpa = 109 Pa (53) 
 
 
2 Blaise Pascal foi um grande matemático e físico francês, com enormes contribuições para as ciências 
naturais e ciências aplicadas, em especial para a mecânica dos fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
Digamos que as barras que compõem a estrutura da figura 19 sejam 
fabricadas em aço, e que a barra BC possua um diâmetro de 30 mm. Logo, qual a 
tensão atuante na barra BC? 
Ora, sem a tensão atuante a razão entre a carga resultante e a área da 
secção transversal, escrevemos; 
 
 σatuante =
P
A
 (54) 
 σatuante =
78,1 x 103 N
π
4
(30x10−3m)2
 (55) 
 σatuante = 110488898,3 Pa (56) 
 
Utilizando o múltiplo apropriado, 
 σatuante = 110,49 MPa (57) 
 
Será que a barra suporta essa tensão? Devemos comparar o valor da tensão 
atuante na barra com o valor da máxima tensão admissível3 suportada pelo aço. 
Este valor é encontrado em tabelas de propriedades dos materiais. A tensão 
admissível máxima para o aço é de 160 Mpa. Como σatuante < σadm depreendemos 
que a barra suportará com segurança os esforços solicitados. Mas, e quanto aos 
demais componentes da estrutura? Essa estrutura não é composta apenas pela barra 
BC. Deve-se realizar o cálculo para cada componente, levando-se em conta o tipo 
de esforço solicitante. No caso dessa barra BC, verificamos que ela se encontra sob 
a ação de cargas axiais4 que promovem a tração, mas existem outros tipos de 
 
3 A tensão admissível corresponde a uma fração do limite de resistência de um material e seu valor 
depende do coeficiente de segurança (CS) adotado no projeto. 
4 As cargas axiais serão estudadas no tópico 1.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
esforços em que os elementos que compõem uma estrutura podem ser submetidos, 
como por exemplo, esforços de compressão, esmagamento, cisalhamento, dentre 
outros. Cada um desses esforços será trabalhado nesta obra. 
 
 TENSÕES NORMAIS (𝛔) 
Imagine uma barra prismática conforme a figura 21. Essa barra pode ser 
submetida a esforços atuantes em qualquer direção (axial, oblíqua, transversal). No 
caso da figura 21, dizemos que a barra está submetida a esforços axiais, ou seja, a 
linha de ação da força possui a mesma direção do eixo da barra. Neste caso, onde 
a barra é submetida a esforços axiais, cuja ação das linhas de forças possuem a 
mesma direção do eixo da barra e, simultaneamente, são perpendiculares à secção 
transversal da barra, promovem o surgimento de tensões normais na secção 
transversal da barra. Por definição, tensões normais são originadas por forças 
perpendiculares a área da secção transversal. A palavra normal já carrega esse 
significado por si só. 
A figura 21 abaixo representa um elemento de força axial ∆𝐅 atuando no 
elemento de área ∆𝐀, gerando uma tensão normal média na área ∆A. 
 
Figura 21: Tensões normais 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Para obtermos o valor real da tensão no ponto P, devemos fazer a área ∆A 
tender a zero, com isso, matematicamente, podemos escrever a expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 σ = lim
∆A→0
∆F
∆A
 (58) 
 
O limite de ∆F quando ∆A tende a zero, é a derivada da força com relação à 
área, logo: 
 σ =
dF
dA
 (59) 
 
Multiplicando de maneira cruzada, têm-se: 
 
 dF = σ ∙ dA (60) 
 
Integrando ambos os lados: 
 
 ∫ dF = ∫ σ ∙ dA
A
 (61) 
 
Em decorrência do equilíbrio estático da barra, a soma das forças elementares 
em cada secção transversal que compõe a barra deve ser igual a força externa P, 
portanto: 
 
 P = ∫ dF (62) 
Logo, 
 P = ∫ σ ∙ dA
A
 (63) 
 
Ao longo de uma mesma secção transversal podemos encontrar pontos com 
tensões diferentes, mas o somatório das forças elementares corresponde a nossa 
força resultante P. A distribuição real das tensões em uma secção transversal não 
pode ser obtida pela estática. O índice 𝐀 representado na integral indica que a 
integral é realizada ao longo da área da secção transversal. 
Uma pequena força ∆𝐅 pode atuar em uma direção oblíqua ao elemento de 
área ∆𝐀, portanto, em uma direção inclinada em relação às três direções do espaço 
(x, y e z). Neste caso, devemos realizar a decomposição das componentes ortogonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
do vetor de força, obtendo então três novos vetores de força, nas três direções do 
espaço. Observe a figura 22. Perceba que o vetor de força ∆F foi decomposto nas 
componentes ∆Fx, ∆Fy e ∆Fz nas direções 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧, respectivamente. 
 
Figura 22: Decomposição das componentes ortogonais 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A componente de força do vetor ∆F que atua na direção normal ao elemento 
de área ∆A é ∆Fz, logo, podemos estabelecer qual a tensão normal provocada pela 
força ∆F no elemento de área ∆A pode ser expressa matematicamente pela relação, 
 
 σz = lim
∆A→0
∆Fz
∆A
 (64) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 TENSÕES DE CISALHAMENTO (𝝉) 
Observe novamente a figura 22. O vetor de força ∆F quando decomposto nas 
três componentes, originou uma componente normal ao elemento de área ∆A ao 
passo que também originou duas componentes de forças tangenciais ao elemento 
de área ∆A, são elas, ∆Fx e ∆Fy nas direções x e y, respectivamente. Dizemos que essas 
forças provocam o surgimento de tensões de cisalhamento5 no elemento de área 
∆A. Como são duas tensões em direções diferentes, devemos lançar mão de uma 
nova forma de representar essas tensões, matematicamente, exprimindo também a 
sua direção. 
Tensão de cisalhamento na direção 𝑥, 
 
 τzx = lim
∆A→0
∆Fx
∆A
 (65) 
 
Tensão de cisalhamento na direção y, 
 τzy = lim
∆A→0
∆Fy
∆A
 (66) 
 
Neste caso, utiliza-se a letra grega 𝝉 (tau) e observa-se dois índices. O primeiro 
índice, a letra z nos mostra que a tensão de cisalhamento atua no elemento de área 
∆𝐀 que é perpendicular ao eixo z. O segundo índice (x ou y) de cada expressão, nos 
diz a direção em que a tensão atua. 
A figura 23 esboça uma situação prática de surgimento de uma tensão de 
cisalhamento. Observe uma chapa metálica AB, submetida a duas forças, P e P’. 
Essas forças agem perpendicularmente ao eixo longitudinal 6 da chapa. 
 
 
5 Muitos autores chamam as tensões de cisalhamento por tensões tangenciais. 
6 Mesma direção do eixo da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Figura 23: Tensão de cisalhamento simples 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Quando as forças p e p’ são aplicadas na chapa, observamos o surgimento 
de uma força cortante ao longo da linha de corte, que atua na secção transversal 
da chapa metálica. Essa força cortante possui o mesmo valor da força P. Uma vez 
que a força cortante age ao longo da secção transversal da chapa de área A, 
haverá então uma tensão de cisalhamento ao longo da secção transversal sob o 
plano de corte. A tensão de cisalhamento é diferente em cada ponto da área A da 
secção transversal. Ela é menornas regiões periféricas e maior no interior da chapa, 
de modo que podemos inicialmente obter apenas a tensão de cisalhamento média 
atuante na chapa em decorrência das forças cisalhantes atuantes. 
 
 τméd =
P
A
 (67) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Em que 𝑃 é dado em Newtons [𝑁] 𝑒 𝐴 em metro quadrado [𝑚2]. No sistema 
internacional, a relação 𝑁
𝑚2⁄ é denominada de Pascal [𝑃𝑎]. Em cálculos estruturais, 
via de regra lidamos com valores de tensão elevados, o que justifica a utilização de 
múltiplos da unidade, como por exemplo; quilopascal [𝑘𝑃𝑎], Megapascal [𝑀𝑃𝑎] e o 
Gigapascal [𝐺𝑃𝑎], que equivalem, 103 𝑃𝑎, 106 𝑃𝑎, 109 𝑃𝑎, respectivamente. 
A figura 23 representa um cisalhamento simples, uma vez que, a chapa 
metálica é submetida a apenas uma carga de cisalhamento. Mas podemos ter um 
carregamento que submeta a peça em questão a um cisalhamento duplo, como 
por exemplo, na figura 24 abaixo. 
 
Figura 24: Cisalhamento duplo 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Observe que neste caso, a chapa metálica é submetida a uma força externa 
F. A configuração do carregamento indica o surgimento de força cortante P na 
secção transversal da chapa relativa à linha de corte 1 e na secção transversal da 
chapa relativa a linha de corte 2. Logo, podemos relacionar a tensão de 
cisalhamento na chapa através das equações abaixo: 
Na seção transversal 1, têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 τméd =
P
A
 (68) 
 
Analogamente, na seção transversal 2, têm-se: 
 τméd =
P
A
 (69) 
Como, 
 F = 2P (70) 
 
A tensão de cisalhamento na chapa será: 
 τméd =
F
2A
 (71) 
 
A figura 23 apresenta também um elemento de volume extraído da chapa 
metálica, onde podemos observar as tensões de cisalhamento média em cada face. 
Por meio do equilíbrio de forças na direção 𝑦, por exemplo: 
 
 ∑ Fy = 0 (72) 
Logo: 
 τzy ∙ ∆y ∙ ∆x = τ′zy ∙ ∆y ∙ ∆x (73) 
 τzy = τ′zy (74) 
Analogamente, 
 τyz = τ′yz (75) 
 
Por meio do equilíbrio de momento em relação ao eixo 𝒙, têm-se: 
 ∑ Mx = 0 (76) 
 −τzy ∙ (∆x ∙ ∆y)∆z + τyz ∙ (∆x ∙ ∆z)∆y = 0 (77) 
 
Logo: 
 τzy = τ′zy = τ′yz = τyz = τ (78) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
As tensões de cisalhamento em cada face do elemento de volume são iguais, 
e em sentidos opostos para as faces paralelas. 
 
 TENSÕES DE ESMAGAMENTO 
Discutimos na secção anterior dois tipos de tensões. São as tensões normais 
podendo ser de tração ou de compressão, e as tensões de cisalhamento. Pinos, 
parafusos e rebites são submetidos a um tipo de esforço superficial que denominamos 
de esmagamento. Imagine um rebite como na figura 25, de geometria cilíndrica, 
diâmetro d e altura t, a mesma espessura t da chapa. Esse rebite quando inserido na 
“sede” da chapa e submetido à uma carga F, origina tensões superficiais que são 
proporcionais a intensidade da força exercida. Os cálculos das tensões reais são de 
grande complexidade e, neste caso, utiliza-se uma tensão média, a tensão de 
esmagamento (σE). A área utilizada na expressão diz respeito à área da projeção 
planificada do semicilindro sob a vista frontal da figura 25, portando, um retângulo 
de altura t e base d. 
 
 σE =
F
A
=
F
t ∙ d
 (79) 
 
 
Figura 25: Tensão de esmagamento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 TENSÃO ÚLTIMA – TENSÃO ADMISSÍVEL – FATOR DE SEGURANÇA 
Nas secções anteriores apresentamos o conceito de cargas axiais, cargas 
tangenciais, bem como as tensões normais, tensões de cisalhamento e tensões de 
esmagamento. Acontece que o cálculo das tensões representa apenas uma parte 
de um todo na análise e desenvolvimento de projeto de estruturas e máquinas. Saber 
qual a tensão atuante em uma barra cilíndrica de aço é de fundamental 
importância, mas não suficiente para o dimensionamento de elementos de máquinas 
ou estruturas. 
Conhecer as propriedades mecânicas dos materiais é extremamente 
necessário quando o assunto é projeto de estruturas e máquinas. Nesta secção 
buscaremos compreender alguns conceitos associados aos projetos estruturais, com 
ênfase em três principais, são eles, a tensão última (𝜎𝑈), a tensão admissível (𝜎𝑎𝑑𝑚) e 
o fator de segurança (𝐶. 𝑆 𝑜𝑢 𝐹. 𝑆). 
Um material muito utilizado na indústria metal-mecânica é o aço carbono SAE 
10207. Imagine uma barra cilíndrica deste aço submetida a um esforço axial de 
tração em uma máquina universal de ensaios de materiais8. Inicialmente, a carga 
aplicada parece não causar nenhum efeito na barra (visualmente). De maneira 
progressiva, aumenta-se a carga de trabalho. Em um dado momento, a barra 
cilíndrica de aço irá sofrer uma redução abrupta no diâmetro da secção transversal 
(fenômeno chamado de Estricção) acompanhado de uma deformação perceptível 
visualmente e até finalmente a ruptura do material. A carga registrada no momento 
da ruptura é a carga última (PU). 
A razão entre a carga última e a área da secção transversal fornece o valor 
da tensão última. Neste caso, onde o esforço foi na direção axial, atribui-se o nome 
de tensão normal última ou tensão última à tração. 
 
 σU =
PU
A
 (80) 
 
 
 
7 Aço carbono SAE 1020 é um aço “macio” dúctil, de ampla utilização em peças mecânicas 
em geral, com porcentagem de carbono entre 0,15% e 0,30%. 
8 Realiza ensaio de tração em amplas variedades de materiais, como metais, borrachas, 
concretos etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
Caso a barra cilíndrica estivesse sob a ação de uma força cisalhante, como 
por exemplo, na figura 26, a razão entre a carga de cisalhamento última pela área 
da secção transversal da barra configura a tensão de cisalhamento última. 
 
 τU =
PU(tangencial)
A
 (81) 
 
 
Figura 26: Ensaio de cisalhamento 
 
Fonte: Adaptado Beer & Russell (2008) 
 
Via de regra, projetamos estruturas para que não sofram ruptura em nenhuma 
hipótese, para isso, adota-se nos projetos uma carga de trabalho máxima, 
denominada de carga admissível ou carga de projeto, ou ainda carga de utilização. 
Uma vez definida a carga admissível, não se pode em nenhuma circunstância 
submeter uma estrutura a uma carga superior a essa carga de projeto. 
Na prática, não se utiliza toda a carga que o material seria capaz de suportar. 
A razão entre a carga última e a carga admissível é definida como coeficiente de 
segurança ou fator de segurança. 
 
 COEFICIENTE DE SEGURANÇA = CS =
CARGA ÚLTIMA
CARGA ADMISSÍVEL
=
PU
Padm
 (82) 
 
Nos casos em que a carga e a tensão possuem uma relação linear, de 
proporcionalidade, pode-se adotar a expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA = CS =
TENSÃO ÚLTIMA
TENSÃO ADMISSÍVEL
 (83) 
 
Em casos de maiores exigências de segurança, como por exemplo, na 
aeronáutica, utiliza-se o conceito de margem de segurança. 
 
 MS = CS − 1,0 (84) 
Algumas situações de engenharia exigem que o fator de segurança seja 
obtido pela razão entre a tensão de escoamento e a tensão admissível no material. 
Isso ocorre porque, nestes casos, a tensão de escoamento é considerada como a 
tensão perigosa. Na prática, o engenheiro projetista deve levar em consideração a 
tensão perigosa, que é definida pelas condições do projeto, sendo essa tensão 
perigosa a tensão de escoamento ou a tensão última do material. No caso de uma 
aplicação em que o escoamento representa a falha do material, então o fator de 
segurança deve ser obtido pela relação abaixo: 
 
 COEFICIENTE DE SEGURANÇA = CS =
TENSÃO DE ESCOAMENTO
TENSÃO ADMISSÍVEL
 (85) 
 
De acordo com Beer & Russell (2008, 3ª ed, p.40), para a determinação do 
coeficiente de segurança o projetista deve levar em conta uma série de variáveis, 
tais como: 
 
Modificações que ocorrem nas propriedades do material. A 
composição, resistência e dimensões dos materiais estão sujeitas a 
pequenas variações durante a fabricação das peças.Além disso, as 
propriedades do material podem ficar alteradas e podem ocorrer 
tensões residuais devido à concentra a deformações e variação de 
temperatura que o material se sujeita no transporte, armazenamento 
ou na própria execução da estrutura. 
O número de vezes em que a Carga é aplicada durante a vida da 
estrutura ou máquina. Para a maior parte dos materiais a aplicação 
do carregamento repetida muitas vezes leva a um decréscimo no 
valor da atenção última. Este fenômeno é chamado fadiga do 
material i, se não for levado em conta, poderá ocorrer uma ruptura 
brusca. 
O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar 
futuramente. A maior parte dos carregamentos adotados em projetos 
são estimados, pois são poucas as vezes em que um carregamento 
pode ser previsto com precisão. Ocorre também a possibilidade de 
alterações futuras na finalidade da máquina ou estrutura que está 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
sendo projetada, como modificações nos valores previstos por 
ocasião do projeto. Cargas dinâmicas, cíclicas instantâneas abre 
parênteses choque fecha parênteses exigem altos valores de 
coeficientes de segurança. 
O modo de ruptura que pode ocorrer. Materiais frágeis apresentam 
ruptura repentina sem nenhuma indicação de que o colapso é 
iminente. Já os materiais do como aço estrutural, apresenta uma 
grande deformação, chamada escoamento antes de atingir a 
ruptura e esse comportamento do material fornece um aviso de que 
está ocorrendo carregamento excessivo. A ruptura ocasionada por 
perda de estabilidade da estrutura é geralmente repentina seja o 
material frágil ou não. Quando existe a possibilidade de ruptura 
repentina o valor a se adotar para o coeficiente de segurança deve 
ser maior do que no caso de ruptura com aviso. 
Métodos aproximados e análise. Os métodos de cálculo e análise são 
baseados em certas simplificações que levam a diferenças entre a as 
tensões calculadas e aquelas realmente atuantes na estrutura. 
Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de 
manutenção ou por causas naturais imprevisíveis. Em locais em que a 
composição do material ou a ferrugem são difíceis de controlar ou de 
prever, deve ser adotado um coeficiente de segurança de valor alto. 
A importância de um certo membro para a integridade de toda a 
estrutura. Para as peças secundárias e contraventamento da estrutura 
pode ser usado um coeficiente de segurança menor do que aquele 
das peças principais. 
 
 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3S6UH0m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força 
de 80 N. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção 
transversal no ponto A. 
 
 
 
a) Rx = 77,3 N; Ry = 20,7 N e M = 0,55 Nm 
b) Rx = 20,7,3 N; Ry = 77,3 N e M = 0,55 Nm 
c) Rx = 0,55 N; Ry = 77,3 e M = 20,7 Nm 
d) Rx = 80,0 N; Ry = 80,0 e M = 0,55 Nm 
e) Rx = −77,3 N; Ry = −20,7 N e M = 0,55 Nm 
 
2. (Adaptada de BEER, 1995). Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção 
transversal uniforme de área igual a 800 mm² determine a intensidade da carga 𝐏 
para que a tenção normal na haste BD seja 50 MPa. 
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
a) P = 62,67 kN 
b) P = 54,24 N 
c) P = 34,76 kN 
d) P = 54,24 kN 
e) P = 62,67 N 
 
3. (Adaptada de BEER, 1995). As barras AB e BE da treliça mostrada são da mesma 
liga metálica. Sabe-se que uma barra de 20 mm de diâmetro desta mesma liga foi 
testada até a falha e foi registrada uma carga máxima de 150 kN. Usando um 
coeficiente de segurança igual a 3,2, determine qual o diâmetro necessário para 
a barra AB e para a barra BE, respectivamente. 
 
 
 
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
a) 58,4 mm e 65,4 mm 
b) 584,2 mm e 654,7 mm 
c) 29,2 mm e 32,7 mm 
d) 32,7 mm e 29,2 mm 
e) 292,5 mm e 327,7 mm 
 
4. (Adaptada de BEER, 1995). Sabendo-se que a carga de ruptura do cabo BD é de 
90 KN e o pino em A tem um diâmetro de 𝟗, 𝟓 𝐦𝐦 e é feito de aço com tenção 
última de cisalhamento igual a 𝟑𝟒𝟓 𝐌𝐏𝐚, determine o coeficiente de segurança 
para o carregamento mostrado. 
 
 
 
a) CS = 4,52 
b) CS = 2,89 
c) CS = 1,45 
d) CS = 5,78 
e) CS = 3,52 
 
5. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O arganéu da âncora suporta uma força de cabo 
de 𝟑 𝐊𝐍. Se o pino tiver diâmetro de 𝟔 𝐦𝐦, determine a tensão média de 
cisalhamento no pino. 
LEONARDO SOUZA
Realce
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
a) τméd = 106,1 MPa 
b) τméd = 106,1 GPa 
c) τméd = 53,05 MPa 
d) τméd = 53,05 kPa 
e) τméd = 5305,55 MPa 
 
6. (Adaptado de Petrobrás, 2005). Observe a figura abaixo que representa um 
guincho composto por uma coluna, uma lança, um atuador hidráulico e pinos nas 
articulações. 
 
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
Qual a atenção de cisalhamento, devido ao esforço cortante em megapascal 
(MPa), no pino entre o atuador hidráulico e a lança? 
 
a) 
6√13
π
 
b) 
10√13
π
 
c) 
14√13
π
 
d) 
18√13
π
 
e) 
22√13
π
 
 
7. (Adaptado de J. M. GERE, 2009). Um poste tubular de diâmetro externo 𝐝𝟐 está 
retido por dois cabos assentados com tensores (veja a figura). Os cabos são 
tensionados girando os tensores, desta forma, produzindo tensão nos cabos e 
compressão no poste. Ambos os cabos estão tensionados com uma força e 𝟑𝟐 𝐊𝐍. 
O ângulo entre os cabos e o chão é 𝟔𝟎°, e a tensão e compressão admissível é 
𝟔𝟎𝟎𝟎 𝐏𝐒𝐈. Se a espessura da parede do poste é 𝟎, 𝟓 𝐢𝐧, qual é o valor mínimo 
permitido do diâmetro externo 𝐝𝟐? 
 
 
 
a) (d2)min = 6,38 in 
b) (d2)min = 6,38 cm 
c) (d2)min = 25,4 mm 
LEONARDO SOUZA
Realce
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
d) (d2)min = 75,4 in 
e) (d2)min = 75,4 mm 
 
8. (Adaptada de BEER, 1995). Uma força de 𝟒𝟓 𝐊𝐍 está aplicada um bloco de madeira 
que é suportado por uma base de concreto e esta repousa sobre um solo 
considerado indeformável. Determine a máxima tensão de esmagamento sobre a 
base de concreto, e o tamanho da base de concreto para que a a tensão de 
esmagamento média sobre o solo seja de 𝟏𝟒𝟎 𝐊𝐏𝐚. 
 
 
 
a) σe = 4,6 MPa e b = 566,95 cm 
b) σe = 5,6 MPa e b = 566,95 m 
c) σe = 3,6 Pa e b = 5,66 mm 
d) σe = 4,6 Pa e b = 5,66 cm 
e) σe = 3,6 MPa e b = 566,95 mm 
 
LEONARDO SOUZA
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO À DEFORMAÇÃO 
Um corpo quando submetido a uma carga poderá sofrer variação em seu 
tamanho ou mudança na sua forma. Se esticarmos uma borracha, por exemplo, ela 
sofrerá alteração em seu tamanho e forma. Na engenharia, denomina-se esse 
fenômeno de deformação. 
No exemplo dado (da borracha), a deformação será relativamente grande, 
portanto, será perceptível aos nossos olhos, ao passo que em uma construção civil, 
por exemplo, a deformação estrutural proveniente da carga resultante das pessoas 
circulando no prédio é imperceptível ao olho humano. Ocorre que o estudo das 
deformações é de fundamental importância no contexto da engenharia, pois a partir 
das análises de 𝑡𝑒𝑛õ𝑒𝑠 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 é que iniciam-se os projetos de máquinas e 
estruturas. Em projetos estruturais de engenharia, estudam-se dois tipos de 
deformações, a deformação normal e a deformação por cisalhamento. 
A figura 27 esboça um corpo antes e depois da deformação. Imagine que 
uma carga seja aplicada ao corpo, na mesma direção da reta 𝒏. Observe também 
um segmento de reta de comprimento inicial ∆𝐒 sob a reta 𝑛. O segmento de reta 
tem origem no ponto 𝐀 e termina no ponto 𝐁. Se imaginarmos que o corpo seja 
formado por inúmeros segmentos de retas, tais como o segmento AB, percebemos 
que a após a aplicação da carga externa, o segmento AB irá se deformar, assumindo 
os pontos 𝐀’ e 𝐁’, e comprimento final ∆𝐒′.A deformação média 𝛜𝐦é𝐝, também 
chamada de deformação específica, pode ser expressa pela relação abaixo: 
 
 
ϵméd =
∆S′ − ∆S
∆S
 (86) 
UNIDADE 
03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
Figura 27: Deformação normal 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A equação 87 acima expressa a deformação média específica. As 
deformações reais em cada ponto serão diferentes em cada posição do corpo. Se 
aproximarmos o ponto B em direção ao ponto A, fazendo ∆𝑆 → 0, então podemos 
escrever para a deformação: 
 ϵ = lim
B → A ao longo de n
∆S′ − ∆S
∆S
 (87) 
 
Para segmentos de retas pequenos, se tivermos o valor da deformação, 
podemos obter o comprimento final do segmento de reta, a partir da expressão: 
 
 ∆S′ ≈ (1 + ϵ)∆S (88) 
 
A figura 28 também apresenta um corpo antes e depois da aplicação de 
carga externa. Dois segmentos de reta 𝑨𝑪 e 𝑨𝑩, ambos com origem em 𝑨, estão 
dispostos formando um ângulo reto, (90° ou 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑). O segmento 𝑨𝑪 pertence à reta 𝒕 
e o segmento de reta 𝑨𝑩 pertence à reta 𝒏. Após a aplicação da carga haverá uma 
variação do ângulo entre as retas, e essa variação é conhecida como a deformação 
por cisalhamento. Essa variação poderá ser positiva ou negativa. Após a aplicação 
da carga, o ponto 𝑪 assume a posição 𝑪’ e o ponto 𝑩 assume a posição 𝑩’. Se 
aproximarmos os pontos 𝑩 e 𝑪 em direção à origem A, simultaneamente, sob as retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
𝒏 e 𝒕, respectivamente, fazendo o comprimento dos segmentos tenderem a zero, 
podemos expressar a deformação por cisalhamento real no ponto 𝑨, associadas as 
retas 𝒏 e 𝒕, pela relação: 
 
 γnt =
π
2
− lim
B→A ao longo de n
C→A ao longo de t
θ′ 
(89) 
 
 
Figura 28: Deformação por cisalhamento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Os valores de deformação são adimensionais, mas comumente são escritos na 
forma de unidade de comprimento por unidade de comprimento. No sistema 
internacional de unidades (S.I.U) a deformação é expressa em [𝑚
𝑚⁄ ]. Por vezes, essa 
deformação é muito pequena, sendo então utilizados submúltiplos do metro, tais 
como o micrometro [
𝜇𝑚
𝑚⁄ ]. A deformação também pode ser expressa na forma 
percentual, como 0,2%. 
 
 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
As deformações são medidas experimentalmente e podemos relacioná-las 
com as cargas aplicadas e com as tensões aplicadas. Cada material possui 
propriedades diferentes. A dureza do aço evidentemente é consideravelmente 
maior que a dureza de uma borracha. Ao passo que a ductilidade da borracha é 
maior que a do aço. Existem diversas propriedades como dureza, resistência, 
ductilidade, maleabilidade, soldabilidade, resiliência, tenacidade, dentre outras. 
Será abordado cada conceito no momento oportuno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
Para obtermos algumas dessas propriedades, devemos realizar ensaios 
mecânico dos materiais, como por exemplo, o ensaio de tração (mais comum). O 
ensaio de tração é realizado em uma amostra do material, seguindo padrões 
técnicos da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), a essa amostra do 
material denominamos de corpo de prova. 
 
Figura 29: Corpo de prova – ensaio de tração 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3GquYty. E https://bit.ly/3L6mLP8. Acessos em: 05 set. 2022. 
 
O ensaio de tração é realizado em uma máquina como na figura 30, onde 
aplica-se um esforço axial de tração sobre o corpo de prova até levá-lo à ruptura. 
 
Figura 30: Máquina de ensaio de tração 
 
Fonte: Disponível em https://bit.ly/3GquYty. Acesso em: 05 jan. 2022. 
https://bit.ly/3GquYty
https://bit.ly/3L6mLP8
https://bit.ly/3GquYty
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
Os valores de tensão e deformação são registrados pela máquina e, 
simultaneamente, um diagrama é gerado, com a plotagem desses dois eixos. No eixo 
da ordenada dispõem-se os valores de tensão (𝜎), e no eixo das abscissas dispõem-
se os valores da deformação (𝜖). 
 
 
 
O diagrama 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 fornece inúmeras informações acerca do 
material, como por exemplo, a tensão de ruptura, a tensão última, a tensão de 
escoamento, a ductilidade e a tenacidade do material, dentre outras. Todas essas 
propriedades são relevantes na escolha do material para determinada aplicação na 
engenharia. Em certas aplicações, como por exemplo, nos automóveis, objetiva-se 
reduzir o peso do veículo (menor gasto e menor consumo de combustível), aumentar 
a resistência mecânica da lataria a fim de proteger os passageiros em uma eventual 
colisão, e associado a isso, espera-se que o material que forma a lataria do veículo 
absorva a maior parte da energia de impacto, sem transferir energia para os 
ocupantes do veículo, para tanto, é importantíssimo conhecer as principais 
propriedades dos materiais e saber como utilizar desse ferramental teórico na seleção 
de materiais para projetos de máquinas e estruturas. 
A figura 31 apresenta um diagrama 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 de um aço de baixo 
teor de carbono. Isso significa na prática que este aço possui boa ductilidade e baixa 
dureza. Materiais com alta dureza são chamados de materiais frágeis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
Figura 31: Diagrama tensão x deformação aço baixo carbono 
 
Fonte: Adaptado de Beer (1995) 
 
Tensão nominal ou tensão de engenharia é a razão entre a carga (𝑃) aplicada 
e a área inicial (𝐴0) da secção transversal do corpo de prova. Embora a área da 
secção transversal sofra redução durante a aplicação da carga, neste caso, para o 
cálculo da tensão de engenharia fixamos a área inicial, logo: 
 
 σ =
P
A0
 (90) 
 
A deformação nominal ou deformação de engenharia corresponde à razão 
entre o alongamento (𝛿) e o comprimento inicial (𝐿0) do corpo de prova, logo: 
 
 ϵ =
δ
L0
 (91) 
 
Usaremos como exemplo na construção do diagrama de tensão-deformação 
o aço, que é um material amplamente utilizado na indústria mecânica e civil. A partir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
dos conceitos de tensão e deformação nominais, por meio de medidas 
experimentais estabeleceu-se o diagrama tensão (𝝈) – deformação (𝝐) convencional 
para o aço. No eixo das ordenadas (𝒚) relacionam-se os valores de tensão (𝝈) e no 
eixo das abscissas (𝒙) os valores de deformação (𝝐). O resultado é o que chamamos 
de diagrama tensão-deformação. 
 
Figura 32: Diagrama tensão x deformação de engenharia 
 
Fonte: Adaptado de Hibeller (2010). 
 
O corpo de prova fabricado em aço, com dimensões e acabamento 
padronizados, é levado à máquina de ensaio de tração. A máquina inicia a 
operação aplicando um esforço axial de tração sobre o corpo de prova. 
Inicialmente, o aço encontra-se na região elástica onde a deformação aumenta, 
proporcionalmente, com o aumento da tensão, em uma relação linear. Durante a 
fase elástica o corpo de prova sofre uma deformação em função da aplicação da 
tensão, porém, o material apresenta comportamento elástico, de maneira que, ao 
cessar o carregamento, o corpo de prova retoma as suas dimensões iniciais. A 
medida que a carga aplicada aumenta, o material se aproxima do limite superior 
dessa região elástica, neste ponto, a tensão limite é denominada de limite de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
proporcionalidade (𝜎𝑙𝑝) de maneira que, ao ultrapassar este ponto, o material ainda 
poderá se comportar de maneira elástica, porém, a curva do diagrama tende a se 
inclinar, de tal forma que não haverá mais a relação linear entre tensão e 
deformação. Continuando a aumentar a tensão sobre o corpo de prova, o material 
chegará ao limite de elasticidade onde poderá ainda se comportar de maneira 
elástica. No caso de materiais como o aço, é extremamente difícil discernir entre o 
limite de proporcionalidade e o limite de elasticidade. Se a tensão (𝜎) aplicada ao 
corpo de prova ultrapassar minimamente o limite de elasticidade, então o corpo de 
prova sofrerá um colapso,deformando-se permanentemente e não retornando mais 
à fase elástica. Dizemos então que o material sofreu escoamento. Após o material 
sofrer o fenômeno do escoamento, aumentando-se a carga, o material entra em 
uma fase de endurecimento por deformação, até a inclinação da curva do 
diagrama tornar-se nula. Este ponto de máxima tensão é denominado de limite de 
resistência (𝜎𝑟), e a partir deste ponto ocorrerá a redução abrupta da área da 
secção transversal do corpo de prova (estricção) acompanhada da ruptura do 
material, a tensão registrada no momento da ruptura é denominada de tensão de 
ruptura (𝜎𝑟𝑢𝑝). A figura 33 abaixo mostra um corpo de prova durante a estricção e 
após a ruptura. 
 
Figura 33: Corpo de prova após sofre estricção e ruptura 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3uZmlmH. Acesso em: 06 ago. 2022 
 
Pela observação do diagrama tensão-deformação, verifica-se que tanto o 
diagrama real quanto o convencional são muito parecidos na região elástica, e 
como a grande parte dos projetos estruturais são elaborados para que os materiais 
trambalhem dentro da fase elástica, é mais comum a utilização do diagrama tensão 
deformação convencional. 
 
https://bit.ly/3uZmlmH
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 MÉTODO DA DEFORMAÇÃO RESIDUAL 
Nem todas as ligas metálicas apresentam o ponto de escoamento bem 
definido como a do aço (tensão de escoamento constante). Em alguns casos, como 
a liga de alumínio, o escoamento do material ocorre sob tensão variável. Nestes 
casos, deve-se adotar um procedimento gráfico a fim de se obter o ponto de 
escoamento, o método da deformação residual. Tomamos o valor de deformação 
igual a 0,002 (0,2%) sob o eixo das abscissas (𝜖) e a partir deste ponto, traçamos uma 
linha paralela à reta da porção inicial da fase elástica, até tocar o diagrama. Este 
ponto de interseção entre a reta traçada e o diagrama corresponde ao ponto de 
escoamento do material. A figura 34 abaixo indica a forma de determinação correta 
do ponto de escoamento pelo método da deformação residual para a liga de 
alumínio. 
 
Figura 34: Método da deformação residual 
 
Fonte: Adaptado de Hibeller (2010) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 FRAGILIDADE VS DUCTILIDADE 
A maioria dos materiais pode ser classificada em duas categorias, os dúcteis e 
os frágeis. Os materiais dúcteis são aqueles capazes de se deformarem bastante 
antes de se romperem, portanto, são capazes de absorver maior energia. Já os 
materiais frágeis, quando submetidos a esforços de tração, quase não apresentam 
escoamento, uma vez que, após a fase elástica rapidamente se rompem. Um bom 
exemplo de material que se enquadra na categoria dúctil é o alumínio ou o aço 
doce (baixo percentual de carbono na sua composição química), e na classe dos 
materiais frágeis podemos citar o ferro fundido cinzento ou o concreto. Alguns 
materiais dúcteis como o aço de baixo teor de carbono são excelentes para suportar 
esforços axiais de tração. Já o ferro fundido cinzento e o concreto são ótimos para 
esforços axiais de compressão, todavia, péssimos quando são solicitados por tração. 
A figura 35 abaixo apresenta o diagrama tensão deformação para o ferro fundido 
cinzento. 
 
Figura 35: Resistência a tração x compressão 
 
Fonte: Adaptado de Hibeller (2010) 
 
Quando submetido à tração, a falha do material acontece com uma tensão 
𝜎𝑓 = 152 𝑀𝑃𝑎. A temperatura também é um fator determinante no que tange à 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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fragilidade e a ductilidade dos materiais. Quanto menor a temperatura, mais frágil o 
material tende a ficar, e menos dúctil, ao passo que ao aumentar a temperatura o 
material se torna mais macio, mais dúctil. A figura 36 a seguir apresenta a diferença 
no diagrama 𝜎 − 𝜖 entre os materiais dúcteis e frágeis. 
 
Figura 36: Diagrama tensão x deformação para materiais dúcteis e frágeis 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 LEI DE HOOKE 
Conforme já esboçado no tópico anterior, durante a fase elástica, o material 
apresenta uma relação linear entre a tensão (𝜎) e a deformação (𝜖). A constante 
que garante a equidade dessa proporção é denominada módulo de elasticidade 
ou módulo de Young (em homenagem a Thomas Young), logo, a tensão se relaciona 
com a deformação durante a fase elástica pela equação abaixo: 
 
 σ = Eϵ (92) 
 
O módulo de elasticidade (𝑬) possui unidade de medida em Pascal [𝑃𝑎], uma 
vez que, a deformação (𝜖) é adimensional. Este Módulo de elasticidade está 
associado à rigidez do material, quanto mais rígido o material, como por exemplo, o 
aço 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, maior o módulo de elasticidade. A borracha possui módulo de 
elasticidade 𝐸 = 0,7 𝑀𝑃𝑎. 
O módulo de resiliência é caracterizada pela densidade de energia9 de 
deformação durante a fase elástica do material, e pode ser calculada pelas 
 
9 A densidade de energia se caracteriza pela razão entre a energia de deformação e o 
volume do elemento material submetido ao ensaio mecânico. 𝑢 =
∆𝑈
∆𝑉
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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equações 93 e 94 abaixo: 
 
 
ur =
1
2
σlpϵlp (93) 
Ou 
 
ur =
1
2
σlp
2
E
 (94) 
 
Observando o diagrama tensão-deformação (𝜎 − 𝜖) de um material qualquer, 
percebemos que a área sombreada do triângulo, em que a base corresponde à 
deformação da fase elástica e a altura corresponde ao limite de proporcionalidade, 
essa área é igual à densidade de energia de deformação na fase elástica. 
 
Figura 37: Módulo de resiliência 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
O módulo de tenacidade é caracterizado pela densidade de energia de 
deformação de um material até a sua ruptura. A figura 38 abaixo apresenta o módulo 
de tenacidade de um material qualquer. A área sob o gráfico é numericamente igual 
a este módulo de tenacidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
Figura 38: Módulo de tenacidade 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Em projetos de elementos estruturais, que podem ser submetidos a esforços de 
maneira acidental, é aconselhável a utilização de materiais com alto módulo de 
tenacidade, pois estes serão capazes de absorver maior quantidade de energia 
antes de sofrer falha estrutural. 
 
 COEFICIENTE DE POISSON 
Quando um corpo de prova é submetido a um esforço axial de tração, 
percebe-se um alongamento longitudinal (𝜹) na sua dimensão e, simultaneamente, 
uma redução na secção transversal do material, evidenciado pela redução do raio 
(𝑹) no caso em que o corpo de prova possua geometria cilíndrica. O cientista francês 
S.D Poisson identificou que, ao dividir o valor da deformação longitudinal (𝝐𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕) pela 
deformação transversal (𝝐𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗), o resultado obtido era sempre o mesmo, ou seja, 
uma constante. Essa constante estava associada ao material, e ficou conhecida 
como coeficiente de Poisson (𝒗). No caso de um corpo de prova sendo submetido à 
tração, ocorre um aumento no comprimento (alongamento positivo) e redução da 
secção transversal (alongamento negativo). Já no caso de uma compressão ocorre 
a redução do comprimento (alongamento negativo) e uma expansão da secção 
transversal (alongamento positivo). 
A figura 39 abaixo apresenta um exemplo de uma barra cilíndrica sendo 
submetida a um esforço axial de tração, tendo um aumento no comprimento, cujo 
alongamento é, 
 δ = Lfinal − Linicial (95) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
E uma redução da secção transversal, cujo alongamento é 
 δ′ = r − R (96) 
 
Conforme estudado nos tópicos anteriores, a deformação longitudinal será: 
 
 
ϵlongit =
Lfinal − Linicial
Linicial
=
δ
Linicial
 (97) 
 
E a deformação transversal será: 
 
 
ϵtransv =
r − R
R
=
δ′
R
 (98) 
 
O coeficiente de Poisson é definido como, 
 v = −
ϵlongit
ϵtransv
 (99) 
 
Figura 39: Relação entre deformação axial e longitudinal 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
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