Problemas de Matemática

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71 (Ueap-AP) Num instante t 5 0, um recipiente contém 
uma quantidade Q 0 de bactérias que se reproduzem 
normalmente. Em um instante t . 0 a quantidade 
de bactérias existentes nesse recipiente é dada pela 
fórmula Q(t) 5 Q 0 3 e
at, onde t é o tempo, em hora, 
a é a constante que depende do tipo de bactéria e 
e é o número neperiano que é a base do logaritmo 
natural. Supondo que um cultivo inicial de 10 bac-
térias se reproduz em condições favoráveis e que 
doze horas mais tarde contamos 50 bactérias nesse 
cultivo, qual o valor da constante a para esse tipo 
de bactéria?
 (Obs. o símbolo ln, abaixo, representa o logaritmo 
natural, ou seja, o logaritmo na base e.)
a) ln 12
 dll 5 d) 5 ln 12
 dll 5 
b) ln 5 dlll 12 e) 5 ln 12
 dll 5 ________ 
12
 
c) 12 ln 12
 dll 5 
70 (Ufes) Um pesquisador constata que, em um dado 
instante, existem 400 tartarugas da espécie A e 200 
tartarugas da espécie B em uma reserva marinha. 
Nessa reserva, a população de tartarugas da espécie 
A diminui à taxa de 20% ao ano, enquanto a popu-
lação da espécie B aumenta à taxa de 10%, também 
ao ano.
 Determine, usando duas casas decimais, quanto 
tempo é necessário, a partir desse instante, para 
que as populações sejam iguais.
 (Considere: log10 11 5 1,04; log10 2 5 0,30.)
74 (UFF-RJ) Após acionado o flash de uma câmera 
fotográfica, a bateria começa imediatamente a re-
carregar o capacitor que armazena uma quantidade 
de carga elétrica (medida em coulomb) dada por:
 Q 5 Q(t) 5 Q 0(1 2 e2Ht )
 Sendo:
•	 e o número de Neper;
•	 Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, 
medido em segundo;
•	 Q 0 a carga máxima; e
•	 H uma constante.
 Considerando H 5 1 __ 
2
 e ln 10 5 2,3, determine:
a) a expressão de t em função de Q ;
b) o tempo necessário para que o capacitor recar-
regue 90% da carga máxima.
75 A concentração C de um medicamento no sangue de 
uma pessoa, em função do tempo t, em hora, a partir 
do instante da injeção, decresce de acordo com a 
função C(t) 5 d 3 (0,8)t, em que d é a dose adminis-
trada. Quanto tempo após a injeção a concentração 
do medicamento no sangue se reduz a 40% da dose 
administrada? (Use a tabela de logaritmos naturais 
abaixo).
72 Em certo país com população A (em milhão de habi-
tantes), as emissoras de tevê noticiaram a implan-
tação de um novo plano econômico pelo governo. 
O número f (t) de pessoas que já sabiam da notícia 
após t horas de sua divulgação, t > 0, é dado por:
 f (t) 5 A _________ 
1 1 4 e 2 
At ___ 
40
 
 
 Sabe-se também que, decorrida 1 hora da divulga-
ção do plano, 50% da população já estava ciente da 
notícia.
a) Que porcentagem da população tomou conhe-
cimento do plano no instante em que ele foi 
noticiado?
b) Qual é a população desse país? 
(Adote ln 2 5 0,69.)
x 1 2 3 4 5
ln (x) 0,00 0,69 1,10 1,39 1,61
x 6 7 8 9 10
ln (x) 1,79 1,95 2,08 2,20 2,30
76 (Vunesp) A temperatura média na Terra começou a 
ser medida por volta de 1870, e em 1880 já apareceu 
uma diferença: estava 0,01 wC (grau Celsius) acima 
daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função 
t(x) 5 (0,01) 3 2(0,05)x, com t(x) em wC e x em ano, fornece 
uma estimativa para o aumento da temperatura 
média na Terra (em relação àquela registrada em 
1870) no ano (1.880 1 x), x > 0. Com base na função, 
determine em que ano a temperatura média na 
Terra terá aumentado 3 wC. (Use as aproximações: 
log2 3 5 1,6; log2 5 5 2,3.)
73 (UFCG-PB) Certa espécie de animal, com população 
inicial de 200 indivíduos, vivendo em um ambiente 
limitado, capaz de suportar no máximo 500 indiví-
 duos, é modelada pela função P(t) 5 100.000 _____________ 
200 1 300e22t
 ,
 onde a variável t é dada em ano. O tempo necessário 
para a população atingir 60% da população máxima é:
a) 0,4 anos. 
b) 0,2 anos. 
c) 0,5 anos.
d) 0,1 anos.
e) 0,6 anos.
 (Obs: use a aproximação ln @ 4 __ 
9
 # 5 20,8, onde ln x 
 representa o logaritmo natural (ou neperiano) do 
número real x.)
69 A partir de certo instante, a concentração C (núme-
ro de indivíduos por litro) de um tipo de bactéria 
poluente em um lago decresce de acordo com a 
função C(t) 5 50 3 222t 1 20 3 22t, em que t represen-
ta o tempo em ano. Considerando o ano com 365 
dias e log 2 5 0,30, determine o tempo necessário, 
em dia, para que a concentração seja reduzida a 16 
indivíduos por litro.
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77 (Vunesp) Em uma experiência para se obter cloreto 
de sódio (sal de cozinha), coloca-se num recipiente 
certa quantidade de água do mar e expõe-se o reci-
piente a uma fonte de calor para que a água evapore 
lentamente. A experiência termina quando toda a 
água se evapora. Em cada instante t, a quantidade 
de água existente no recipiente (em litro) é dada 
pela expressão:
 Q(t) 5 log 10k
 _____ 
t 1 1
 
 sendo k uma constante positiva e t em hora.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água 
no recipiente, determine a constante k.
b) Ao fim de quanto tempo a experiência termi-
nará?
78 A pressão p do vapor-d’água no interior de uma 
panela de pressão, em newton por centímetro 
quadrado (N/cm2), varia em função da temperatu-
ra t, em grau Celsius (wC), de acordo com a função 
f (t) 5 7 3 (1,04)t 2 90, quando t varia de 90 wC a 130 wC, 
conforme mostra o gráfico:
 Conhecendo os valores log 219 5 2,34 e log 104 5 2,02, 
concluímos que, quando a pressão interna do vapor-
 -d’água é 15,33 N/cm2, a temperatura no interior da 
panela é igual a:
a) 110 wC c) 108 wC e) 106 wC
b) 109 wC d) 107 wC
t
f
P
k
7,00
90 130
15,33
33,61
80 Estudando o decaimento radioativo de duas amos-
tras de substância, A e B, um cientista concluiu que 
os tempos f (x) e g(x), em século, necessários para 
que cada uma delas perca x gramas de sua massa, 
respectivamente, são dados por:
 f (x) 5 log0,99 
12 2 x _______ 
12
 e g(x) 5 1 __ 
2
 3 log0,99 
8 2 x ______ 
8
 
 (Adote (0,99)8 5 0,92.)
a) Em quanto tempo a substância A perde 0,12 g de 
sua massa?
b) Em quatro séculos, que quantidade de massa a 
substância B terá perdido?
c) Para que quantidade x de massa perdida tem-se 
f (x) 5 g(x)?
81 (UFPA) As populações A e B de duas cidades são de-
terminadas em milhar de habitantes pelas funções: 
A(t) 5 log4 (2 1 t)5 e B(t) 5 log2 (2t 1 4)2, nas quais a 
variável t representa o tempo em ano. Essas cidades 
terão o mesmo número de habitantes no ano t, que 
é igual a:
a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
c) 10
82 (UFV-MG) A fim de medir a magnitude de um terre-
moto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno 
Gutenberg desenvolveram a escala Richter em 1935. 
Nesta escala, o maior terremoto já registrado foi o 
Grande Terremoto do Chile, em 1960, atingindo a 
magnitude de 9,5, seguido do ocorrido na Indonésia, 
em 2004, que atingiu a magnitude de 9,3. Na escala 
Richter, a magnitude M é dada por:
 M 5 log A 2 log A0
 onde log denota logaritmo decimal, A é a amplitude 
máxima medida pelo sismógrafo e A0 é uma ampli-
tude de referência padrão. Sabe-se também que a 
energia E, em ergs (1 erg 5 1027 joules), liberada em 
um terremoto está relacionada à sua magnitude M 
por meio da expressão
 log E 5 11,8 1 1,5M
 A partir das informações acima, faça o que se pede:
a) Sabendo que no litoral do Brasil, em 1955, foi 
registrado um terremoto de magnitude 6,3 na es-
cala Richter, determine a razão entre as energias 
liberadas nos terremotos ocorridos na Indonésia 
e no Brasil.
b) Considerando A1 a amplitude máxima de um ter-
remoto e E1 sua energia, e A2 a amplitude máxima 
de outro terremoto e E2 sua energia, determine k 
tal que
 
A2 ___ 
A1
 5 @ E2 ___ 
E1
 # k .
79 (UFRN) Suponha que, numa colônia de fungos, a mas-
sa biológica de sua população, no instante t (hora), 
denotada por m(t), seja dada pela expressão:
 m(t) 5 2t
 ____ 
1011
 gramas (considere log 2 5 0,3)
 Deacordo com o ritmo de crescimento populacional 
estabelecido por essa expressão, a massa da popu-
lação de fungos, em 50 horas, é da ordem de:
a) 100 g b) 10 g c) 10.000 g d) 1.000 g
83 (Unicamp-SP) Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado 
à taxa anual de 8%, com juros capitalizados anual-
mente. Considerando que não foram feitas novas 
aplicações ou retiradas, encontre:
a) o capital acumulado após 2 anos;
b) o número inteiro mínimo de anos necessários 
para que o capital acumulado seja maior que o 
dobro do capital inicial.
 (Se necessário, use log 2 5 0,301 e log 3 5 0,477.)
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AnáLiSe dA reSoLUção
85 Suponha que a população humana era de 6 bilhões 
de habitantes no final do ano 2000. Sabendo que a 
estimativa do crescimento populacional é de 1,6% 
ao ano, calcule o primeiro ano N em que a população 
ultrapassará 7 bilhões de habitantes. (Utilize uma 
calculadora científica para efetuar os cálculos.)
1 No plano cartesiano abaixo, estão representados os 
gráficos de duas funções, f e g, de domínio [22, 5] e 
contradomínio V.
4 Determine o domínio da função f (x) 5 dlllllll
 2x 2 1 _______ 
x 2 3
 .
 Determine os valores de x, com x 9 [22, 5], tal que:
a) f (x) 5 0 d) f (x) . g(x)
b) f (x) . 0 e) f (x) 3 g(x) , 0
c) f (x) < 0 f ) 
f (x)
 ____ 
g(x)
 . 0
2 O gráfico abaixo representa a função y 5 ax 1 b, com 
{a, b} - V.
 Determine os valores de a e b.
3 Construa o gráfico das funções:
a) f (x) 5 Ox2 2 2xO
b) g(x) 5 2 1 Ox 2 3O
c) h(x) 5 3x 1 O2x 2 6O
d) t(x) 5 Ox 2 4O 1 O2 2 xO
EXERCÍCIOS dE REvISãO CumulatIva
Ao concluir o estudo deste capítulo, resolva 
estes exercícios, que envolvem alguns assuntos 
estudados nos capítulos anteriores.
y
g
f
x3
�1
�2 4 5
�
4
3
y
x
4
�2
atletas ao final de cada competição de corrida, já 
que cada atleta apresenta um nível particular de 
comprometimento físico. Para diminuir as dispari-
dades, o comitê impôs um cálculo para determinar 
o desempenho final de cada atleta, ajustando o 
tempo gasto por ele na prova de acordo com sua 
deficiência. Considere que uma comissão de espe-
cialistas atribuiu a cada atleta um valor x, de acordo 
com o grau de deficiência dele, e que, a partir desse 
 valor, determinou o fator de correção f (x) 5 1 ________ 
1 1 9e2x
 .
 Assim, nas provas de corrida, para o atleta ao qual 
foi associado o valor x, o tempo ti gasto por ele foi 
corrigido, e obteve-se o tempo final tf pela fórmula 
t f 5 t i 3 f (x).
 Com base nessas informações e supondo que x varie 
no intervalo ]0; `[, julgue os itens que se seguem.
a) f (x) > 1 ___ 
10
 para todo x . 0.
b) Existem valores de x para os quais f (x) é superior 
a 1,1.
c) Suponha que a comissão de especialistas atribuiu 
ao corredor A o valor x 5 1, e ao corredor B, x 5 3. 
Nessa situação, o tempo final do corredor B será 
menor que o do corredor A sempre que o tempo 
gasto por B for inferior ao tempo gasto pelo cor-
redor A.
 (Nota: e é o número de Neper, isto é, e 5 2,7182... .)
84 (FGV) Um instituto de pesquisa publicou os dados 
abaixo, referentes ao número de usuários da inter-
net (por 10 mil habitantes) no ano de 2008.
 Especialistas avaliam que, a partir de 2008, o número 
de usuários por 10 mil habitantes crescerá à taxa de 
10% ao ano no país B e de 20% ao ano no país A.
 Baseado nessa estimativa, calcule o número mínimo 
de anos completos para que o número de usuários 
(por 10.000 habitantes) do país A supere o do país 
B. (Use as aproximações: log 2 5 0,3; log 3 5 0,48; 
log 11 5 1,04; sendo log k o logaritmo de k na 
base 10.)
País
Internet (2008): usuários 
por 10 mil habitantes
A 284,5
B 728,32
86 (UnB-DF) Um dos grandes desafios para o comitê 
organizador das Paraolimpíadas foi classificar os 
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