ATIVIDADES Grandezas

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Grandezas proporcionais e não-proporcionais 
Grandezas proporcionais 
1. Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas proporcionais. 
No quadro a seguir, relacionamos a medida do lado de um quadrado e o 
respectivo perímetro. 
 
Observe que, quanto maior a medida do lado do quadrado, maior o seu perímetro. E 
esse aumento é proporcional, pois, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, seu 
perímetro também dobrará. Ao triplicarmos a medida do lado, o perímetro também 
triplicará. 
2. Um automóvel e um ônibus farão uma viagem entre São Paulo (SP) e Valparaíso 
(SP), distantes 560 km. A velocidade média permitida para o automóvel é de 100 km/h. 
Já o ônibus precisa transitar desenvolvendo uma velocidade média de 80 km/h. 
Sabendo que o automóvel leva 5,6 h para percorrer essa distância, considerando sua 
velocidade constante, calcule quanto tempo a mesma distância será percorrida pelo 
ônibus (também com velocidade constante). 
Construindo um quadro que relaciona as duas informações, temos: 
 
Observe que o produto entre a velocidade e o tempo gasto, em ambos os casos, é igual a 
560. Conforme a velocidade média aumenta, o tempo gasto no percurso se 
reduz, proporcionalmente. 
3. Para asfaltar certa região retangular, de 25 m por 60 m, usamos 2 340 L de betume. 
Qual volume de betume é necessário para asfaltarmos outra região retangular, de 80 m 
por 60 m? 
Para resolver essa situação, vamos construir um quadro, relacionando a área a 
ser asfaltada e a quantidade de betume necessário. 
ESCOLA MUNICIPAL: E.M.M.A 
 
PROFESSOR(A): JÚNIOR 
 
ÁREA DO CONHECIMENTO: MATEMÁTICA TURMA: 8º A e B 
 
HABILIDADE ESTRUTURANTE: 
(EF08MA12; EF08MA13) DÉCIMA SEMANA 4º Bimestre 
 
 
 
Observe que uma das dimensões do terreno se manteve. 
A outra dimensão aumentou 3,2 vezes (80 : 25 = 3,2). 
Assim, o volume de betume necessário também deverá aumentar em 3,2 vezes. 
Dessa maneira, 2 340 x 3,2 = 7 488. 
O volume necessário de betume será de 7 488 L. 
Grandezas não proporcionais 
Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas, mas não de forma 
proporcional. 
1. Considere o lado de um quadrado, medido em centímetros (cm), e sua área, medida em 
centímetros quadrados (cm²). 
 
 
Vamos organizar esses dados em um quadro. 
 
Percebemos que, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, sua área quadruplicará. 
Da mesma maneira, triplicando a medida do lado, a área ficará multiplicada por 9. 
Assim, podemos concluir que a medida do lado de um quadrado e de sua área não são 
grandezas proporcionais. Observe: 
 
2. A escala de temperatura Fahrenheit é muito utilizada nos países de língua inglesa. Para 
converter uma temperatura, medida em graus Celsius (°C) para graus Fahrenheit (°F) é 
preciso multiplicar a temperatura em °C por 1,8 e somar 32. Observe o quadro a seguir. 
Assim, 10 °C correspondem a 50 °F e 20 °C, a 68 °F. 
As duas escalas termométricas não são proporcionais, pois, ao dobrarmos a temperatura 
em graus Celsius, isso não se repetirá na escala Fahrenheit. 
Representação gráfica 
As situações que apresentam grandezas proporcionais podem ser representadas por meio 
de gráficos. 
Acompanhe as situações a seguir. 
1. Considere um automóvel que, partindo de uma situação de repouso, começa a se 
deslocar 6 metros a cada 5 segundos. Observe no quadro a seguir os dados desse 
deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, em todos os pontos, o deslocamento é igual a 1,2 vezes o tempo, pois 
 
Considerando o deslocamento como y e o tempo, como x, matematicamente, temos: y = 
1,2 ? x. 
Observe que os pontos estão alinhados, o que nos permite traçar uma semirreta, 
começando pela origem do sistema cartesiano. 
 
2. Uma costureira está fazendo a tabela de preço dos vestidos que vai produzir. Ela sabe 
que o preço de 1 metro de cetim custa R$ 17,90. Decidiu fazer um quadro com valores 
para saber o quanto vai gastar, dependendo da quantidade de cetim que precisará 
comprar, depois representou em um gráfico. Observe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a representação gráfica, ela consegue perceber, se precisar de 2,5 m de tecido, por 
exemplo, vai por volta de R$ 45,00. 
QPodemos dizer que o valor gasto depende da quantidade de metros. Assim, se 
chamarmos o valor gasto em reais de y e a quantidade de cetim em metros, de x, temos: y 
= 17,9 ? x. 
Com essa expressão, podemos calcular que para 2,5 metros de cetim essa costureira 
pagará 
R$ 44,75. 
 
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Exercícios: grandezas diretamente proporcionais 
O que são grandezas? 
- É tudo o que podemos medir ou contar! 
São exemplos de grandezas : o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a 
capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. 
Mas e razão, quem se lembra o que é? 
- É uma comparação que fazemos entre duas grandezas, uma fração! 
A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum 
relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente 
difundido na população pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". 
Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores 
das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de 
constante de proporcionalidade. 
http://www.profmarcovargas.com.br/2012/03/propriedade-fundamental-das-proporcoes.html
Constante de proporcionalidade 
Genericamente, podemos dizer que a constante para grandezas diretamente proporcionais 
é dada por x/y = C, onde x e y são grandezas e C é a constante. 
Exemplo: 
 
 
Segundo uma receita para fazermos biscoitos, serão necessários 2 ovos para fazermos 10 
biscoitos; para fazermos 20 biscoitos serão necessários 4 ovos; para fazermos 30 biscoitos 
serão necessários 6 ovos. Observe se duplicarmos o número ovos, duplicaremos o número 
de biscoitos; se triplicarmos o número de ovos triplicaremos, o número de biscoitos, 
dizemos então que o número de biscoitos é diretamente proporcional ao número de ovos, 
assim também o número de ovos são diretamente proporcionais ao número de biscoitos. 
 
Ainda observe que se dividirmos o número de biscoitos pelo número de ovos, a essa razão 
chamaremos de constante de proporcionalidade. 
Assim: 10/2 = 5; 20/4 = 5 ; 30/6 = 5, ou seja a constante de proporcionalidade entre o 
número de biscoitos e o número de ovos é 5, ou seja: x/y = C 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma 
razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas 
partes iguais a outra também é divida à metade. 
Exemplo: Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. 
Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. 
1. Dada a seguinte receita: 
Bolo de laranja 
1. Ingredientes 
• 3 xícaras de farinha de trigo 
• 2 xícaras de açúcar 
• 4 ovos 
• 1 xícara de suco de laranja 
• 1 colher de sopa de fermento em pó 
Se quisermos aumentar ou diminuir a receita, devemos usar quantidades de ingredientes 
proporcionais às da receita original para que o bolo dê certo. Dizemos que qualquer 
ingrediente é diretamente proporcional a cada um dos outros. Se um dobra, o outro deve 
dobrar. Se um cai pela metade, o outro deve cair pela metade e assim por diante. 
 
 
Dobrando a quantidade de um dos ingredientes, todas as outras quantidades também 
devem dobrar. As grandezas são, duas a duas, diretamente proporcionais. 
• E se você tivesse 7 ovos na geladeira e quisesse usá-los no bolo? Como adaptar a 
receita de 4 para 7 ovos? 
Basta usar a proporcionalidade e a propriedade das proporções. Acompanhe. 
Há proporcionalidade direta entre a quantidade de farinha e a de ovos. 
 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 4x = 3 . 7 -> x= 5,25 
Como 0,25 = ¼ , são necessárias 5 1/4 xícaras de farinha de trigo para 7 ovos. 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 4x = 14 = 3,5. Portantosão necessários 3 1/2 xícaras de 
açúcar para 7 ovos. 
 
4x = 7 = 1,75. Como 0,75 = 3/4, devemos usar 1 3/4 de xícara de suco de laranja para 7 
ovos. 
 
Observe que a proporção entre o fermento e os ovos é a mesma que entre o suco e os 
ovos. 
Então, deve-se usar 3 1⁄4 (três inteiros e um quarto) de colher de sopa de fermento. 
 
 
 
2. Classifique as grandezas apresentadas nas situações a seguir em Proporcionais (P) ou 
em Não Proporcionais (NP). 
A medida do lado de um hexágono regular e seu perímetro. P : sim, pois perímetro é a 
soma das medidas dos lados de qualquer figura geométrica. 
 
A quantidade de cestas convertidas em uma partida de basquetebol e o tempo de jogo. 
NP: não altera o tempo de jogo. 
 
A temperatura e a hora em que foi medida ao longo de um dia. NP: A temperatura pode 
oscilar ao longo do dia. 
 
A distância percorrida por um automóvel, a uma velocidade constante, e o tempo do 
percurso. P: Sendo a velocidade constante, a distância também pode aumentar. 
 
A medida da aresta de um cubo e seu volume, em litros. NP: Não porque o volume 
depende também, da medida de outras dimensões. 
 
3. Uma livraria decidiu fazer uma liquidação com alguns livros. 
Ao chegar lá, é possível ler o anúncio: “2 livros por R$ 19,00”; “5 livros por R$ 38,00”. 
Os preços são proporcionais ao número de livros comprados? Justifique sua resposta. 
- Não, pois R$ 38,00 seriam o preço correspondente a 4 livros. 
4. Maurício foi a uma quitanda e viu que três alcachofras custavam R$ 11,70. 
Decidiu comprar 8. Quanto ele pagou no total? R$ 31,20 
3 ---> 11,70 
8 ----> x 
3x = 8 . 11,70 
3x = 93,6 
x = 31,20, as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
5. Observe o gráfico a seguir: 
 
Analisando as informações presentes no gráfico, responda: 
a) Qual o preço de 2 kg de café? R$ 58,16 
b) Qual o valor pago por 5,5 kg de café? 
Um quilo custa: 29,08 
1/2 kg, custa: 14,54 
5 kg: 145,40 + 14,54 = 159,94 custarão 5,5 kg de café. 
 
 
Exercício 12 (Variação de duas grandezas: diretamente, inversamente, ou não 
proporcionais) 
Habilidade BNCC EF08MA12 
As seguintes relações: 
● A quantidade de tecido para produzir camisas e o número de camisas produzidas. 
● O tempo para um trem se deslocar entre duas cidades e a velocidade deste trem. 
● A área de um quadrado e o comprimento de seus lados. 
 
Representam grandezas, respectivamente: 
Diretamente, inversamente e não proporcionais. 
Diretamente, Diretamente e inversamente proporcionais. 
Inversamente, diretamente e não proporcionais. 
Inversamente, não proporcionais e diretamente proporcionais. 
 
Exercício 13 (Cálculo com grandezas diretas ou inversas) 
Habilidade BNCC EF08MA13 
 
Em uma receita de bolo estão indicadas as seguintes quantidades dos ingredientes: 
 
● 9 xícaras de farinha de trigo; 
● 3 ovos; 
● 600 ml leite; 
● 6 colheres de sopa de açúcar; 
● 3 colheres de chá de fermento. 
 
A senhora Eleonora ao fazer um bolo no domingo à tarde, verificou ter pouco trigo, apenas 
3 xícaras e, para adaptar a receita irá utilizar 
 
1 ovo, 200 ml de leite, 2 colheres de sopa de açúcar e 1 colher de chá de fermento. 
1 ovo, 300 ml de leite, 2 colheres de sopa de açúcar e 3 colher de chá de fermento. 
1 ovo, 200 ml de leite, 2 colheres de sopa de açúcar e 3 colher de chá de fermento. 
1 ovo, 600 ml de leite, 4 colheres de sopa de açúcar e 1 colher de chá de fermento. 
Questão 1- Em uma determinada prova, um candidato que acertou 12 questões recebeu um 
total de 39 pontos. Sabendo que o valor das questões é sempre o mesmo, um candidato 
que obteve 52 pontos acertou um total de: 
 
A) 15 questões 
 
B) 16 questões 
 
C) 17 questões 
 
D) 18 questões 
 
E) 20 questões 
 
Questão 2- Os ângulos de um triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6, então, a 
medida do seu menor ângulo é de: 
 
A) 12º 
 
B) 36º 
 
C) 48º 
 
D) 60º 
E) 72º 
 
Questão 3- Uma herança de R$ 3.000.000 será dividida de forma diretamente proporcional 
entre as idades dos três herdeiros. Sabendo que eles possuem 24, 28 e 44 anos, o 
herdeiro de maior idade receberá um total de: 
 
A) R$ 950.000 
 
B) R$ 975.000 
 
C) R$ 1.225.000 
 
D) R$ 1.375.000 
 
E) R$ 1.625.000 
 
Questão 4- Um automóvel percorreu 272 km e consumiu um total de 32 litros de etanol. 
Supondo que esse consumo se mantenha o mesmo, e que o tanque do carro tem 
capacidade máxima de 50 litros, então, a quantidade de quilômetros que esse automóvel 
percorre quando está de tanque cheio é igual a: 
 
A) 280 km 
 
B) 298 km 
 
C) 350 km 
 
D) 375 km 
 
E) 425 km 
 
Questão 5- Das situações a seguir, marque aquela que contém uma relação entre duas 
grandezas diretamente proporcionais: 
 
A) Velocidade de um automóvel e o tempo que ele demora para fazer determinado 
percurso. 
 
B) Tempo de funcionamento de um aparelho eletrônico e a energia consumida. 
 
C) Quantidade de funcionários para executar um serviço e o número de acidentes de 
trabalho ocorridos. 
 
D) Número de eleitores e a quantidade de votos obtidos por um determinado candidato. 
 
Questão 6- (Enem 2012) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários 
brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por 
período de uso dos jogos. 
 
Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para 
trocar por produtos nas lojas dos parques. 
Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma 
bicicleta custa 9200 tíquetes. 
 
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com 
créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é 
 
A) 153. 
 
B) 460. 
 
C) 1218. 
 
D) 1380. 
 
E) 3066. 
 
Questão 7- Para a produção de 15 litros de etanol, são necessários 187,5 kg de cana-de-
açúcar. Com um total de 250 kg de cana-de-açúcar, é possível produzir um total de: 
 
A) 18 L 
 
B) 20 L 
 
C) 22 L 
 
D) 25 L 
 
E) 30 L 
 
Questão 8- (OMNI) Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou calculado, porém 
quando analisamos duas grandezas proporcionais, elas podem ser diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais. Sabendo disso, analise as alternativas abaixo 
e marque a opção CORRETA. 
 
A) Distância e tempo são grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior a 
distância que precisa ser percorrida, menos tempo será gasto no percurso. 
 
B) Velocidade e quantidade de alimento comprado por uma família são grandezas 
diretamente proporcionais. 
 
C) Em um churrasco, a quantidade de carne e a quantidade de pessoas são grandezas 
diretamente proporcionais. 
 
D) Velocidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior a 
velocidade, menor o tempo gasto em um percurso. 
 
Questão 9- Na bula de um remédio para crianças, a dosagem recebida é diretamente 
proporcional ao peso da criança. Sabendo que são recomendadas 3 gotas do 
medicamento a cada 2 kg, então, a dosagem oferecida para uma criança que tem 18 kg é 
de: 
 
A) 22 gotas 
 
B) 24 gotas 
 
C) 27 gotas 
 
D) 30 gotas 
 
E) 54 gotas 
 
Questão 10- Em uma fábrica de luvas, uma certa máquina, funcionando 5 horas por dia, 
consegue fabricar um total de 14.000 luvas. Devido a um pedido de emergência de produção 
para atender a demanda da pandemia, a fábrica realizou uma produção de 33.600 luvas. O 
tempo de funcionamento dessa máquina para realizar essa produção é de: 
 
A) 8 horas 
 
B) 9 horas 
 
C) 10 horas 
 
D) 11 horas 
 
E) 12 horas 
 
Questão 11- (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m² em 3 horas de 
trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²? 
 
A) 4 horas 
 
B) 5 horas 
 
C) 7 horas 
 
D) 9 horas 
 
Questão 12- Os ângulos de um quadrilátero são diretamente proporcionais aos números 2, 
3, 4 e 7. Então, a medida do menor ângulo desse quadrilátero é igual a: 
 
A) 45º 
 
B) 75º 
 
C) 90º 
 
D) 180º 
E) 35º 
 
Respostas 
 
Questão 1 
Alternativa B 
 
Sabemos quea pontuação é diretamente proporcional à quantidade de pontos, então, temos 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
Alternativa C 
 
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 
sempre igual a 180º, e que 4 + 5 + 6 =15, então, 15 está para 180º, 
assim como 4 está para o menor ângulo: 
 
 
Questão 3 
Alternativa D 
 
Ao realizar a soma das idades, temos que 24 + 28 + 44 = 96, então, 96 está para 3.000.000, 
assim como 44 está para x, em que x é a herança recebida pelo herdeiro de maior idade: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-angulos-internos-um-triangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao.htm
 
 
Questão 4 
Alternativa E 
 
Sabemos que o consumo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Seja x a 
quantidade de quilômetros que o veículo faz com 50 litros, então, temos que: 
 
 
Questão 5 
Alternativa B 
 
O tempo de funcionamento de um aparelho é diretamente proporcional à energia consumida, 
pois quanto maior o tempo de funcionamento, maior será o consumo, e sabemos que esse 
aumento será de forma proporcional. 
 
Questão 6 
Alternativa D 
 
Montando a proporção, temos que: 
 
 
Agora basta multiplicar por R$ 3: 
 
460 · 3 = 1380 
 
Questão 7 
Alternativa B 
 
Seja x a quantidade de litros produzidos por 280 kg, montando a proporção, temos que: 
 
 
Questão 8 
Alternativa C 
 
Sabemos que quanto maior a quantidade de pessoas, maior deve ser a quantidade de 
carne, e esse aumento é de forma proporcional. 
 
Questão 9 
Alternativa C 
 
Sabemos que são gastas 3 gotas para cada 2 kg, então, de forma proporcional, se a criança 
tem 18 kg, basta dividir seu peso por 2, e multiplicar por 3, ou seja, 18 : 2 = 9 e 9 · 3 = 27 
gotas. 
 
Questão 10 
Alternativa E 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao.htm
De forma proporcional, sabemos que 5 está para 14.000, assim como x está para 33.600. 
 
 
Questão 11 
Alternativa C 
 
Montando a proporção, temos que: 
 
 
Questão 12 
Alternativa A 
 
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º. 
Realizando a soma dos números 2 + 3 + 4 + 7 = 16, então sabemos que 16 está para 360º 
assim como 2 está para o menor ângulo, representado por x. Montando a proporção, temos 
que: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/quadrilateros.htm
 
 
 
Questão 1- Dona Lúcia usa 3 colheres de pó de café para fazer 8 cafezinhos Quantas 
colheres de pó de café dona Lúcia deverá usar para fazer 48 cafezinhos ? 
a) 6 colheres de pó de café. 
b) 9 colheres de pó de café. 
c) 12 colheres de pó de café. 
d) 18 colheres de pó de café. 
4. Observe as imagens abaixo e depois responda à questão: 
 
As figuras acima podem ser consideradas como unidades de medidas de 
a) grandeza. 
b) razão. 
c) proporção. 
d) tempo. 
 
 
Questão 2. Um gráfica de jornal faz a impressão de uma tiragem de 100 folhas em 2 
minutos. Quantos minutos a gráfica gastará se fizer uma impressão de 700 folhas? 
a) 10 minutos. 
b) 14 minutos. 
c) 15 minutos. 
d) 12 minutos. 
Questão 3- Para realizar uma construção de uma calçada de 8 metros de comprimento, 
um pedreiro trabalhou 5 dias. Quantos dias ele trabalharia se a calçada tivesse 48 
metros de comprimento? 
a) 30 dias. 
b) 24 dias. 
c) 22 dias. 
d) 20 dias. 
 
 
Questão 4- Numa viagem de 50 km, o automóvel de Ricardo consumiu 5L de gasolina. 
Nas próximas férias, ele fará uma viagem de 80 Km com sua família. Quantos litros 
de gasolina o automóvel deverá consumir? 
a) 6 litros. 
b) 7 litros. 
c) 8 litros. 
d) 9 litros. 
 
 
 
Questão 5- Um fotógrafo recebeu um pedido de uma cliente que deseja aumentar uma 
foto de 3 cm de largura e 4 cm de comprimento em 32 centímetros de de 
comprimento. Qual será o valor da largura desta foto pedida? 
a) 12 centímetros de largura. 
b) 24 centímetros de largura. 
c) 26 centímetros de largura. 
d) 28 centímetros de largura. 
 
 
Questão 6- Odete possui 1 depósito que cabe 20 litros de água. E sua caixa-d'água 
suporta até 400 litros de água. De quantos depósitos de 20 litros Odete precisará 
para encher completamente sua caixa de água? 
a) 10 depósitos. 
b) 15 depósitos. 
c) 20 depósitos. 
d) 40 depósitos. 
 
 
Questão 7- O carro do meu avô gastou 2 horas para andar 52 Km. Se o mesmo carro 
continuar a viagem na mesma velocidade, quantos quilômetros ele percorrerá nas 
próximas 6 horas? 
a) 104 quilômetros. 
b) 154 quilômetros. 
c) 156 quilômetros. 
d) 256 quilômetros