06_esperanca_matematica

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Estatística Aplicada à Economia
Esperança Matemática
Carlos Alberto Gonçalves Junior
Variável Aleatória e sua Distribuição
Dizemos que a variável discreta é aleatória se a cada um de seus possíveis valores se associa uma probabilidade P(X). O conjunto dos valores da variável e das respectivas probabilidades, isto é, o conjunto dos valores de Xi e P(Xi) é a distribuição de X.
É claro que: 
Exemplo: O resultado do lançamento de um dado é uma variável aleatória cuja distribuição está representada por:
Distribuição uniforme
Variável Aleatória e sua Distribuição
Se a variável aleatória é contínua, a probabilidade de obtermos exatamente um determinado valor, ao acaso, é zero: P(X = X0) = 0
Para caracterizar a distribuição, definimos a função densidade f(X), de tal maneira que:
Isto é, a probabilidade de X assumir um valor dentro do intervalo (a, b) é numericamente igual à área compreendida entre a função de densidade e o eixo das abscissas nesse intervalo.
O valor de f(X) também é denominado densidade de probabilidade.
É claro que:
Definição de Esperança Matemática
Seja X uma variável discreta que assume os valores X1, X2, ..., Xn com probabilidades P(X1), P(X2), P(Xn), respectivamente. Por definição a esperança matemática de X é:
A esperança matemática também é denominada valor médio, ou valor esperado.
Exemplo: Seja X a variável aleatória correspondente ao lançamento de um dado. Obtemos E(X) = 3,5. Isso significa que em um grande número de jogadas, espera-se uma média de pontos igual a 3,5.
Definição de Esperança Matemática
Se X é uma variável contínua com função de densidade f(X), a esperança matemática de X é:
Distribuição conjunta e variáveis independentes
Vejamos inicialmente a distribuição conjunta de duas variáveis discretas;
Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas que assumem os valores X1, X2,..., Xn e Y1, Y2,..., Yn . Seja P(Xi, Yj) a probabilidade associada ao par Xi, Yj . Então, o conjunto dos pares de valores Xi, Yj e das respectivas probabilidades P(Xi, Yj) constitui a distribuição conjunta de X e Y.
Devemos ter:
De acordo com o teorema da soma temos que:
Para i = 1, ..., n. Essas são as probabilidades da distribuição marginal de X.
Distribuição conjunta e variáveis independentes
As probabilidades para a distribuição marginal de Y são:
Para j = 1, 2, ..., n.
Fixado o valor Y = Yh, o conjunto de valores de Xi e de
Constitui a distribuição condicional de X dado Y = Yh
Analogamente, fixado X = Xh, o conjunto de valores de Yj e de
Constitui a distribuição condicional de Y dado X = Xh
Distribuição conjunta e variáveis independentes
Se as variáveis X e Y são independentes, a probabilidade associada ao par Xi, Yj é igual ao produto das probabilidades marginais de Xi e de Yj, isto é,
Se as variáveis são independentes, as distribuições condicionais são iguais à correspondente distribuição marginal, 
Isto é, a probabilidade condicional P(Yj|X = Xh) é a mesma que P(Yj) pois a ocorrência de Xh não altera a probabilidade de Yj.
Distribuição conjunta e variáveis independentes
Para exemplificar, consideremos um tetraedro regular feito de material homogêneo em cujas faces estão marcados os números 0, 2, 4, 6. Ao lançar esse tetraedro, considera-se que o resultado, indicado por X é o valor marcado na face do tetraedro que fica em contato com a mesa. 
Lançando esse tetraedro sucessivamente, geramos uma população infinita. 
A cada um dos quatro possíveis valores de X está associada a probabilidade ¼.
Distribuição conjunta e variáveis independentes
Consideremos agora que temos dois desses tetraedros, um azul e outro branco, e que esses tetraedros são lançados simultaneamente ou um após o outro. Sejam X e Y os resultados relativos aos tetraedros azul e branco, respectivamente. Obviamente, as variáveis X e Y são independentes.
Distribuição conjunta e variáveis dependentes
Admitamos agora que temos um tetraedro azul como o descrito e quatro tetraedros brancos, denominados B1, B2, B3 e B4, diferentes quanto aos números marcados em suas faces, que são:
Suponhamos que lançamos o tetraedro azul e que X foi o resultado obtido
Distribuição conjunta e variáveis dependentes
Suponhamos ainda que devemos, então, lançar um dos tetraedros brancos, de acordo com a seguinte regra: B1 se X = 0; B2 se X = 2; B3 se X = 4 e B4 se X =6. Seja Y o resultado obtido desse segundo lançamento. É claro que X e Y não são independentes.
Imaginando que o resultado de X = 2, Sabemos que P(X = 2) = ¼. 
Com esse resultado lança-se o tetraedro B2, dados os números marcados nas faces desse tetraedro, P(Y = 2 , X = 2) = 1/4 . 2/4 = 2/16, conforme a tabela anterior.
Propriedades da Esperança Matemática
As propriedades apresentadas a seguir são válidas tanto para variáveis discretas como para variáveis contínuas.
Se K é uma constante:
Se K é uma constante:
Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer:
Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes:
Variância e Covariância
Por definição, a variância de uma variável aleatória X, de população infinita, é:
Algumas propriedades são:
Se K é uma constante:
Se K é uma constante:
Para confirmar essas propriedades, consideremos a população infinita gerada quando se lança um tetraedro regular, feito de material homogêneo, em cujas faces estão marcados os valores (0, 2, 4, 6). A distribuição dessa variável aleatória está na Tabela a seguir:
 
Variância e Covariância
Calcule a variância;
Se os valores da variável forem todos acrescidos de 10, passando a ser 10, 12, 14 e 16, a variância continua sendo igual a 5 (confirmando a primeira propriedade);
Se os valores da variável forem todos divididos por 2 (multiplicados por 0,5) passando a ser 0, 1, 2, 3 a variância será multiplicada por 0,52 (confirmando a segunda propriedade). Nova variância 5/4.
Variância e Covariância
Se é a variância da distribuição marginal de X e é a variância da distribuição marginal de Y, a correlação entre X e Y é: 
O conceito de correlação será pormenorizadamente analisado posteriormente.
Para entender o conceito de covariância, primeiro vamos entender mais uma propriedade da variância:
Variância e Covariância
Demonstraremos a seguir que, sendo X e Y duas variáveis aleatórias:
Temos que
Então:
Utilizando a propriedade da esperança em que 
Covariância de variáveis independentes
Exemplo:
Covariância de variáveis independentes
Colocando os resultados na equação:
Pode-se constatar que 
Devemos frisar que, embora cov(X,Y) = 0 sempre que as variáveis aleatórias são independentes, o inverso não é verdadeiro, isto é, se cov(X,Y) = 0, não podemos concluir que X e Y são independentes.
Entretanto, é possível demonstrar que, se as variáveis têm distribuição normal, o fato de a covariância ser igual a zero é condição suficiente para afirmar que são independentes.
Covariância de variáveis dependentes
Vejamos um exemplo de duas variáveis com covariância não-nula. No lançamento de um de nossos tetraedros, seja X o valor marcado na face que fica em contato com a mesa e W a soma dos valores marcados nas outras três faces
Como exercício o leitor pode constatar que
V(W-X)=20
Também resolver um exemplo prático de economia
Momentos
Momentos são medidas descritivas de uma série de dados que ajudam a determinar outras medidas descritivas desta série. Conforme a potência considerada tem-se o grau e a ordem do momento.
Dada a distribuição de uma variável aleatória X, por definição, o momento de ordem k em relação à origem é
O primeiro momento em relação à origem é a média de X, isto é:
Por definição, o momento de ordem k em relação à média de X é:
Momentos
O primeiro momento em relação à média é a esperança do desvio de X em relação à sua média, que é zero
O segundo momento em relação à média é a variância de X:
O terceiro momento em relação à média está relacionado com a assimetria dadistribuição. Uma distribuição é simétrica se 
Nas distribuições simétricas, o terceiro momento em relação à média é sempre igual a zero. Nas distribuições assimétricas à direita, o terceiro momento em relação à média é positivo, e nas distribuições assimétricas à esquerda é negativo.
Momentos
Vejamos como exemplo as três distribuições apresentadas na tabela:
Momentos
As distribuições da Tabela anterior podem ser representadas nos gráficos:
É fácil verificar que, para as três distribuições, a média é igual a zero, e a variância igual a 1,20. Entretanto, os terceiros momentos em relação à média são diferentes, pois as distribuições diferem quanto à assimetria. M3 de A é zero, M3 de B é 0,9 e M3 de C é -0,90
Momentos
O coeficiente de assimetria é definido por
Ele dá uma medida adimensional da assimetria. Para as distribuições A, B e C, dadas na tabela anterior, esse coeficiente assume os valores zero, 0,685 e -0,685, respectivamente.
Vimos na seção anterior que a média, a mediana e a moda de uma distribuição de frequências unimodal têm suas posições relativas relacionadas com a assimetria da distribuição.
Momentos
Em uma distribuição discreta, a moda é o valor da variável aleatória associado com a maior probabilidade.
A mediana de uma variável aleatória com distribuição discreta e com os valores ordenados de forma crescente é D = Xn tal que:
Para os valores das distribuições A, B e C na tabela anterior, a mediana é sempre igual a zero, e as modas são zero, -1 e 1 respectivamente
Momentos
Se a variável aleatória é contínua, com função de densidade f(x), a moda é o valor (M) que maximiza f(X) e a mediana é o valor D, tal que
Uma distribuição pode não ter moda, como a distribuição uniforme, por exemplo; pode ter uma moda (unimodal), duas modas (bimodal) um mais (multimodal).
Nas distribuições unimodais simétricas, temos . Tipicamente, temos em distribuições unimodais positivamente assimétricas e em distribuições unimodais negativamente assimétricas.
Momentos
O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson é
Para as distribuições A, B e C da tabela anterior, os valores desse coeficiente são zero, 0,913 e -0,913, respectivamente.
O segundo coeficiente de assimetria de Pearson é
Os dois coeficientes de assimetria de Pearson terão valores semelhantes para essas distribuições
Momentos
O quarto momento em relação à media está relacionado com a curtose da distribuição. Esse momento será exemplificando através da tabela
As distribuições D e E têm media zero, variância igual a 1,4 e terceiro momento em relação à média igual a zero, uma vez que ambas são simétricas.
Momentos
Entretanto, como essas distribuições diferem quanto à curtose, os valores do quarto momento em relação à média são diferentes. Assim para a distribuição D, que é leptocúrtica, M4 = 9,8, e para a distribuição E, que é platicúrtica, M4 = 4,28
No caso da distribuição D:
E para o caso da distribuição E:
Interpretação do coeficiente: >3 leptocurtica; <3 platicurtica; =3 mesocurtica. (a normal é mesocurtica)
Momentos
Separatrizes
Quando vimos que a função de distribuição de uma variável contínua X é:
Se o valor de F(X) é fixado em 0,5, o correspondente valor de X é a mediana da distribuição
Se o valor de F(X) for fixado, sucessivamente em 0,25; 0,5; 0,75, os correspondentes valores de X são, respectivamente, o 1º quartil, o 2ºquartil e o 3º quartil. Os 3 quartis dividem a distribuição em 4 partes.
Se F(X) for fixado, sucessivamente, em 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 os valores são os 9 decis que dividem a distribuição em 10 partes.
Separatrizes
Para o caso das variáveis discretas, o cálculo do quartil pode ser feito da seguinte maneira. Com os dados em ordem crescente.
Em que i é o percentual de dados à esquerda do quartil que se quer calcular; n é o número de observações
Coeficiente de variação
Dada uma variável aleatória com média e variância o coeficiente de variação da distribuição é, por definição, igual a .
O coeficiente de variação é um número adimensional e, portanto, seu valor independe da unidade de medida da variável analisada.
Isso é importante pelo fato de que desta forma variáveis diferentes podem ser comparadas no que diz respeito à dispersão.
EXERCÍCIOS
6.1, 6.2, 6.3, 6.6, 6.9, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14
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