Aula 5 - DecFuncoes e Laguerre - REMOTA

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Zero de Funções - Aulas remotas
27.03.2020
Prof. João Paulo
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AGENDA
Zero de Funções
• Métodos Gráficos para Localização de 
Raízes
i. Gráfico de f(x) através da análise 
matemática
ii. Decomposição em funções g(x)=h(x)
• Método de Laguerre
Decomposição em Funções
• Na análise gráfica da função f(x) podemos utilizar um 
dos seguintes processos:
1. Esboçar o gráfico da função f(x) e localizar as abcissas 
dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
2. A partir da equação f(x) = 0, obter a equação 
equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) 
e localizar os pontos x onde as duas curvas se 
interceptam
f(�) = 0 <=> g(�) = h(�)
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Decomposição em Funções
• Exemplo 1: � � = �. ��� − �
• Exemplo 2: � � = �� − �� + �
• Exemplo 3: � � = � − ����
Exemplo 1
� � = �. ��� − �
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Exemplo 1
���������� � ����ç� �� ��á����, �������:
Logo a raíz estará 
no intervalo: [2;3] ;
Que é onde as duas 
curvas se 
interceptam.
Exemplo 1
���������� � ����ç� �� ��á���� �� ��������, �����:
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Exemplo 2
• � � = �� − �� + �
• � � = 0 ⇒ � � = � �
• �� − �� + � = �
• �� = �� − �
• � � = �� e � � = �� − �
Exemplo 3
(apenas observando a Tabela Auxiliar)
• � � = � − ����
• � � = � e � � = ����
g(x) < h(x)
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Exemplo 3
• Exemplo: � � = � − ����
• � � = � e � � = ����
g(x) < h(x)
Exemplo 3
• Exemplo: � � = � − ����
• � � = � e � � = ����
g(x) < h(x)
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Exemplo 3
• Exemplo: � � = � − ����
• � � = � e � � = ����
g(x) > h(x)
Curvas se 
interceptam no 
intervalo [1,2] !
Método de Laguerre
• Na análise gráfica da função f(x) podemos utilizar um 
dos seguintes processos:
1. Esboçar o gráfico da função f(x) e localizar as abcissas 
dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
2. A partir da equação f(x) = 0, obter a equação 
equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) 
e localizar os pontos x onde as duas curvas se 
interceptam
f(�) = 0 <=> g(�) = h(�)
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Método de Laguerre
• E se o polinômio for de grau elevado onde o gráfico não 
seja de simples elaboração?
• Usaremos o Método de Laguerre.
• Delimita um intervalo que contém todas as raízes reais 
através da utilização do dispositivo de Briot-Ruffini
repetidas vezes (a=1, 2, 3, ...) até que todos os 
coeficientes da divisão polinomial sejam positivos, 
encontrando o Limite Superior (LS = a).
Método de Laguerre
• Após encontrar o LS, deve-se aplicar novamente o dispositivo 
de Briot-Ruffini em um polinômio modificado para encontrar o 
LI.
• Polinômio Modificado (n é o grau do Polinômio original):
 Se n é ímpar, usar -Pn(-x);
 Se n é par usar Pn(-x)
Após a utilização do dispositivo no Polinômio modificado deve-
se considerar como o limite inferior, LI =-a, ou seja apenas 
trocar o sinal do valor de a.
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Método de Laguerre
• Após a definição do intervalo que contém 
todas as raízes reais [LI, LS], deve-se delimitar 
o intervalo que contenha raízes reais únicas. 
• Para localizar estes intervalos de raízes únicas 
basta aplicar o Teorema de Bolzano já 
utilizado anteriormente.
Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0.
 1º passo: Encontrar LS (Limite Superior)
 Devemos dividir Pn(x) por (x-a) através do Dispositivo 
de Briot-Ruffini (DBR), com a=1,2,3,... Até que todos os 
coeficientes dos quocientes sejam positivos.
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Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0. (PASSO 1)
 1º passo:
Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0.
 1º passo: Observamos que quando a=4, os coeficientes do 
quociente são todos positivos, logo LS=4.
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Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0.
 2º passo: Encontrar LI (Limite Inferior).
 Sendo P(x) de grau ímpar (n=5) então devemos aplicar 
o Dispositivo de Briot-Ruffini (DBR) no seguinte 
polinômio modificado –Pn(-x). 
 Logo, como Pn(x) = x5-3x4+x2-x-15, teremos que:
 -Pn(-x) = - [(-x)5-3(-x)4+(-x)2-(-x)-15] = - [-x5-3x4+x2+x-15]
 -Pn(-x) = x5+3x4-x2-x+15
Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0.
 2º passo: Encontrar LI (Limite Inferior).
 Aplicando o DBR no Polinômio Modificado, temos:
Como todos os coeficientes são positivos, logo encontramos o 
LI, bastando apenas trocar o sinal,
Logo, LI = -1. 
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Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0.
 3º passo: Localizar o intervalo da raiz:
 Aplicando o Teorema de Bolzano no intervalo [LI,LS], temos:
P(-1) = -17 (< 0)
P(0) = -15 (< 0)
P(1) = -17 (< 0)
P(2) = -29 (< 0)
P(3) = -9 (< 0)
P(4) = 253 (>0)
Portanto temos ao
menos uma raíz entre 
3 e 4.
Exemplos
• Exemplo 1: Determinar o intervalo que contém todas as raízes 
reais e os intervalos de raízes reais únicas da seguinte 
equação: x5-3x4+x2-x-15=0.
 3º passo: Localizar o intervalo da raiz:
 Verificando se a raiz é única no intervalo, temos que analisar 
o sinal dos pontos na derivada, logo:
 P’(x) = 5x4-12x3+2x-1
P’(3) = 86 (> 0)
P’(4) = 519 (>0)
Portanto, temos uma raíz única no 
intervalo [3;4] e as demais raízes
são complexas.
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Exercícios
• Ex.1: � � = �� + ��� + ��� + � − �
• Ex.2: � � = �� − ��� + �
• Ex.3: � � = �� + ��� −7
• Ex.4*: � � = �� − ��� − ��� + ��� + ��
Dúvidas e Sugestões 
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Referências
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