Introdução À Mecânica Das Estruturas(EMC109)-Exemplo 01 Utilizando Integral

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EXEMPLO 01: Para a viga hiperestática abaixo, calcular o valor das reações de apoio 
utilizando o método das forças. Observe que no diagrama de corpo livre, a viga 
apresenta um eixo de simetria. 
Para resolver uma viga hiperestática pelo método das forças, é realizada a superposição 
de soluções isostáticas, criando-se, desta forma, um estrutura isostática auxiliar através 
da estrutura original, eliminando alguns vínculos necessários. 
 
 
1ª etapa: eliminar apoios “excedentes” e transformar a estrutura de hiperestática para 
isostática. 
Neste caso, eliminaremos o apoio interno para manter a simetria. 
 
2ª etapa: criar viga adicional, com carga unitária em substituição à reação de apoio 
eliminada. 
 
3ª etapa: desenvolver as equações referentes aos diagramas de momento fletor para 
as vigas de configuração (0) e (1). 
Configuração (0); x=0 em A; 
 
 
Configuração (0) 
Configuração (1) 
Configuração (0) 
Obs: VA = VB (simetria) 
VA + VB - 20 – 20 = 0 
VA + VB = 40 
Logo, VA = VB = 20 
 
Equações de momento por trecho: 
De A até C (0 ≤ x ≤ 2) 
𝑀(0 ≤ x ≤ 2)(0) = 20 ∗ 𝑥 
De C até E (2 ≤ x ≤ 4) 
𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(0) = 20 ∗ 𝑥 − (20 ∗ (𝑋 − 2)) 
𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(0) = 20𝑥 − 20𝑥 + 40 
𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(0) = 40 
De E até D (4 ≤ x ≤ 6) 
𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(0) = 20 ∗ 𝑥 − (20 ∗ (𝑋 − 2)) 
𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(0) = 40 
De D até B (6 ≤ x ≤ 8) 
𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(0) = 20 ∗ 𝑥 − (20 ∗ (𝑋 − 2)) − (20 ∗ (𝑋 − 6)) 
𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(0) = 20𝑥 − 20𝑥 + 40 − 20𝑥 + 120 
𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(0) = −20𝑥 + 160 
 
Configuração (1); x=0 em A; 
 
Obs: VA = VB (simetria) 
VA + VB + 1 = 0 
VA + VB = -1 
Logo, VA = VB = -0,5 
 
Equações de momento por trecho: 
De A até C (0 ≤ x ≤ 2) 
𝑀(0 ≤ x ≤ 2)(1) = −0,5 ∗ 𝑥 
De C até E (2 ≤ x ≤ 4) 
𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(1) = −0,5 ∗ 𝑥 
De E até D (4 ≤ x ≤ 6) 
𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(1) = −0,5 ∗ 𝑥 + 1(𝑥 − 4) 
𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(1) = −0,5 ∗ 𝑥 + 𝑥 − 4 
𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(1) = +0,5𝑥 − 4 
De D até B (6 ≤ x ≤ 8) 
𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(1) = −0,5 ∗ 𝑥 + 1(𝑥 − 4) 
𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(1) = +0,5𝑥 − 4 
 
4ª etapa: realizar combinação entre as equações de momento fletor referente às 
configurações (0) e (1), utilizando integrais. 
Combinações: 
(I) 𝑀(0 ≤ x ≤ 2)(0) 𝑒 𝑀(0 ≤ x ≤ 2)(1) = (20𝑥) ∗( −0,5 ∗ 𝑥) 
(I) 𝑀(0 ≤ x ≤ 2)(0) 𝑒 𝑀(0 ≤ x ≤ 2)(1) = −10𝑥² 
 
(II) 𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(0) 𝑒 𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(1) = (40) ∗ (−0,5 ∗ 𝑥) 
(II) 𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(0) 𝑒 𝑀(2 ≤ x ≤ 4)(1) = −20𝑥 
 
(III) 𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(0) 𝑒 𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(1) = (40) ∗ (0,5𝑥 − 4) 
(III) 𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(0) 𝑒 𝑀(4 ≤ x ≤ 6)(1) = 20𝑥 − 160 
 
(IV) 𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(0) 𝑒 𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(1) = (−20𝑥 + 160) ∗ (0,5𝑥 − 4) 
(IV) 𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(0) 𝑒 𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(1) = −10𝑥2 + 80𝑥 + 80𝑥 − 640 
(IV) 𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(0) 𝑒 𝑀(6 ≤ x ≤ 8)(1) = −10𝑥2 + 160𝑥 − 640 
 
𝛿01 =
1
𝐸𝐼
∫(𝐼) + (𝐼𝐼) + (𝐼𝐼𝐼) + (𝐼𝑉) 
𝛿01 =
1
𝐸𝐼
(∫ −10𝑥22
0
𝑑𝑥 + ∫ −20𝑥
4
2
𝑑𝑥 + ∫ 20𝑥 − 160
6
4
𝑑𝑥 + ∫ −10𝑥2 + 160𝑥 − 640
8
6
𝑑𝑥) 
𝛿01 =
1
𝐸𝐼
(−
10𝑥3
3
) + (−
20𝑥2
2
) + (
20𝑥2
2
− 160𝑥) + (−
10𝑥3
3
+
160𝑥2
2
− 640𝑥) 
 
𝛿01 =
1
𝐸𝐼
∗ (−26,667 − 120 − 120 − 26,667) 
𝛿01 = −
293,333
𝐸𝐼
 
0 
2 
2 
4 
4 
6 
6 
8 
Verifique que, como a viga é simétrica, você poderá realizar os cálculos para metade 
da viga (0 ≤ x ≤ 4) e multiplicar o resultado por dois. 
 
5ª etapa: Realizar combinação entre as equações de momento fletor referente às 
configurações (1) e (1), utilizando integrais (neste caso faremos até a metade da viga e 
multiplicaremos por 2x). 
𝑀(0 ≤ x ≤ 4)(1) = ( −0,5 ∗ 𝑥) 
(I) 𝑀(0 ≤ x ≤ 4)(1) 𝑒 𝑀(0 ≤ x ≤ 4)(1) = ( −0,5𝑥) ∗ ( −0,5𝑥) 
(I) 𝑀(0 ≤ x ≤ 4)(1) 𝑒 𝑀(0 ≤ x ≤ 4)(1) = 0,25𝑥² 
𝛿11 = 2𝑥
1
𝐸𝐼
∫ 0,25𝑥²𝑑𝑥 
𝛿11 = 2𝑥
1
𝐸𝐼
∗
0,25𝑥3
3
 
𝛿11 =
10,667
𝐸𝐼
 
 
6ª etapa: reestabelecer as condições impostas: 
𝛿10 + 𝛿11𝑥 = 0 
−
293,333
𝐸𝐼
+
10,667
𝐸𝐼
𝑥 = 0 
Logo: x = 27,5 kN 
 
7ª etapa: 
Redesenhar a viga, considerando a reação de apoio calculada: 
 
Obs: VA = VB (simetria) 
VA + VB + 27,5 - 20 - 20 = 0 
VA + VB = 12,5 
Logo, VA = VB = 6,25 kN 
0 
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