Lista de exerci-cios_Funcoes Vetoriais_I

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Cálculo II
Professor: Je�erson Abrantes
Lista de Exercícios para a Terceira Avaliação
1. Nos itens a) e b) a seguir encontre uma equação em x e y cujo grá�co
seja a trajetória da partícula de posição r(t). Em seguida, encontre os
vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.
Nos intens c) e d) encontre os vetores velocidade e aceleração da par-
tícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva em
questão.
a) r(t) =
t
t+ 1
i+
1
t
j, t = −1
2
;
b) r(t) = (cos(2t))i+ (3 sin(2t))j, t = 0;
c) Movimento sobre o círculo x2 + y2 = 16
r(t) =
(
4 cos(
t
2
)
)
i+
(
4 sin(
t
2
)
)
j, t = π e
3π
2
;
d) Movimento sobre a parabola y = x2 + 2
r(t) = ti+ (t2 + 1)j, t = −1, 0 e 1.
2. Seja r(t) a posição de uma partícula no espaço no instante t. Determine
os vetores velocidade e a aceleração da partícula, encontre o módulo
da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor deter-
minado de t. E por �m escreva a velocidade da partícula no instante
determinado como o produto de sua velocidade e versor nos seguintes
itens
a) r(t) = (1 + t)i+
t2√
2
j+
t3
3
k, t = 1;
b) r(t) = (sec(t))i+ tan(t)j+
4
3
tk, t =
π
6
;
c) r(t) = (e−t)i+ (2 cos(3t))j+ (2 sin(3t))k, t = 0.
1
3. Determine o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração asso-
ciado a função posição r(t) no instante t = 0.
a) r(t) =
(√
2
2
t
)
i+
(√
2
2
t− 16t2
)
j;
b) r(t) =
4
9
√
(1 + t)3i+
4
9
√
(1− t)3j+
1
3
tk.
4. Mostre que a função a valores vetoriais
r = (2i+2j+k)+cos(t)
(
1√
2
i− 1√
2
j
)
+sin(t)
(
1√
3
i+
1√
3
j+
1√
3
k
)
descreve o movimento de uma partícula que se move no círculo de raio
1 centrado no ponto (2, 2, 1) e permanece no plano x+ y − 2z = 2.
5. Uma partícula se move no plano xy, de tal forma que sua posição no
instante t seja
r(t) = (t− sin(t))i+ (1− cos(t))j.
Encontre os valores máximo e mínima de |v| e |a|. (Dica: encontre
primeiro os valores extremos de |v|2 e |a|2 e depois tire as raizes qua-
dradas.)
6. Suponha que r1(t) = f1(t)i+ f2(t)j+ f3(t)k e r3(t) = g1(t)i+ g2(t)j+
g3(t)k e que alem disso lim
t−→t0
r1(t) = A e lim
t−→t0
r2(t) = B. Utilize a
fórmula do determinate para produtos vetorias e a regra do produto de
limites de funções reais para veri�car que
lim
t−→t0
r1 × r2 = A×B.
7. Prove que, se u é a função vetorial com valor constante C, então
du
dt
=
0.
Bons Estudos!
2