Gabaritos, lista 12-1-12-Flattened (1)

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LISTA DE EXERCÍCIOS - COORDENADAS
POLARES
Gabarito/Resolução
Questão 1 Para resolver a questão como um todo, podemos pensar na rep-
resentação gráfica de um ponto P arbitrário em coordenadas polares (r, θ):
• r representa a distância do ponto à origem do plano cartesiano, positiva
no mesmo quadrante do ângulo;
• θ representa o ângulo que a reta que passa pelo ponto P e pela origem
O faz com o eixo polar (nesse caso, o eixo das abscissas) positivo se
medido no sentido anti-horário.
Assim sendo, podemos representar um mesmo ponto P de diversas formas
diferentes quanto quisermos, aproveitando das propriedades representadas
abaixo:
Figure 1: Maneiras diferentes de se representar o mesmo ponto P.
Vale ressaltar que os casos b) e c) são gerais, em outras palavras:
I) A condição (b) é válida para todo múltiplo ı́mpar de π acrescido ao ângulo
polar (inclusive valores negativos): (θ + (2k − 1)π) k ∈ Z;
II) A condição (c) é válida para todo múltiplo de 2π acrescido ao ângulo
polar (inclusive valores negativos): (θ + (2k)π) k ∈ Z.
Vamos fazer os casos para k = 1, que são aqueles presentes figuras:
• a) (1,π
2
) r = 1; θ = π/2
– r > 0 → (1, π/2 + 2π) = (1, 5π/2)
– r < 0 → (−(1), π/2 + π) = (−1, 3π/2)
1
• b) (−2,π
4
) r = −2; θ = π/4
– r > 0 → (−(−2), π/4 + π) = (2, 5π/4)
– r < 0 → (−2, π/4 + 2π) = (−2, 9π/4)
• c) (3,2) r = 3; θ = 2
– r > 0 → (3, 2 + 2π)
– r < 0 → (−3, 2 + π)
• d) (2,−π/7) r = 2; θ = −π/7
– r > 0 → (2,−π/7 + 2π) = (2, 13π/7)
– r < 0 → (−(2),−π/7 + π) = (−2, 6π/7)
Questão 2 Use x = rcos(θ) ; y = rsen(θ)
• a) (3, π/2)
x = rcos(θ) = 3cos(π/2) = 3 · 0 = 0
y = rsen(θ) = 3sen(π/2) = 3 · 1 = 3
• b) (2
√
2, 3π/4)
x = 2
√
2cos(3π/4) = 2
√
2 · (−
√
2/2) = −2
y = 2
√
2 · sen(3π/4) = 2
√
2 · (
√
2/2) = 2
• c) (−1, π/3)
x = (−1) · cos(π/3) = (−1) · (1/2) = −1/2
y = (−1)sen(π/3) = (−1) · (
√
3/2) = −
√
3/2
• d) (4, 3π)
x = 4cos(3π) = 4 · (−1) = −4
y = 4sen(3π) = 4 · (0) = 0
Questão 3
tg(θ) =
y
x
r2 = x2 + y2
Além de ter em mente essas relações, também é importante saber em qual
quadrante está o ponto para definir θ e r da maneira correta. O exerćıcio
também define que r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π.
2
• a) (1, 1)
r =
√
12 + 12 =
√
2
tg(θ) =
1
1
= 1
Como o ponto está no primeiro quadrante (x > 0, y > 0), a função
arctan entregará o ângulo θ:
θ = tan−1(1) = π/4
.
• b)
(2
√
3,−2)
r =
√
(2
√
3)2 + (−2)2 = 4
tg(θ) =
−2
2
√
3
= −
√
3
3
Como o ponto está no 4o quadrante (x > 0, y < 0), a função arctan
entregará o ângulo negativo associado a θ, para transformarmos em um
θ no intervalo pedido, basta somarmos 2π ao valor:
θ = tan−1(−
√
3
3
) + 2π = −π
6
+ 2π =
11π
6
• c) (−1,−
√
3)
(2
√
3,−2)
r =
√
(−1)2 + (−
√
3)2 = 2
tg(θ) =
−
√
3
−1
=
√
3
Como o ponto está no 3o quadrante(x < 0, y < 0), arctan entregará o
ângulo correspondente no primeiro quadrante, cuja tangente também é
igual a
√
3. Para encontrarmos o ângulo no terceiro quadrante, basta
somarmos π ao valor:
θ = tan−1
√
3 + π =
π
3
+ π =
4π
3
Questão 4
3
• a) Podemos calcular as coordenadas cartesianas dos pontos A(x1, y1) e
B(x2, y2):
x1 = r1cosθ1 = 1cos(π/6) =
√
3/2
y1 = r1senθ1 = 1senπ/6 = 1/2
x2 = r2cosθ2 = 3cos(3π/4) = −3
√
2/2
y2 = r2senθ2 = 3sen(3π/4) = 3
√
2/2
E em seguida vamos utilizar que a distância entre dois pontos é o
módulo do vetor que liga os dois:
−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1)→ |
−→
AB| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Com isso:
D =
√
(−3
√
2/2−
√
3/2)2 + (3
√
2/2− 1/2)2
D =
√
1/4((18 + 6
√
6 + 3) + (18− 6
√
2 + 1))
D =
√
(40− 6
√
2 + 6
√
6)
2
• b) Uma forma alternativa e mais geral de se calcular a distância en-
tre dois pontos dados em coordenadas polares é utilizando a lei dos
cossenos. Observe o triângulo abaixo:
4
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo 4AOB temos:
D2 = r21 + r22 − 2r1r2cos(θ2 − θ1)
Mas, como cosseno é uma função par, também podemos escrever:
D2 = r21 + r22 − 2r1r2cos(θ1 − θ2)
E, portanto:
D =
√
r21 + r22 − 2r1r2cos(θ1 − θ2) =
√
r21 + r22 − 2r1r2cos(θ2 − θ1)
Questão 5
• a) Sabemos que r2 = x2 + y2, portanto:
x2 + y2 = 22
Que descreve a circunferência de raio 2 centrada na origem;
• b) Sabemos que x = rcos(θ), portanto:
x = rcos(θ) = 1
Que descreve uma reta vertical em x = 1.
• c) Multiplicando ambos os lados por r teremos:
r2 = 2rsen(θ) + 2rcos(θ)
Podemos substituir x = rcosθ e y = rsenθ na expressão acima:
r2 = 2x+ 2y
Mas r2 = x2 + y2 logo:
x2 + y2 = 2x+ 2y → (x2 − 2x) + (y2 − 2y) = 0
Completando quadrados:
(x− 1)2 − 1 + (y − 1)2 − 1 = 0
Por fim, chegamos em:
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 2
Que é a expressão para a circunferência de raio
√
2 e centrada no
ponto(1, 1)
5
• d) Reescrevendo:
r = tan θ
1
cos θ
→ r cos θ = tan θ
Mas x = r cos θ e tan θ = y
x
, logo:
x =
y
x
→ y = x2
Que representa a parábola côncava para cima com vértice na origem.
Questão 6
• a) Podemos escrever:
x = r cos θ = 3
Logo:
r =
3
cos θ
= 3 sec θ
• b) Podemos escrever:
x2 + y2 = r2 = 9
Extraindo a raiz de ambos os lados:
r = ±3
• c) Podemos usar x = r cos θ e y = r sin θ para escrever:
r cos θ + r sin θ = 9
Isolando o r, teremos, por fim:
r(cos θ + sin θ) = 9
r =
9
cos θ + sin θ
• d) Usando novamente x = r cos θ e y = sin θ, podemos escrever:
r2 cos2 θ − r2 sin2 θ = 1
Colocando o r em evidência, temos:
r2(cos2 θ − sin2 θ) = 1
Mas, utilizando a soma de arcos para o cosseno, podemos escrever
cos2 θ − sin2 θ = cos 2θ. Logo:
r2 cos 2θ = 1→ r2 =
1
cos 2θ
= sec 2θ
6
Questão 7 Um bom atalho, e que pode tornar mais rápido o traçado curvas
polares é ter em mente as relações de simetria. Além disso, também pode ser
útil marcar alguns pontos amostrais, por exemplo, alguns pontos em que θ é
um ângulo notável, para conferir se o traçado está correto.
• a) O enunciado é uma equação do segundo grau em r cujas ráızes são
r = 1 e r = 2, portanto, a curva será composta simplesmente por dois
ćırculos com centro na origem e raio igual a 1 e 2, respectivamente:
• b) É a circunferência de raio 1 com centro em (0, 1):
7
• c) É uma cardióide simétrica em relação ao eixo polar:
• d) É uma espiral! (A calculadora gráfica plota apenas para o intervalo
finito 0 ≤ θ ≤ θMAX , mas se teta não estiver limitado, esta espiral
seguirá espiralando ad infinitum.)
• e) É uma rosácea de 3 pétalas simétrica com relação ao eixo polar.
8
• f) Podemos escrever
r2 =
1
θ
→ r = ±
√
1
θ
O que facilita o traçado manual. θ não pode ser um número negativo
( θ ≥ 0). Perceba que se trata de uma curva com um comportamento
espiral. Vamos fazer análise começando de um θ muito grande:
lim
θ→∞
√
1
θ
= 0
Portanto a curva partirá da origem tanto positiva quanto negativa-
mente. O valor de r aumentará cada vez mais conforme sáımos do
infinito e nos aproximamos do zero de modo que:
lim
θ→0
+
√
1
θ
→ +∞
lim
θ→0
−
√
1
θ
→ −∞
Dessa forma, uma perna irá para infinito pelo lado positivo e outra pelo
lado negativo, ambas se aproximando da reta θ = 0. Com isso já temos
uma ideia do comportamento da curva.
9
Questão 8 Para resolver este exerćıcio podemos podemos fazer a análise de
alguns pontos particulares para identificar a curva correspondente à equação
polar dada, bem como poderemos, também, usar as relações de simetria.
• (1)-III
Em r = sin (θ/2) O que se percebe é que θ está confinado em uma
função seno, portanto o valor de r estará confinado no intervalo [−1, 1]
Com isso, descartamos as opções I, II, IV e VI. Sobrando apenas III
e V. Para decidir entre essas duas, podemos comparar os valores para
r quando passar sobre o eixo vertical, isto é quando θ = (2k + 1)π/2
k ∈ Z:
k = 0→ r(π/2) = sin
π
4
=
√
2
2
≈ 0.7
k = 1→ r(3π/2) = sin
3π
4
= −
√
2
2
≈ −0.7
Os demais ângulos (demais valores de k) apresentarão respostas semel-
hantes. O único gráfico que coincide com estes pontos é o III.
• (2)-V
Podemos realizar a mesma análise da alternativa anterior, argumen-
tando quecomo θ está confinado a uma função seno em r = sin (θ/4),
r deve estar no intervalo [−1, 1]. Para diferenciá-lo da alternativa III,
tomamos valores para r quando passar sobre o eixo vertical:
k = 0→ r(π/2) = sin
π
8
≈ 0.4
10
k = 1→ r(3π/2) = sin
3π
8
≈ 0.9
estes valores já são suficiente para escolher a alternativa V ao invés da
III.
• (3)-IV
Podemos escrever:
r =
1
cos 3θ
Sabemos que a função é simétrica com relação ao eixo polar, pois se
alterarmos θ por −θ a equação não é alterada, devido à propriedade par
da função cosseno, o que já descarta a opção I. Além disso, temos um
caso em que a função não é definida se cos 3θ = 0, em outras palavras
toda vez que o cosseno se aproximar do valor de 0, a equação polar irá
para infinito. Isto equivale dizer que a equação polar tem asśıntotas!
O que, de cara, já elimina as opções restantes. Mas, para ter certeza,
podemos calcular as candidatas a asśıntotas, pois correspondem aos
ângulos que fazem cos 3θ = 0:
3θ = π/2→ θ = π/6
3θ = 3π/2→ θ = π/2
3θ = 5π/2→ θ = 5π/6
Os ângulos tomados dáı para frente entregarão os mesmos resultados.
Portanto já identificamos as três asśıntotas da equação polar dada, elas
coincidem exatamente com o que aparece no gráfico IV.
• (4)-VI
Observe que, como aparece um θ multiplicando o seno, o r desta
equação não estará limitado. O que elimina os gráficos II, III e V. Além
disso, a equaçõ para r não apresenta nenhuma indefinição quanto aos
valores que podem ser assumidos por θ, portanto, não tem asśıntotas
e eliminamos a opção IV. Podemos encontrar a resposta desse item
analisando sua simetria. r é simétrica com relação ao eixo polar, pois:
r(−θ) = −θ sin−θ = −θ(− sin θ) = θ sin θ = r(θ)
Com isso, eliminamos a alternativa I. A única alternativa restante é a
VI.
11
• (5) - II
r é simétrica com relação ao eixo polar, pois:
r(−θ) = 1 + 4 cos−5θ = 1 + 4 cos 5θ = r(θ)
O que elimina a opção I. Como
−1 ≤ cos (5θ) ≤ 1
Então:
−3 ≤ 1 + 4 cos (5θ) ≤ 5
O que, por si só, elimina as demais opções.
• (6) - I
Este item é o único que temos de uma espiral. Observe que conforme
θ cresce de (0 → +∞) r irá fazer o caminho contrário, pois são in-
versamente proporcionais. Isto é, r vem do infinito quando θ = 0 e se
aproxima de 0 conforme θ →∞. Talvez esteja se perguntando o porquê
de o gráfico não tocar o 0. O fato é que o plot numérico limita um in-
tervalo fixo para θ, fazendo com que o valor de θ vá até um θMAX que,
numericamente, é menor que infinito. E portanto r estará desenhado
até r(θMAX).
Questão 9 Utilize a relação:
A =
∫ b
a
1
2
r2dθ
• a) r =
√
θ, 0 ≤ θ ≤ π/4
A =
∫ π/4
0
1
2
(
√
θ)2dθ =
1
2
∫ π/4
0
θdθ =
1
2
· θ
2
2
∣∣∣∣π/4
0
=
1
4
·
(
π2
42
)
=
π2
64
• b) r = eθ/2, π ≤ θ ≤ 2π
A =
∫ 2π
π
1
2
(eθ/2)2dθ =
1
2
∫ 2π
π
eθdθ =
1
2
· eθ
∣∣∣∣2π
π
=
e2π − eπ
2
12