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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
de São Paulo
Campus Campinas
Matemática
Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas
Profa. Dra. Cećılia Pereira de Andrade
Campinas, SP
2
CAPÍTULO 1
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu aluno e monitor, Fábio Flaitt Jr. pelo aux́ılio na confecção desta apostila.
3
Caṕıtulo 1. Agradecimentos
4
SUMÁRIO
1 Agradecimentos 3
2 Introdução 9
3 Conjuntos 11
3.0.1 Relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Conjuntos de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Operações em Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 União . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Complementar de B em A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.2 Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.3 Números fracionários ou racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.4 Números irracionais (decimais infinitos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.5 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.6 Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.7 Intervalos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5.8 Propriedades dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5.9 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5.10 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5
SUMÁRIO SUMÁRIO
3.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Introdução à Lógica Matemática 35
4.1 Proposições e conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Tabela verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Operações lógicas sobre proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Tabela verdade de uma proposição composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Valor lógico de uma proposição composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Uso de parênteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Implicação lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Equivalência lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7.1 Exerćıcio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.8 Sentenças abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.9 Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.11 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Funções 59
5.1 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Domı́nio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.2 Funções iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.3 Gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.4 Propriedades de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Funções do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.1 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.2 Função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3 Função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.4 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.5 Coeficientes e zero da função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.6 Funções crescentes e descrecentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4.7 Sinais de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5 Funções do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.1 Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.3 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6
SUMÁRIO SUMÁRIO
5.7.4 Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.7.5 Inequações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.9 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.10 Potências e ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.10.1 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.10.2 Ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.11 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.11.1 Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.11.2Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.12 Função logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.12.1 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.12.2 Função logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.12.3 Equações exponenciais e logaŕıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.12.4 Equações logaŕıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.12.5 Inequações exponenciais e logaŕıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.12.6 Inequações logaŕıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.13 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Matrizes, sistemas lineares e determinantes 101
6.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.2 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.3 Adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.4 Multiplicação de um escalar por uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.5 Produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.6 Matriz transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.7 Inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.1 Determinante de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2 Determinante de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.3 Determinante de 3a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Matriz inversa via matriz dos cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.1 Equação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.2 Sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4.3 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4.4 Sistema linear homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.5 Matrizes de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7
SUMÁRIO SUMÁRIO
6.4.6 Teorema de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.7 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.8 Escalonamento de sistemas (ou matrizes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Grafos 125
7.1 Introdução aos grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.1.1 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.1.2 Representaçao de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.3 Grau de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2 Subgrafos, caminhos e conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.1 Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.2 Subgrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3 Árvores e florestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3.1 Grafos Planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4 O Problema do Menor Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8
CAPÍTULO 2
INTRODUÇÃO
Esta apostila tem como objetivo suprir a ementa do curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas,
do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus Campinas, sendo baseada nas
bibliografias sugeridas.
No primeiro caṕıtulo abordaremos a Teoria de Conjuntos, apresentando as noções básicas e algumas operações.
No segundo caṕıtulo estudaremos uma Introdução à Lógica Matemática.
O terceiro caṕıtulo será sobre Funções, bem como suas representações e principais propriedades.
No quarto caṕıtulo apresentaremos Matrizes e Sistemas Lineares, mostrando definições e aplicações.
Por fim, o quinto caṕıtulo trará o conceito de Grafos e suas aplicações.
9
Caṕıtulo 2. Introdução
10
CAPÍTULO 3
CONJUNTOS
Intuitivamente, um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos. Normalmente todos os objetos em um con-
junto gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer ao conjunto!); qualquer objeto que contenha a
propriedade é um elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a propriedade não é um elemento.
Notação: Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos, letras minúsculas para denotarem elementos.
O śımbolo P indica que um elemento pertence ao conjunto. Portanto, a P A significa que a é um elemento, ou
membro, do conjunto A ( e lê-se a pertence a A) e b R A significa que o objeto b não é um elemento do conjunto A
(e lê-se b não pertence a A).
Utilizamos alguns recursos para descrever um conjunto e seus elementos: listamos(integral ou parcialmente) os
elementos do conjunto, usamos recursão para descrever como gerar o conjunto de elementos ou damos uma pro-
priedade caracteŕıstica dos elementos do conjunto. Quando enumeramos os elementos de um conjunto, devemos
indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.
Exemplos:
1. Conjunto das vogais: ta, e, i, o, uu.
2. Conjunto dos algarismos romanos: tI, V,X,L,C,D,Mu.
3. Conjunto dos nomes do meses de 31 dias: {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}.
4. Conjunto dos números ı́mpares: t1, 3, 5, 7, ...u.
5. 2 P S. Se n P S então n` 2 P S.
11
Caṕıtulo 3. Conjuntos
6. tx|x é inteiro e x ą 4u “ t5, 6, 7, ...u
Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não
importa. Além disso, cada elemento de um conjunto é listado apenas uma vez.
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.
Exemplos:
1. Conjunto das soluções da equação 3x` 1 “ 10: t3u.
2. Conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira como Uruguai: {Rio Grande do Sul }.
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. Notação: H ou tu.
Exemplos:
1. tx|x ‰ xu “ H.
2. tx|x é ı́mpar e múltiplo de 2u “ H.
Quando vamos desenvolver um certo assuntoem Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual
pertencem todos os elementos utilizados em tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
É conveniente dar nomes a alguns conjuntos-padrão a fim de referirmo-nos a eles mais facilmente. Usaremos:
N : conjunto de todos os inteiros não-negativos ou conjutno dos números naturais (perceba que 0 P N);
Z : conjunto de todos os inteiros;
Q : conjunto de todos os números racionais;
I : conjunto de todos os números irracionais;
R : conjunto de todos os números reais;
C : conjunto de todos os números complexos.
3.0.1 Relações entre conjuntos
1. Igualdade
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento
de B pertence a A. Em śımbolos, temos:
A “ B ô p@xqpx P Aô x P Bq
Exemplos:
a) ta, b, c, du “ tb, c, a, du.
12
Caṕıtulo 3. Conjuntos
b) tx|x é inteiro, positivo e ı́mparu “ t1, 3, 5, 7, ...u.
Observação: Se A não é igual a B escrevemos A ‰ B (lê-se A é diferente de B), ou seja, existe pelo menos
um elemento de A que não pertence a B ou vice-versa.
2. Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
Figura 3.1: Subconjunto
Fonte: elaborado pelo autor
Notações: Se A é subconjunto de B, temos:
• A Ă B e lê-se A é subconjunto de B ou A está contido em B ou A é parte de B.
• B Ą A e lê-se B contém A.
Observações:
• Com a notação A Ć B indicamos que A não está contido em B e A Č B indicamos que B não contém A.
• A é dito um subconjunto próprio de B.
Exemplo: Sejam A “ t1, 7, 9, 15u, B “ t7, 9u e C “ t7, 9, 15, 20u. Então as seguintes sentenças, dentre outras,
são verdadeiras:
• B Ă C;
• B Ă A;
• B Ă A;
• A Ć C;
Propriedades
Sendo A,B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:
13
3.1 Conjuntos de Conjuntos Caṕıtulo 3. Conjuntos
(a) H Ă A;
(b) A Ă A (Propriedade Reflexiva);
(c) pA Ă B e B Ă Aq ñ A “ B (Propriedade antissimétrica);
(d) pA Ă B e B Ă Cq ñ A Ă C (Propriedade transitiva).
3. Cardinalidade Cardinalidade é o número de elementos de cada conjunto. Um conjunto A é dito finito se
ele tem um número finito n P N de elementos e infinito se possui infinitos elementos. Neste caso, geralmente
usa-se reticências para descrever o conjunto.
Notações: |A| ou #A.
3.1 Conjuntos de Conjuntos
Dado um conjunto A, podemos criar um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos de A. Este
novo conjunto é chamado de conjunto das partes de A, PpAq. O conjunto PpAq conterá, pelo menos H e o próprio
A, uma vez que H Ă A e A Ă A são sempre verdade.
Exemplos:
1. Se A “ tau, os elementos de PpAq são: PpAq “ tH, tauu.
2. Se A “ ta, bu, os elementos de PpAq são: PpAq “ tH, tau, tbu, ta, buu.
Observação: Se A tem n elementos, então #PpAq “ 2n elementos.
3.2 Operações em Conjuntos
3.2.1 União
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou
a B.
AYB “ tx|x P A ou x P Bu
O conjunto AYB (lê-se “A união B”) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos
A e B. Notemos que x é elemento de AYB se ocorre ao menos uma das condições seguinte: x P A ou x P B.
Uma maneira de visualizar as operações é através dos diagramas de Venn, que é uma representação gráfica para
conjuntos usada para facilitar a visualização e a resolução de problemas envolvendo conjuntos.
Exemplos:
14
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.2 Operações em Conjuntos
1. ta, bu Y tc, du “ ta, b, c, du;
2. ta, bu Y ta, b, c, du “ ta, b, c, du;
3. ta, b, cu YH “ ta, b, cu.
Propriedades
Sendo A,B e C três conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1. AYA “ A (Idempotente);
2. AYH “ A (Elemento Neutro);
3. AYB “ B YA (Comutativa);
4. pAYBq Y C “ AY pB Y Cq (Associativa).
3.2.2 Interseção
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A
e a B.
AXB “ tx|x P A e x P Bu
O conjunto A X B (lê-se “A inter B”) é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B)
simultaneamente. Notemos que x é elemento de AXB se ocorre as duas condições seguintes: x P A e x P B.
Usando o diagrama de Venn, temos:
Exemplos:
1. ta, b, cu X tb, c, d, eu “ tb, cu;
2. ta, bu X ta, b, c, du “ ta, bu;
3. ta, b, cu XH “ H.
15
3.2 Operações em Conjuntos Caṕıtulo 3. Conjuntos
Propriedades
Sendo A,B e C conjuntos quaisquer e U o conjunto universo, valem as seguintes propriedades:
1. AXA “ A (Idempotente);
2. AX U “ A (Elemento Neutro);
3. AXB “ B XA (Comutativa);
4. pAXBq X C “ AX pB X Cq (Associativa).
Observação: Quando AXB “ H, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
Propriedades envolvendo união e interseção
Sendo A,B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam a união e a interseção
de conjuntos:
1. AY pAXBq “ A;
2. AX pAYBq “ A;
3. AY pB X Cq “ pAYBq X pAY Cq (Distributiva da união em relação à interseção);
4. AX pB Y Cq “ pAXBq Y pAX Cq (Distributiva da interseção em relação à união).
3.2.3 Diferença
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não
pertencem a B.
AzB “ A´B “ tx|x P A e x R Bu
Usando o diagrama de Venn, temos:
Exemplos:
1. ta, b, cuztb, c, d, eu “ tau;
2. ta, b, cuztb, cu “ tau;
3. ta, buzta, b, c, d, eu “ H.
16
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.3 Complementar de B em A
3.3 Complementar de B em A
Dados dois conjuntos A e B, tais que B Ă A, o conjunto AzB chama-se complementar de B em relação a A, isto
é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Notações: CBA ou B. Se estiver claro em relação a quem o complementar é calculado, pode-se usar as notações
BC ou B1.
Notemos que CBA só é definido para B Ă A e áı temos:
CBA “ A´B
Exemplos:
1. Se A “ ta, b, c, d, eu e B “ tc, d, eu, então: CBA “ ta, bu;
2. Se A “ ta, b, c, du “ B, então: CBA “ H;
3. Se A “ ta, b, c, du e B “ H, então: CBA “ ta, b, c, du “ A.
Propriedades
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:
1. CBA XB “ H e CBA YB “ A;
2. CAA “ H e CA “ A;
3. CApC
B
A q “ B (Complementar em relação a A do complementar de B em relação a A);
4. CBXCA “ CBA Y C
C
A ;
5. CBYCA “ CBA X C
C
A .
Observação: As duas últimas propriedades são conhecidas como Leis de De Morgan.
3.4 Produto Cartesiano
Existe uma última operação que definiremos com base nos elementos de PpAq. Sejam M e N subconjuntos de A.
O produto cartesiano (produto cruzado) de M e N , denotado por M ˆN , é definido por:
M ˆN “ tpx, yq|x PM e y P Nu
17
3.5 Conjuntos Numéricos Caṕıtulo 3. Conjuntos
Portanto, o produto cartesiano de dois conjuntos M e N é o conjunto de todos os pares ordenados cujas primeiras
coordenadas pertençam a M e as segundas pertençam a N .
Exemplo: Sejam M “ t1, 2u e N “ t3, 4u. Então:
M ˆN “ tp1, 3q, p1, 4q, p2, 3q, p2, 4qu e N ˆM “ tp3, 1q, p3, 2q, p4, 1q, p4, 2qu.
3.5 Conjuntos Numéricos
3.5.1 Números Naturais
O conjunto dos números naturais é de grande importância pelo seu uso na contagem.
Notação: N “ t0, 1, 2, . . .u.
Quando não se considera o elemento zero (0), a notação utilizada é N˚ “ Nzt0u “ t1, 2, 3, . . .u.
3.5.2 Números inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais acrescidos de seus
simétricos.
Notação: Z “ t. . . ,´2,´1, 0, 1, 2, . . .u.
Quando não se considera o elemento zero (0), a notação utilizada é Z˚ “ Zzt0u “ t1, 2, 3, . . .u.
Quando se considera somente o conjunto dos números não-negativos (que é equivalente ao conjunto dos números
naturais), a notação é Z` “ N.
Quando o elemento zero (0) não pertence ao conjunto dos números não-negativos, temos o conjunto dos inteiros
positivos e a notação é Z˚` “ N˚.
Quando se considera somenteo conjunto dos números inteiros não-positivos, a notação é Z´ “ t. . . ,´2,´1, 0u.
Quando o elemento zero (0) não pertence ao conjunto dos números não-positivos, temos o conjunto dos inteiros
negativos e a notação é Z˚´ “ N˚.
18
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.5 Conjuntos Numéricos
3.5.3 Números fracionários ou racionais
São todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração de números inteiros. Têm a representação
decimal finita ou periódica.
Notação: Q “ t
p
q
|p P Z e q P Z˚u.
Exemplos:
a) 2;
b) ´7;
c)
2
3
;
d) 0, 6;
e) 1, 37;
f) 0, 222 . . .;
g) 1, 5999 . . .;
h) 0, 212121 . . .;
i)
?
36.
3.5.4 Números irracionais (decimais infinitos)
São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica, consequentemente não podendo ser escritos
sob a forma de fração.
Notação: I.
Exemplos:
a) π “ 3, 14159265 . . .;
b)
?
2 “ 1, 4142135624 . . .;
c) exp “ 2, 718281828 . . . .
3.5.5 Números reais
R “ QY I, onde QX I “ H.
3.5.6 Números complexos
São os números que não são reais, isto é, as ráızes de números negativos.
Notação: C.
N Ă Z Ă Q Ă R Ă C.
19
3.5 Conjuntos Numéricos Caṕıtulo 3. Conjuntos
3.5.7 Intervalos Numéricos
Existe uma correspondência biuńıvoca (um a um) entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos da
reta numerada.
O conjunto de todos os números reais pode ser representado por uma reta horizontal, chamada eixo orientado.
Na reta real, os números estão ordenados. Um número a é menor que qualquer número x, colocado à sua direita e
maior que qualquer número y, colocado à sua esquerda.
3.5.8 Propriedades dos números reais
Propriedades de operações dos números reais, onde a, b, c, d P R.
1. a “ bô a˘ c “ b˘ c
2. a “ bô a.c “ b.c
3. a.b “ 0 ô a “ 0 ou b “ 0
4. a ă b e b ă cñ a ă c
5. a ă bô a˘ c ă b˘ c
6. a ă b e c ă dñ a` c ă b` c
7. a ă b e c ą 0 ñ a.c ă b.c
8. a ą 0 ñ
1
a
ą 0
9. a ă b e c ă 0 ñ a.c ą b.c
20
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.5 Conjuntos Numéricos
10. a.b ą 0 ô pa ą 0 e b ą 0q ou pa ă 0 e b ă 0q
11. a.b ă 0 ô pa ą 0 e b ă 0q ou pa ă 0 e b ą 0q
12. 0 ă b ă aô 0 ă
1
a
ă
1
b
3.5.9 Intervalos numéricos
São subconjuntos de R, determinados por desigualdades.
• Intervalo aberto de a a b, denotado por pa, bq, é o conjunto de todos os números reais, tais que a ă x ă b.
a b
• Intervalo fechado de a a b, denotado por ra, bs, é o conjunto de todos os números reais, tais que a ď x ď b.
a b
• Intervalo semi-aberto à esquerda de a a b, denotado por pa, bs, é o conjunto de todos os números reais, tais
que a ă x ď b.
a b
• Intervalo semi-aberto à direita de a a b, denotado por ra, bq, é o conjunto de todos os números reais, tais que
a ď x ă b.
a b
Outros intervalos:
a) R` “ r0,`8q “ r0,`8r
b) R˚` “ p0,`8q “s0,`8r
c) R´ “ p´8, 0s “s ´8, 0s
d) R˚´ “ p´8, 0q “s ´8, 0r
e) R “ p´8,`8q “s ´8,`8r
f) ra,`8q “ ra,`8r“ tx P R|x ě au
a
21
3.5 Conjuntos Numéricos Caṕıtulo 3. Conjuntos
g) p´8, as “s ´8, as “ tx P R|x ď au
a
h) pa,`8q “sa,`8r“ tx P R|x ą au
a
i) p´8, aq “s ´8, ar“ tx P R|x ă au
a
3.5.10 Desigualdades
Expressões do tipo a ă b, a ą b, a ď b, a ě b são chamadas desigualdades.
Propriedades:
• Se a ă b e b ă c, então a ă c.
• Se a ą b e b ą c, então a ą c.
• Se a ă b, então a` c ă b` c.
• Se a ą b, então a` c ą b` c.
• Se a ă b e c ă d, então a` c ă b` d.
• Se a ą b e c ą d, então a` c ą b` d.
• Se a ă b e c ą 0, então ac ă bc.
• Se a ą b e c ą 0, então ac ą bc.
• Se a ă b e c ą 0, então ac ą bc.
• Se a ą b e c ă 0, então ac ă bc.
• Se 0 ă a ă b e 0 ă c ă d, então ac ă bd.
• Se a ą b ą 0 e c ą d ą 0, então ac ą bd.
22
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.6 Exerćıcios
3.6 Exerćıcios
1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos:
a) tx|x é letra da palavra matemáticau;
b) tx|x é cor da bandeira brasileirau;
c) tx|x é nome de estado brasileiro que começa com a vogal “a”u.
2. Descreva por meio de uma propriedade caracteŕıstica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes:
a) A “ t0, 2, 4, 6, 8, . . .u;
b) B “ t0, 1, 2, . . . , 9u;
c) tBraśılia, Rio de Janeiro, Salvadoru.
3. Classifique os seguintes conjuntos em unitário, vazio ou nenhuma das opções.
a) tx|x ă 9
4 e x ą 6
5u;
b) tx|0.x “ 2u;
c) tx|x é inteiro e x2 “ 3u;
d) tx|2x` 1 “ 7u;
e) tx|0.x “ 0u;
f) tx|x ą 9
4 e x ă 6
5u;
g) tx|x é divisor de 0u;
h) tx|xé diviśıvel por 0u.
4. Dados A “ t1, 2, 3, 4u e B “ t2, 4u, escreva as seguintes sentenças com os śımbolos da teoria dos conjuntos e
classifique em falsas ou verdadeiras.
a) 3 é elemento de A;
b) 1 não está em B;
c) B é parte de A;
d) B é igual a A;
e) 4 pertence a B;
f) CBA .
5. Sendo A “ t1, 2u, B “ t2, 3u, C “ t1, 3, 4u e D “ t1, 2, 3, 4u, classifique em V ou F cada sentença, justificando.
23
3.6 Exerćıcios Caṕıtulo 3. Conjuntos
a) A Ă D;
b) A Ă B;
c) B Ă C;
d) D Ą B;
e) C “ D;
f) A Ć C;
g) ta, a, a, b, bu “ ta, bu;
h) tx|x2 “ 4u “ tx|x ‰ 0 e x3 ´ 4x “ 0u.
i) tx|2x` 7 “ 11u “ t2u;
j) tx|x ă 0 e x ě 0u “ H;
k) 0 P t0, 1, 2, 3, 4, 5u;
l) tau P ta, bu;
m) H P t0u;
n) 0 P H;
o) tau Ă H;
p) a P ta, tauu;
q) tau Ă ta, tauu;
r) H Ă tH, tauu;
s) H P tH, tauu;
t) ta, bu P ta, b, c, du.
6. Faça um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A,B,C e D são conjuntos não vazios, D Ă
C Ă B Ă A.
7. Construa o conjunto das partes do conjunto A “ ta, b, c, du.
8. Dados os conjuntos A “ ta, b, c, du, B “ tb, c, d, eu, C “ tc, e, fu, D “ ta, bu, E “ tc, eu determine AYB,AY
C,B Y C, AYB Y C, AXB,AX C,B X C, AXB X C, CDA , CEB , CEC .
9. Classifique em V ou F :
a) H Ă pAYBq;
b) pAYBq Ă A;
c) A Ą pAYBq;
d) pAYBq Ă pAYBq;
e) B Ă pAYBq;
f) pAYBq Ă pAYB Y Cq;
g) H Ă pAXBq;
h) A Ă pAXBq;
i) A P pAXBq;
j) pAXBq Ă pAXBq;
k) pAXBq Ă B;
l) pAXBq Ą pAXB X Cq;
m) pA´Bq Ą H;
n) pA´Bq Y pAXBq “ A;
o) pA´Bq Ă B;
p) pA´Bq Ă pAYBq.
10. Determine a união dos ćırculos de raio r, contidos num plano α e que têm um ponto comum 0 P α.
11. Determine a união das retas de um plano α que são paralelas a uma dada reta r de α.
12. Sendo A “ ta, b, c, du, B “ tc, d, e, f, gu e C “ tb, d, e, gu, determine.
24
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.6 Exerćıcios
a) A´B;
b) B ´A;
c) C ´B;
d) pAY Cq ´B;
e) A´ pB X Cq;
f) pAYBq ´ pAX Cq;
g) PpAq;
h) PpBq;
i) PpCq;
j) PpAYBq.
13. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as ĺınguas.
Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
14. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A,B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se
os resultados tabelados a seguir:
Forneça:
a) o número de pessoas consultadas;
b) o número de pessoas que só consomem a marca A;
c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C;
d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
15. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas
um dos jornais, 66 não lêem o jornal B. Determine o valor de n.
16. Em um levantamento com 100 vestibulandos do IFSP, verificou-se que o número de alunos que estudou para
as provas de Matemática, F́ısica e Português foi o seguinte: Matemática, 47; F́ısica, 32; Português, 21;
Matemática e F́ısica, 7; Matemática e Português, 5; F́ısica e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos
100 alunos inclúıdos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?
17. Dados dois conjuntos A e B, chama-se difereça simétrica de A com B o conjunto A∆B tal que:
A∆B “ pA´Bq Y pB ´Aq.
Determine ta, b, c, du∆tc, d, e, f, gu.
18. Coloque V ou F , justificando as falsas.
25
3.6 Exerćıcios Caṕıtulo 3. Conjuntos
a) ´7 P N;
b)
?
2 P Q;
c) 5 P Z;
d) ´8 P Q;
e)
?
9 P I;
f) 3π P R;
g) ´π P I;
h)
12
2
P Z;
i)
?
´7 P I;
j) 3
?
64 P N;
k) ´7 P Z;
l) π3 P Z
m) π3 P Q;
n) 0 P N;
o) 0 R N;
p) ´15 R Z;
q) N Ă Z`;
r) NX Z´ “ H;
s)
ˆ
2´
78
˙
R N;
t)
15
7
P QzZ;
u) ZX I “ H;
v) Q˚` X Z “ N;
x) t0u Ă Q.
19. Dados os intervalos A “ r´2, 2q, B “ p0,`8q e C “ p´8, 1s, determinar:
a) AXB;
b) AX C;
c) B X C;
d) AXB X C;
e) AYB;
f) AY C;
g) B Y C;
h) AYB Y C;
i) AzB;
j) AzC;
k) BzC.
20. Usando a notação de desigualdade, escreva as seuintes relações:
a) x está a direita de 15 na reta real;
b) y está entre p´3q e 8 na reta real;
c) z está situado à esquerda de p´5q na reta real;
d) w é um número positivo, situado à esquerda de 1 na reta real;
e) r é um número negativo, situado à direita de p´6q na reta real;
f) a é um número positivo;
g) b é um número negativo;
h) a é maior do que b;
26
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.6 Exerćıcios
i) b é menor do que c;
j) a está compreendido entre b e c, sendo b menor do que c;
k) a é um número não-negativo;
l) b é um número não-positivo;
m) c não é menor do que a.
21. Usando a notação de intervalo, escreva o subconjunto de R formado pelos números reais:
a) maiores do que 3;
b) menores do que p´1q;
c) maiores ou iguais a 2;
d) menores ou iguais a π;
e) maiores do que 2 e menores do que ou iguais a 7.
22. Dados os intervalos A “ rπ,`8q, B “ p´8,
?
17q e C “ p 83 , 4s, determinar:
a) AXB;
b) AX C;
c) B X C;
d) AXB X C;
e) AYB;
f) AY C;
g) B Y C;
h) AYB Y C;
i) AzB;
j) AzC;
k) BzC.
23. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17%
têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm
casa própria nem automóvel?
24. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresen-
tavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de
problema citados. Então qual é o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem?
25. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha.
Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A
Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha
e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras. Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
27
3.7 Gabarito Caṕıtulo 3. Conjuntos
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
26. (ENEM-2004) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando
a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos
C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele
verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5
páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante
concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de quantos originais de impressão?
27. (FGV-2004) Numa cidade do interior do estado de São Paulo, uma prévia eleitoral entre 2000 filiados revelou
as seguintes informações a respeito de três candidatos A,B, e C, do Partido da Esperança (PE) que concorrem
a 3 cargos diferentes:
I. todos os filiados votaram e não houve registro de voto em branco, tampouco de voto nulo;
II. 280 filiados votaram a favor de A e de B;
III. 980 filiados votaram a favor de A ou de B, mas não de C;
IV. 420 filiados votaram a favor de B, mas não de A ou de C;
V. 1220 filiados votaram a favor de B ou de C, mas não de A;
VI. 640 filiados votaram a favor de C, mas não de A ou de B;
VII. 140 filiados votaram a favor de A e de C, mas não de B.
Determine o número de filiados ao PE que:
a) votaram a favor dos 3 candidatos.
b) votaram a favor de apenas um dos candidatos.
3.7 Gabarito
1. a) S “ tm,a,t,e,á,i,cu
b) S “ tverde, amarelo, azul, brancou
c) S “ tAlagoas, Acre, Amapá, Amazonasu
2. a) tx{x é paru
b) tx P I{0 ď x ď 9u
c) tx{xé ou já foi capital do Brasilu
3. a) nenhuma das opções
b) vazio
28
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.7 Gabarito
c) vazio
d) unitário
e) nenhuma das opções
f) vazio
g) nenhuma das opções
h) nenhuma das opções
4. a) V
b) V
c) V
d) F
e) V
f) V
5. a) V
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V
i) V
j) V
k) V
l) F
m) V
n) F
o) F
p) V
q) V
r) V
s) V
29
3.7 Gabarito Caṕıtulo 3. Conjuntos
t) F
6.
7. tm, tau, tbu, tcu, tdu, ta, bu, ta, cu, ta, du, tb, cu, tb, du, tc, du, ta, b, cu, ta, c, du, tb, c, du, ta, b, c, duu
8. • AYB “ ta, b, c, d, eu
• AY C “ ta, b, c, d, fu
• B Y C “ tb, c, d, e, fu
• AYB Y C “ ta, b, c, d, e, fu
• AXB “ tb, c, du
• AX C “ tcu
• B X C “ tc, eu
• AXB X C “ tcu
• CDA “ tc, du
• CEB “ tb, du
• CEC “ tfu
9. a) V
b) F
c) F
d) V
e) V
f) V
30
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.7 Gabarito
g) V
h) F
i) F
j) V
k) V
l) V
m) V
n) V
o) F
p) V
10. O ćırculo de centro O e raio 2r.
11. O própio planoα.
12. a) ta, bu
b) te, f, gu
c) tbu
d) ta, bu
e) ta, b, cu
f) ta, b, cu
g) tm, tau, tbu, tcu, tdu, ta, bu, ta, cu, ta, du, tb, cu, tb, du, tc, du, ta, b, cu, ta, c, du, tb, c, du, ta, b, c, duu
h) p32subconjuntosq
i) p16subconjuntosq
j) p128subconjuntosq
13. Inglês ou francês: 332; Não estudam nenhuma das duas: 83.
14. a) 500
b) 61
c) 142
d) 84
15. n “ 158
16. 16 alunos não estudaram nada.
17. S “ ta, b, e, f, gu
31
3.7 Gabarito Caṕıtulo 3. Conjuntos
18. a) F
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) V
i) F
j) V
k) V
l) F
m) F
n) F
o) V
p) F
q) V
r) V
s) V
t) V
u) V
v) V
x) V
19. a) s0; 2r
b) r´2, 1s
c) s0, 1s
d) s0, 1s
e) r´2,8r
f) s ´ 8, 2r
g) s ´ 8,8r
h) s ´ 8,8r
32
Caṕıtulo 3. Conjuntos 3.7 Gabarito
i) r´2, 0s
j) s1, 2r
k) s1,8r
20. a) x ą 15
b) ´3 ă y ă 8
c) z ă ´5
d) 0 ă w ă 1
e) ´6 ă r ă 0
f) a ą 0
g) b ă 0
h) a ą b
i) b ă c
j) b ă a ă c
k) a ě 0
l) b ď 0
m) c ě a
21. a) p3,8
b) p´8,´1q
c) r2,8q
d) p´8, πs
e) p2, 7s
22. a) rπ,
?
17r
b) rpi, 4s
c) s 83 , 4s
d) rπ, 4s
e) R
f) s 83 ,8r
g) s ´ 8,
?
17r
h) R
i) r
?
17,8r
j) s4,8r
33
3.7 Gabarito Caṕıtulo 3. Conjuntos
k) s ´ 8, 83 sYs4,
?
17r
23. 69
24. 3700
25. a) 460
b) 130
c) 410
26. 118
27. a) 80
b) 1420
34
CAPÍTULO 4
INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
4.1 Proposições e conectivos
Chamamos proposição todo conjunto de palavras ou śımbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem júızos que formamos a respeito de
determinados entes. É todo conjunto de palavras ou śımbolos ao qual podemos atribuir um valor lógico.
Dizemos que o valor lógico de uma proposição é verdade pV q se a proposição é verdadeira e falsidade pF q se a
proposição é falsa.
Exemplos:
a) A Lua é satélite da Terra.
b) Recife é a capital de Pernambuco.
c) π ą
?
5.
d)
3
5
é um número racional.
e) Vasco da Gama descobriu o Brasil.
f) Dante escreveu Os Luśıadas.
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes prinćıpios (axiomas):
(I) Prinćıpio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
35
4.1 Proposições e conectivos Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
(II) Prinćıpio do terceiro exclúıdo: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes
casos e nunca um terceiro.
Assim, esse prinćıpios afirmam que toda proposição tem um, e um só, dos valores V ou F .
Chamamos proposição simples ou atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte inte-
grante de si mesma.
As proposiçõessimples são igualmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s, . . . .
Exemplos:
a) p : Carlos é Careca
b) q : Pedro é estudante
c) o número 25 é quadrado perfeito
Chamamos proposição composta ou molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras maiúsculas P,Q,R, S, . . . .
Exemplos:
a) P : Carlos é careca e Pedro é estudante
b) Q : Carlos é careca ou Pedro é estudante
c) R : Se Carlos é careca então é infeliz
Chamamos paradoxo proposições que não admitem um único valor lógico.
Exemplos:
a) Essa sentença é falsa.
b) João afirma: Sou mentiroso.
4.1.1 Tabela verdade
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples
componentes, ficando por eles univocamente determinado. Utilizaremos a tabela-verdade para verificar todos os
posśıveis valores lógicos de uma proposição composta.
Sabemos que uma proposição simples é verdadeira ou falsa:
36
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.1 Proposições e conectivos
P
V
F
Se uma proposição é composta por n proposições simples então teremos 2n atribuições posśıveis.
Exemplos:
1. Uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas atribuições posśıveis de
valores lógicos a p e q são:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Observe que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição, p e de um em
um para a segunda proposição, q.
2. Uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r, as únicas atribuições posśıveis
de valores lógicos a p, q e r são:
p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
De modo análogo, observe que os valores lógicos V e F se alternam de 4 em 4 para p, de 2 em 2 para q e de
1 em 1 para r.
Notação: O valor lógico de uma proposição simples p é indicado por V ppq. Se p é verdadeira, escrevemos
V ppq “ V , caso contrário, V ppq “ F . De modo análogo, o valor lógico de uma proposição composta P é indicado
por V pP q.
37
4.2 Operações lógicas sobre proposições Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
4.2 Operações lógicas sobre proposições
Os conectivos lógicos são palavras ou śımbolos que se usam para formar novas proposições a partir de outras.
Exemplos: Nas seguites proposições:
a) O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.
b) O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.
c) Não está chovendo.
d) Se Jorge é estrangeiro, então sabe matemática.
e) O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
são conectivos lógicos as palavras em negrito, isto é: “e”, “ou”, “não”, “se . . . então”, “se e somente se ”.
Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas.
Essas operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo
Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números.
1. Negação: ‘„’
Chamamos negação de uma proposição p a proposição “não p”, representada por „ p, cujo valor lógico é V
quando p é falsa e F quando p é verdadeira. Pela tabela verdade, temos:
p „ p
V F
F V
e pelas igualdades:
„ V “ F e „ F “ V
e
V p„ pq “„ V ppq.
Na linguagem comum, a negação efetua-se, nos casos mais simples, antepondo o advérbio “não”ao verdo da
proposição. Também podemos fazer a negação usando expressões tais como “não é verdade que”, “ é falso
que”, dentre outras.
38
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.2 Operações lógicas sobre proposições
Exemplo: p: O sol é uma estrela.
Sua negação será:
„ p: O sol não é uma estrela ou também „ p: não é o caso que o sol seja uma estrela.
Observação: A negação de “Todos os homens são elegantes”é “Nem todos os homens são elegantes” e a de
“Nenhum homem é elegante” é “Algum homem é elegante”.
Exerćıcio: Escreva „ p em linguagem corrente e indique seu valor lógico:
(a) p : A neve é branca.
(b) p : Roma é a capital da França.
(c) p : A maçã é uma fruta.
2. Conjunção: ‘^ ’
Chamamos conjunção de duas proposições p e q a proposição p e q, representada por p^ q, cujo valor lógico
é V quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e F nos demais casos. O valor lógico da conjunção de
duas proposições, é portanto, definido pela seguinte tabela verdade:
p q p^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
e pelas igualdades:
V ^ V “ V, V ^ F “ F, F ^ V “ F e F ^ F “ F
e
V pp^ qq “ V ppq ^ V pqq.
Exemplo:
p : A neve é branca
q : 2 ă 5
então a conjunção será:
39
4.2 Operações lógicas sobre proposições Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
p^ q : A neve é branca e 2 ă 5 e seu valor lógico é V , pois V pp^ qq “ V ppq ^ V pqq “ V ^ V “ V.
É importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar enunciados sem qualquer tipo de
v́ınculo significativo entre eles, como por exemplo: O café está amargo ^ Cláudia estuda música.
Observação: „ pp^ qq “„ p_ „ q.
Exerćıcio: Indique o valor lógico de p^ q considerando os seguintes enunciados:
(a) p : O enxofre é verde, q : 7 é um número primo.
(b) p : A Lua é uma estrela, q : Saturno é um planeta.
(c) p : Cabral descobriu o Brasil, q : Portugal é um continente.
3. Disjunção ‘_´
Chamamos disjunção de duas proposições p e q a proposição “p ou q”, representada por p_q, cujo valor lógico
é V quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e F quando as proposições p e q são ambas
falsas. O valor lógico da disjunção de duas proposições, é portanto, definido pela seguinte tabela verdade:
p q p_ q
V V V
V F V
F V V
F F F
V _ V “ V, V _ F “ V, F _ V “ V e F _ F “ F
e
V pp_ qq “ V ppq _ V pqq.
Exemplo:
p : A neve é azul
q : 2 ě 5
então a disjunção será
p_ q : A neve é azul ou 2 ě 5 e seu valor lógico é F , pois V pp_ qq “ V ppq _ V pqq “ F _ F “ F.
Exerćıcio: Indique o valor lógico de p_ q considerando os seguintes enunciados:
40
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.2 Operações lógicas sobre proposições
(a) p : A água é azul, q : 7 é um número primo.
(b) p : A Lua é uma estrela, q : Saturno é um planeta.
(c) p : Cabral descobriu o Brasil, q : Portugal é um continente.
Observação: „ pp_ qq “„ p^ „ q.
4. Disjunção exclusiva ‘Y ´
Na linguagem comum, a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, por exemplo, consideremos as seguintes
proposições compostas:
P : Carlos é médico ou professor.
Q : José é alagoano ou gaúcho.
Na proposição P temos que pelo menos umas das proposições “Carlos é médico”, “Carlos é professor”é verda-
deira, podendo ser ambas verdadeiras. Mas, na proposição Q, somente uma das proposições “José é alagoano”,
“José é gaúcho” é verdadeira, pois não é posśıvel ocorrer “Mário é alagoano e gaúcho”.
Na proposição P dizemos que o “ou”é inclusivo enquanto que na proposição Q dizemos que o “ou”é exclusivo.
Chamamos disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição “ ou p ou q”, representada por pYq, cujo
valor lógico é V somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras
e F quando as proposições p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. O valor lógico da disjunção de duas
proposições, é portanto, definido pela seguinte tabela verdade:
p q pY q
V V F
V F V
F V V
F F F
V Y V “ F, V Y F “ V, F Y V “ V e F Y F “ F
e
V pp_ qq “ V ppq _ V pqq.
41
4.2 Operações lógicas sobre proposições Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
5. Condicional (‘Ñ ´)
Chamamos proposição condicional ou apenas condicional a proposição “se p então q”, representada por
p Ñ q, cujo valor lógico é F no caso emque p é verdadeira e q é falsa e V nos demais casos. O valor lógico
da condicional de duas proposições, é portanto, definido pela seguinte tabela verdade:
p q pÑ q
V V V
V F F
F V V
F F V
V Ñ V “ V, V Ñ F “ F, F Ñ V “ V e F Ñ F “ V
e
V ppÑ qq “ V ppq Ñ V pqq.
Exemplo:
p : O mês de maio tem 31 dias
q : A Terra é plana
então a condicional será
pÑ q : Se o mês de maio tem 31 dias então a Terra é plana e seu valor lógico é F , pois V ppÑ qq “ V ppq Ñ
V pqq “ V Ñ F “ F.
Observação: „ ppÑ qq “ p^ „ q.
Exerćıcio: Indique o valor lógico de pÑ q considerando os seguintes enunciados:
• p : O enxofre é verde, q : 7 é um número primo.
• p : A Lua é uma estrela, q : Saturno é um planeta.
• p : Cabral descobriu o Brasil, q : Portugal é um continente.
Observação: Uma condicional p Ñ q não afirma que o consequente q se deduz ou é consequência do
antecedente p. Assim, por exemplo, a condicional:
7 é um número ı́mpar Ñ Braśılia é uma cidade
42
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.2 Operações lógicas sobre proposições
não afirma, de modo nenhum, que o fato de “Braśılia ser uma cidade”s deduz do fato de “7 ser um número
ı́mpar”. O que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do
consequente de acordo com a tabela verdade anterior.
6. Bicondicional (‘Ø´)
Chamamos proposição bicondicional ou apenas bicondicional a proposição “ p se e somente se q”, representada
por p Ø q, cujo valor lógico é V qaundo p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e F nos demais casos.
O valor lógico da bicondicional de duas proposições, é portanto, definido pela seguinte tabela verdade:
p q pØ q
V V V
V F F
F V F
F F V
V Ø V “ V, V Ø F “ F, F Ø V “ F e F Ø F “ V
e
V ppØ qq “ V ppq Ø V pqq.
Portanto, uma bicondicional é verdadeira somente quando também o são as duas condicionais pÑ q e q Ñ p.
Exemplo:
p : Roma fica na Europa
q : A neve é branca
então a bicondicional será
pØ q : Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca e seu valor lógico é V , pois V ppØ qq “ V ppq Ø
V pqq “ V Ø V “ V.
Exerćıcio: Indique o valor lógico de pØ q considerando os seguintes enunciados:
• p : Lisboa é a capital de Portugal, q : cos 0 “ 0
• p : Vasco da Gama descobriu o Brasil, q : Tiradentes foi enforcado.
• p : O Sol é um planeta, q :
?
2 é um número racional.
43
4.3 Tabela verdade de uma proposição composta Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
4.3 Tabela verdade de uma proposição composta
Dadas várias proposições simples p, q, r, . . ., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos „,^,_,Ñ,Ø e cons-
truir proposições compostas. Então, com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fundamentais
(„ p, p^q, p_q, pÑ q, pØ q) é posśıvel construir a tabela verdade correspondente a qualquer proposição composta
dada, que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira ou falsa, admitindo-se que
o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.
O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples
que a integram. Este número é dado por 2n, onde n é o número de proposições simples.
Exemplos:
1. Construir a tabela verdade da proposição P pp, qq “„ pp^ qq.
p q „ q p^ „ q „ pp^ „ qq
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
2. Construir a tabela verdade da proposição P pp, qq “„ pp^ qq_ „ ppØ qq.
p q p^ q pØ q „ pp^ qq „ ppØ qq „ pp^ qq_ „ ppØ qq
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
3. Construir a tabela verdade da proposição P pp, q, rq “ p_ „ r Ñ q^ „ r.
Observações: Quando na última coluna de uma tabela verdade aparece apenas o valor lógico V , chamamos
de tautologia. Quando na última coluna de uma tabela verdade aparece apenas o valor lógico F , chamamos de
contradição. E quando aparece ambos os valores, temos uma contingência.
4.4 Valor lógico de uma proposição composta
Dada uma proposição composta P pp, q, r, . . .q, podemos determinar o seu valor lógico (V ou F ) quando são dados
ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições componentes p, q, r, . . ..
Exemplos:
44
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.4 Valor lógico de uma proposição composta
p q r „ r p_ „ r q^ „ r p_ „ r Ñ q^ „ r
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F V V F F F V
F F F V V F F
a) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F , determinar o valor lógico da
proposição P pp, qq “„ pp_ qq Ø„ p^ „ q.
V pP q “„ pV _ F q Ø„ V^ „ F “„ V Ø F ^ V “ F Ø F “ V.
b) Sejam as proposições p : π “ 3 e q : sinπ2 “ 0. Determinar o valor lógico da proposição P pp, qq “ pp Ñ qq Ñ
ppÑ p^ qq.
As proposições componentes p e q são ambas falsas, portanto, V ppq “ F e V pqq “ F . Logo:
V pP q “ pF Ñ F q Ñ pF Ñ F ^ F q “ V Ñ pF Ñ F q “ V Ñ V “ V.
c) Sabendo que V ppq “ V , V pqq “ F e V prq “ F , determinar o valor lógico da proposição P pp, q, rq “ pq Ø
pr Ñ„ pqq _ pp„ q Ñ pq Ø rq.
V pP q “ pF Ø pF Ñ„ V qq _ pp„ F Ñ V q Ø F q “ pF Ø pF Ñ F qq _ ppV Ñ V q Ø F q “ pF Ø V q _ pV Ø
F q “ F _ F “ F.
d) Sabndo que V prq “ V , determinar o valor lógico da proposição pÑ„ q _ r.
Como r é verdadeira, a disjunção „ q _ r é verdadeira. Logo, a condicional dada é verdadeira, pois o seu
consequente é verdadeiro.
e) Sabendo que V pqq “ V , determinar o valor lógico da proposição ppÑ qq Ñ p„ q Ñ„ pq.
Como q é verdadeira, então „ q é falsa. Logo, a condicional „ q Ñ„ p é verdadeira, pois o seu antecedente é
falso. Por consequência, a condicional dada é verdadeira, pois o seu consequente é verdadeiro.
45
4.5 Uso de parênteses Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
4.5 Uso de parênteses
É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devem ser colocados para evitar
qualquer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expressão p ^ q _ r dá lugar, colocando parêntesis, às duas
seguintes proposições:
piqpp^ qq _ r e piiqp^ pq _ rq
que não têm o mesmo significado, pois na piq, o conectivo principal é _ e na piiq, o conectivo principal é ^.
Por outro lado, em muito casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas,
desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer.
A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das quais são
particularmente importantes as duas seguintes:
(I) A ordem de precedência para os conectivos é:
1. „
2. ^ e _
3. Ñ
4. Ø
Portanto, a proposição pÑ q Ø s^ r é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para
convertê-la numa condicional, há que usar parêntesis: p Ñ pq Ø s ^ rq e, analogamente, para convertê-la
numa conjunção: ppÑ q Ø sq^r. O consequente da condicional é uma bicondicional. Desejando-se converter
este consequente numa conjunção devemos escrever: ppÑ pq Ø sq ^ rq.
(II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimimos os parêntesis, fazendo a associação
a partir da esquerda.
4.6 Implicação lógica
Dizemos que uma proposição P pp, q, r, . . .q implica logicamente ou implica em uma proposição Qpp, q, r, . . .q se
Qpp, q, r, . . .q é verdadeira todas as vezes que P pp, q, r, . . .q é verdadeira. Ou, seja, se a condicional associada P Ñ Q
é tautológica.
Notação: P ñ Q.
Observação: щñ. O primeiro, é de operação lógica, já o segundo é de relação (estabelece que a condicional
associada P Ñ Q é tautológica).
Exemplo: Sejam P1 : p^ q;P2 : q ^ r;P3 : p^ r.
46
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.7 Equivalência lógica
p q r P1 P2 P3
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F F F
F V V F F F
F V F F F F
F F VF F F
F F F F F F
Logo, P1 ^ P2 ñ P3.
Exemplo: Verifique as implicações:
a) p^ q ñ p_ q
b) p^ q ñ pØ q
c) pñ p_ q
d) p^ q ñ p
e) p^ q ñ q
f) pØ q ñ pÑ q
g) pØ q ñ q Ñ p
h) pp_ qq^ „ pñ q e pp_ qq^ „ pñ p
i) ppÑ qq ^ pñ q
j) ppÑ qq^ „ q ñ„ p
4.7 Equivalência lógica
Dizemos que uma proposição P pp, q, r, . . .q é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição
Qpp, q, r, . . .q se as tabelas verdade destas proposições são idênticas.
Notação: P ô Q.
Observação: ؉ô. O primeiro, é de operação lógica, já o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional
associada P Ø Q é tautológica).
Exemplo: Verifique se pÑ q ô„ p_ q.
p q pÑ q „ p_ q
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
47
4.8 Sentenças abertas Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
Regras de De Morgan
1. „ pp^ qq ô„ p_ „ q
2. „ pp_ qq ô„ p^ „ q
4.7.1 Exerćıcio:
Verifique as relações abaixo, sabendo que C “ contradição e T “ tautologia.
a) p_ pô p
b) p^ pô p
c) p^ „ pô C
d) p_ „ pô T
e) C ^ pô C
f) C _ pô p
g) T ^ pô p
h) T _ pô T
i) pÑ q ô„ _q
j) pØ q ô pÑ q ^ q Ñ p
4.8 Sentenças abertas
São proposições dependentes de uma (ou mais) variável (eis) que assumem valores em um conjunto universo U .
Exemplos:
a) x ě 7, para x P t1, 2, . . . , 10u.
b) x tem 2 vogais distintas ou mais para x P tMarcela, Diogo, Meire, Carlos, Joãou
As sentenças abertas podem ter valores lógicos V ou F , dependendo do valor que a variável x assume (em U).
Chamamos de conjunto verdade da proposição P, VP , o subconjunto de U que torna P verdadeiro.
Exemplos:
a) VP “ t7, 8, 9, 10u.
b) VP “ U .
Podemos ter mais de uma sentença aberta pP pxq, Qpxq, . . .q. Vamos estudar V„p, VP^Q, VP_Q.
1. V„P : conjunto verdade de „ P
Temos que „ P muda o valor lógico de P . Portanto, V„P é o conjunto U tal que P é falsa. Portanto,
V„p “ UzVP .
Exemplos:
48
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.9 Quantificadores
a) VP “ t1, 2, . . . , 6u.
b) VP “ H.
2. VP^Q :
Temos que P ^Q é verdadeira quando as proposições P e Q são verdadeiras, ou seja, x P VP e x P VQ. Logo,
x P VP X VQ.Logo,
VP^Q “ VP X VQ.
Exemplo: Sejam P pxq “ x ě 7 e QpXq “ x ` 1 é par, x P t1, . . . , 10u. Temos que VP “ t7, 8, 9, 10u e
VQ “ t1, 3, 5, 7, 9u. Logo, VP^Q “ VP X VQ “ t7, 9u.
3. VP_Q :
Temos que P _ Q é verdadeira quando a proposição P é verdadeira ou proposição Q é verdadeira, ou seja,
x P VP ou x P VQ. Logo, x P VP Y VQ.Logo,
VP_Q “ VP Y VQ.
Exemplo: Sejam P pxq “ x ě 7 e QpXq “ x ` 1 é par, x P t1, . . . , 10u. Temos que VP “ t7, 8, 9, 10u e
VQ “ t1, 3, 5, 7, 9u. Logo, VP_Q “ VP Y VQ “ t1, 3, 5, 7, 8, 9, 10u.
Exerćıcio: Encontre os conjuntos verdade VPÑQ e V pP Ø Qq.
4.9 Quantificadores
Em Matemática utilizam-se dois quantificadores: o existe e o para todo, que são denotados, respectivamente por D
e @.
A expressão “existe”(D) é utilizada quando a propriedade enunciada admite pelo menos um elemento no universo
considerado que a verifica. Encontramos situações em que aparece a expressão “existe um único”(D!) ou “existe e é
único”.
A expressão “para todo”(@) é utilizada quando a propriedade enunciada é verdadeira para “qualquer que seja”o
elemento no universo considerado.
Se p é a proposição: Dx|P pxq, isto é, “existe x tal que x verifica a propriedade P”, a negação do “existe”significa
que a propriedade enunciada não é satisfeita “para todo”elemento do universo em questão. Ou seja, qualquer ele-
mento do universo considerado não satisfaz a propriedade P . Por exemplo,
49
4.10 Exerćıcios Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
se p: existe x tal que x ă 4, então „ p: qualquer que seja x, x ě 4.
Por outro lado, se q é a proposição: @x|P pxq, isto é, “qualquer que seja x, x verifica a propriedade P”, a negação
do “para todo”significa que “existe”algum elemento no universo que não satisfaz a propriedade em questão. Ou
seja, existe pelo menos um elemento no universo que não verifica a propriedade P. Por exemplo,
se q: para todo x, 2x “ 0 então „ q: existe x tal que 2x ‰ 0.
4.10 Exerćıcios
1. Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes
proposições?
a) „ p
b) p^ q
c) p_ q
d) q Ø p
e) pф q
f) p_ „ q
g) „ p^ „ q
h) p^ „ q Ñ p
2. Sejam as proposições p : José é rico e q : Carlos é feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes
proposições?
a) q Ñ p
b) p_ „ q
c) q Ø„ p
d) „ pÑ q
e) „„ p
f) „ p^ q Ñ p
3. Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Marcos é alto e elegante.
b) Marcos é alto, mas não é elegante.
c) Marcos nem é alto tampouco elegante.
d) Se Marcos fosse alto seria elegante.
e) É falso que Marcos seja alto e elegante.
f) É falso que Marcos seja alto ou elegante.
g) x “ 0 ou x ą 0.
h) x ‰ 0 e y ‰ 0.
i) x ą 1 ou x` y “ 0.
j) Se x “ 1 ou z “ 2 então y ą 1.
4. Determinar V ppq em cada um dos seguintes casos, sabendo:
a) V pqq “ F e V pp^ qq “ F
b) V pqq “ F e V pp_ qq “ F
c) V pqq “ F e V ppÑ qq “ F
d) V pqq “ F e V pq Ñ pq “ V
e) V pqq “ V e V ppØ qq “ F
f) V pqq “ F e V pq Ø p “ V
5. Construir as tabelas verdade das seguintes proposições:
50
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.10 Exerćıcios
a) „ pp_ „ qq
b) p^ q Ñ p_ q
c) ppÑ qq Ñ p^ q
d) ppØ„ qq Ø q Ñ p
e) „ ppÑ„ qq
f) „ pÑ pq Ñ pq
g) q Ø„ q ^ p
h) pp؄ qq ф p^ q
6. Sabendo que V ppq “ V prq “ V e V pqq “ V psq “ F , determinar o valor lógico (V ou F ) de cada um das
seguintes proposições:
a) ppØ qq Ñ psØ rq
b) pp^ qq _ sÑ ppØ sq
c) pÑ„ q Ø pp_ rq ^ s
d) p„ p_ sq _ p„ s^ rq
e) p^ q Ø r^ „ s
f) p„ pÑ qq Ñ psÑ rq
g) pq ^ rq ^ sÑ ppØ sq
h) pp؄ qq ф p^ q
7. Determinar quais das seguintes proposições são tautologias, contradições ou contingências.
a) pÑ p„ pÑ qq
b) pÑ pq Ñ pq Ñ pqq
c) p_ „ q Ñ ppÑ„ qq
d) pÑ pp_ qq _ r
e) „ p_ q Ñ ppÑ qq
f) pppÑ qq Ø qq Ñ p
g) „ p_ „ q Ñ ppÑ qq
h) p^ q Ñ ppØ q _ rq
8. Sejam as sentenças abertas em R, ppxq : 15x2`2x´8 “ 0 e qpxq “ 5x2`19x`12 “ 0. Determinar V„p, VP^Q
e VP_q.
9. Sejam as sentenças abertas em A “ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u ppxq : x2 P A e qpxq “ x é ı́mpar. Determinar
V„p, VP^Q, VP_q, V pÑ q, VqÑp e VpØq.
10. Determinar o valor lógico das sentenças quantificadas, considerando o conjunto domı́nio D informado.
a) p@xqp|x| “ xq, com D “ R
b) pDxqpx` 3 “ 10q, com D “ t1, 2, 3, 4, 5u
c) pDxqp4x´ 3 “ 1` 2xq, com D “ R
d) p„ @xqpx2 ` x “ 6q, com D “ t1, 2, 3u
11. Reescrever cada uma das declarações abaixo, negando-as. Determine o valor lógico da negação.
a) pDx P Rqpx2 “ 2q
b) pDx P Zqpx2 “ 2q
c) p@x P Rqpx2 ` 2 ‰ 1q
d) pDx P Rqpx2 “ ´1q
e) pDx P Cqpx2 “ ´1q
51
4.10 Exerćıcios Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
f) p@x P Rqpx2 ‰ xq
12. (ENAP ESAF 2006) João possui três amigos: um palmeirense, um vascáıno e outro colorado. Um dos amigos
é médico, o outro advogado, e o outro professor. Sabe-se que? 1q ou o palmeirense é médico, ou o palmeirense
é professor; 2q ou o palmeirense é advogado, ou o vascáıno é professor; 3 ou o colorado é professor, ou o
vascáıno é professor; 4q ou o vascáıno é advogado ou o colorado é advogado. Portanto, é verdade que:
a) o palmeirense é médico, o vascáıno é advogado e o colorado é professor.
b) o palmeirense é advogado, o vascáıno é médico e o colorado é professor.
c) O palmeirense é médico, o vascáıno é professor e o colorado é advogado.
d) o palmeirense é professor, o vascáıno é médico e o colorado é advogado.
13. Quatro casais reúnem-se para jogar gamão. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: aq nenhuma
pessoa pode jogar duas partidas seguidas; bq marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Maria
joga contra João. Na segunda, Tereza joga contra o marido de Joana. Na terceira, a esposa de João joga
contra o marido de Tereza. Na quarta, Mariajoga contra Paulo. E na quinta, a esposa de Carlos joga contra
João. A esposa de Ivan e o marido de Lila são, respectivamente:
a) Joana e Carlos.
b) Maria e João.
c) Tereza e Paulo.
d) Maria e Ivan.
14. Saulo tem três cubos de tamanhos diferentes, C1, C2 e C3, e pretende pintar cada um deles com uma única
cor dentre as seguintes: azul, amarela ou rosa, não necessariamente nesta ordem. Considere as seguintes
afirmações:
(a) C1 é rosa.
(b) C2 não é rosa.
(c) C3 é azul.
De quantos modos Saulo poderá fazer a pintura dos cubos para que apenas uma das afirmações seja verdadeira?
15. (Problemas de Lógica 41, Ediouro) Carlos, Lúıs e Paulo são casados com Lúcia, Maria e Patŕıcia, não neces-
sariamente nesta ordem. Um dos maridos é advogado, outro é engenheiro e outro, médico. Com base nas
dicas abaixo, tente descobrir a profissão de cada um e o nome de suas respectivas esposas.
(a) O médico é casado com Maria.
(b) Paulo é advogado.
(c) Patŕıcia não é casada com Paulo.
52
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.10 Exerćıcios
(d) Carlos não é médico.
16. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente
cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda,
que:
A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;
B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;
C) o mordomo não é inocente.
Logo:
a) o cozinheiro e o mordomo são os culpados
b) somente o cozinheiro é inocente
c) somente a governanta é culpada
d) somente o mordomo é culpado
17. Um professor de lógica encontra-se em viajem em um páıs distante, habitado pelos verdamanos e pelos
mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos
sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de
Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não
sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes
respostas:
Alfa: ”Beta é mentimano”
53
4.10 Exerćıcios Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
Beta: ”Gama é mentimano”
Gama: ”Delta é verdamano”
Delta: ”Épsilon é verdamano”
Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de
lógica conclui corretamente quem é o verdamano. Quem é ele?
18. Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restaurante no peŕıodo de segunda à sexta-feira e, em
cada um destes dias, pelo menos um deles almoça nesse local. Consultados sobre tal hábito, eles fizeram as
seguintes afirmações:
- Antônio: ”Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas-feiras.”
- Bento: ”Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras.”
- Carlos: ”Não é verdade que vou às segundas ou terças-feiras.”
Se somente um deles está mentindo, então qual é o dia da semana em que os três costumam almoçar nesse
restaurante?
19. Numa avenida reta há cinco pontos comerciais, todos do mesmo lado da rua. A farmácia fica entre a padaria
e o restaurante, a padaria fica entre o supermercado e a lotérica e o supermercado fica entre o restaurante e
a farmácia. Nessas condições, qual das proposições abaixo é verdadeira?
a) O supermercado fica entre a padaria e a lotérica.
b) A lotérica fica entre a padaria e o supermercado.
c) Para ir do supermercado à lotérica, passa-se em frente ao restaurante.
d) A farmácia fica entre o supermercado e a padaria.
20. As irmãs Ilda, Ilma, Isabela e Isadora iriam ser fotografadas juntas por Flávio. O fotógrafo pediu para que
elas se posicionassem lado a lado da seguinte maneira:
• do ponto de vista do fotógrafo, Ilda deveria estar mais à direita do que Isabela;
• Isadora não deveria ficar entre duas irmãs;
• Ilda não deveria ficar imediatamente ao lado de Isabela, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre
Ilda e Isabela;
• Isabela não deveria ficar imediatamente ao lado de Isadora, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar
entre Isabela e Isadora.
As irmãs se posicionaram conforme as orientações de Flávio, a fotografia foi batida e revelada com sucesso.
Assim, na foto, é posśıvel ver que:
54
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.11 Gabarito
a) Isabela está entre duas irmãs.
b) Ilda não está entre duas irmãs.
c) Ilma não está entre duas irmãs.
d) Ilma está imediatamente ao lado de Ilda.
21. Esta sequência de palavras segue uma lógica:
• Pá
• Xale
• Japeri
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser:
a) Casa.
b) Anseio.
c) Urubu.
d) Café.
4.11 Gabarito
1. a) Não está frio.
b) Está frio e está chovendo.
c) Está frio ou está chovendo.
d) Só está frio se, e somente se, estiver chovendo.
e) Se está frio, então não está chovendo.
f) Está frio ou não está chovendo.
g) Não está frio e não esta chovendo.
h) Se está frio e não está chovendo, então está frio.
2. a) Se Carlos é feliz, então José é rico.
b) José é rico ou Carlos não é feliz.
c) José é rico se e somente se Carlos não é feliz.
d) Se José não é rico, então Carlos é feliz.
e) José é rico
f) Se José não é rico e Carlos é feliz, então José é rico.
3. a) Marcos é alto^Marcos é elegante.
55
4.11 Gabarito Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
b) Marcos é alto^ Marcos é elegante.
c) Marcos é alto^ Marcos é elegante.
d) Marcos é altoÝÑMarcos é elegante.
e) (Marcos é alto^Marcos é elegante)
f) (Marcos é alto_Marcos é elegante)
g) x “ 0Y x ą 0
h) x ‰ 0X y ‰ 0
i) x ą 1Y x` y “ 0
j) x “ 1Y z “ 2 ÝÑ y ą 1
4. a) V OU F
b) F
c) F
d) V OU F
e) F
f) F
5. a) F F V F
b) V V V V
c) V V F F
d) F V F F
e) V F F F
f) V V F V
g) F F F V
h) V F V V
6. a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) F
56
Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática 4.11 Gabarito
7. a) tautologia
b) tautologia
c) contigência
d) tautologia
e) tautologia
f) contigência
g) contigência
h) contigência
8. • V p “ tx P R{x ‰
2
3ex ‰
´4
5 u
• Vp^q “ t´4
5 u
• Vp_q “ t 23 ,
´3
2 ,
´4
5 u
9. • V„p “ t4, 5, 6, 7, 8, 9u
• Vp^q “ t1, 3u
• Vp_q “ t1, 2, 3, 5, 7, 9u
• VpÑq “ t1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u
• VqÑp “ t2u
• VpØq “ H
10. a) F
b) F
c) V
d) F
11. a) p@x P Rqpx2 ‰ 2q, valor lógico F .
b) p@x P Zqpx2 ‰ 2q, valor lógico V .
c) pDx P Rqpx2 ` 2 “ 1q, valor lógico F .
d) p@x P Rqpx2 ‰ ´1q, valor lógico V .
e) p@x P Cqpx2 ‰ ´1q, valor lógico F .
f) pDx P Rqpx2 “ xq, valor lógico V .
12. c
13. b
14. 4
57
4.11 Gabarito Caṕıtulo 4. Introdução à Lógica Matemática
15. • Luiz/medico/Maria
• Paulo/advogado/Lucia
• Carlos/engenheiro/Patricia
16. a
17. Beta
18. quintas-feiras
19. d
20. d
21. a
58
CAPÍTULO 5
FUNÇÕES
5.1 Relações
1. Par
Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim, t1, 2u, t3,´1u, ta, bu indicam pares. Lem-
brando do conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz
um novo par:
t1, 2u “ t2, 1u, t3,´1u “ t´1, 3u, ta, bu “ tb, au.
2. Par ordenado
Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo. Para cada elemento a e cada elemento b,
admitiremos a existência de um terceiro elemento pa, bq, que denominamos par ordenado, de modo que se
tenha
pa, bq “ pc, dq ô a “ c e b “ d
3. Plano cartesiano
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano α. Dado um ponto P
qualquer, P P α, conduzamos por ele duas retas: x1 paralela a x e y1 paralela a y. Denominenos P1 a interseção
de x com y1 e P2 a interseção de y com x1.
59
5.1 Relações Caṕıtulo 5. Funções
Figura 5.1: Plano cartesiano
Fonte: Elaborado pelo autor
Nessas condições definimos:
a) abscissade P é o número real xP representado por P1;
b) ordenada de P é o número real yP representado por P2;
c) coordenadas de P são os números reais xP e yP , geralmente indicados na forma de um par ordenado
pxP , yP q em que xP é o primeiro termo;
d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox);
e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy);
f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy;
g) origem do sistema é o plano O;
h) plano cartesiano é o plano α.
Exemplo: Vamos localizar os pontosAp2, 0q, Bp0,´3q, Cp2, 5q, Dp3, 4q, Ep´7,´3q, F p4,´5q, Gp 52 ,
9
2 q eHp´ 5
2 ,
9
2 q
no plano cartesiano, lembrando que, no par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo,
a ordenada do ponto.
Figura 5.2: Exemplo de plano cartesiano
Fonte: Elaborado pelo autor
4. Produto Cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A ˆ B
cujos elementos são todos os pares ordenados px, yq, em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo
elemento pertence a B.
60
Caṕıtulo 5. Funções 5.1 Relações
AˆB “ tpx, yq|x P A e y P Bu.
Lê-se a notação AˆB assim: “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”. Se A ou B for o conjunto
vazio, definiremos o produto cartesiado de A por B como sendo o conjunto vazio.
Exemplo: Se A “ t1, 2, 3u e B “ t1, 2u, temos:
AˆB “ tp1, 1q, p1, 2q, p2, 1q, p2, 2q, p3, 1q, p3, 2qu e B ˆA “ tp1, 1q, p1, 2q, p1, 3q, p2, 1q, p2, 2q, p2, 3qu.
5. Relação Binária
Se ouvirmos que duas pessoas, Henriqueta e Horácio, se relacionam, entenderemos que existe algum laço afetivo
entre eles - que (Henriqueta, Horácio) distinguem-se dos demais pares ordenados de pessoas por haver uma
relação (são parentes, namorados, amigos etc.) que Henriqueta e Horácio verificam. O análogo matemático
é distinguir determinados pares ordenados de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma
relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem.
Exemplo: Sejam A “ t1, 2u e B “ t2, 3u; então temos A ˆ B “ tp1, 2q, p1, 3q, p2, 2q, p2, 3qu. Se estivermos
interessados na relação de igualdade, então p2, 2q será o único par que se distinguirá no produto A ˆ B, isto
é, o único par ordenado cujas componentes são iguais. Se estivermos interessados na propriedade do primeiro
número ser menor do que o segundo, escolheremos os pares p1, 2q, p1, 3q e p2, 3q como os pares ordenados de
AˆB que se distinguem dos demais por apresentarem tal propriedade.
No Exemplo, podeŕıamos selecionar os pares ordenados px, yq dizendo que x “ y ou que x ă y. Analogamente,
a notação xRy indica que o par ordenado px, yq satisfaz à relação R. A relação R pode ser descrita com palavras
ou simplesmente pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem.
Portanto, dados os conjuntos A e B, uma relação binária em AˆB é um subconjunto de AˆB.
Podemos também representar uma relação por meio de um diagrama de flechas, como na figura.
Figura 5.3: Diagrama de flechas
Fonte: Elaborado pelo autor
6. Domı́nio e Imagem Seja R uma relação de A em B. Chama-se domı́nio de R, o conjunto DpRq de todos
os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,
x P DpRq ô Dy P B|px, yq P R .
61
5.1 Relações Caṕıtulo 5. Funções
Denomina-se imagem de R, o conjunto ImpRq de todos os segundos elementos dos pares ordenados perten-
centes a R, isto é,
y P ImpRq ô Dx P A|px, yq P R .
Como consequência, temos que DpRq Ă A e ImpRq Ă B.
Exemplo: Dados os conjuntos A “ t0, 1, 2, 3u e B “ t1, 2, 3, 5, 6u, determinar o domı́nio e a imagem da
relação R “ tpx, yq P AˆB|y “ x` 1u.
Como o domı́nio é o conjunto dos primeiros elementos dos pares ordenados e a imagem é o conjunto dos
segundos elementos dos pares ordenados, essa relação pode ser escrita como:
Para o elemento zero p0q, tem-se y “ 0` 1 “ 1; para o elemento 1, tem-se y “ 1` 1 “ 2; para o elemento 2,
tem-se y “ 2` 1 “ 3; e para o elemento 3, tem-se y “ 3` 1 “ 4.
A relação é o conjunto R “ tp0, 1q; p1, 2q; p2, 3q; p3, 4qu. Como o conjunto B não tem o elemento 4, o
par ordenado p3, 4q não pode pertencer ao produto cartesiano A ˆ B. A relação é viável é, então,R “
tp0, 1q; p1, 2q; p2, 3qu. Como o primeiro elemento do par ordenado define o domı́nio e o segundo, a imagem,
tem-se que o domı́nio é formado pelos elementos 0, 1 e 2. A imagem é o conjunto dos elementos 1, 2 e 3. Veja
a figura.
DpRq “ t1, 2, 3u Ă A e ImpRq “ t1, 2, 3u Ă B.
7. Relação Inversa
Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto:
R´1 “ tpy, xq P B ˆA|px, yq P AˆBu.
Como R´1 é subconjunto de BˆA, temos que é uma relação binária de B em A. Essa relação será denominada
relação inversa de R.
62
Caṕıtulo 5. Funções 5.2 Exerćıcios
Exemplo: A “ t0, 1, 2, 3u, B “ t1, 2, 3, 5, 6u e R “ tpx, yq P AˆB|y ą 2x` 1u.
R “ tp0, 2q; p0, 3q; p0, 5q; p0, 6q; p1, 5q; p1, 6q; p2, 6qu.
A relação inversa é tp2, 0q; p3, 0q; p5, 0q; p6, 0q; p5, 1q; p6, 1q; p6, 2qu, ou seja, os primeiros elementos dos pares
ordenados da relação R passam a ser os segundos elementos da relação inversa e os segundos elementos da
relação inversa são os primeiros da relação inicial.
R´1 “ tp2, 0q; p3, 0q; p5, 0q; p6, 0q; p5, 1q; p6, 1q; p6, 2qu “
"
py, xq P B ˆA|x ă
y ´ 1
2
*
.
DpRq “ t0, 1, 2u e ImpRq “ t2, 3, 5, 6u.
DpR´1q “ t2, 3, 5, 6u “ ImpRq e ImpR´1q “ t0, 1, 2u “ DpRq.
Propriedades:
(a) DpR´1q “ ImpRq;
(b) ImpR´1q “ DpRq;
(c) pR´1q´1 “ R.
5.2 Exerćıcios
1. Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.
63
5.3 Função Caṕıtulo 5. Funções
2. Assinale no plano cartesiano os pontos: Ap2,´3q, Bp0,´4q, Cp´4,´5q, Dp´1, 0q, Ep0, 5q, F p5, 4q, Gp3, 0q, Hp´3, 2q.
3. Dados os conjuntos A “ t1, 4, 7u, B “ t´3, 6u, C “ t0, 3u, D “ tx P R|1 ď x ď 3u, E “ tx P R| ´ 2 ď x ď 2u,
represente graficamente os seguintes produtos e identifique domı́nio e imagem.
a) AˆB;
b) B ˆA;
c) Aˆ C;
d) C ˆB;
e) D ˆ E;
f) E ˆD;
g) AˆD;
h) E ˆB;
i) D ˆA;
j) pE ˆDq Y pD ˆAq.
4. Enumerar os elementos de R´1, relação inversa de R, nos seguintes casos:
a) R “ tp1, 2q; p3, 1q; p2, 3qu;
b) R “ tp1,´1q; p2,´1q; p3,´1q; p´2, 1qu;
c) R “ tp´3,´2q; p1, 3q; p´2,´3q; p3, 1qu.
5.3 Função
Sejam os conjuntos A “ ta, b, c, du e B “ te, f, g, h, iu e as relações binárias R1, R2, R3, R4 e R5, representadas pelos
conjuntos a seguir:
R1 “ tpa, gq; pb, hq; pc, iqu;
R2 “ tpa, fq; pb, eq; pb, gq; pc, hq; pd, iqu;
R3 “ tpa, fq; pb, eq; pc, iq; pd, gqu;
64
Caṕıtulo 5. Funções 5.3 Função
R4 “ tpa, iq; pb, hq; pc, gq; pd, fqu;
R5 “ tpa, gq; pb, gq; pc, gq; pd, gqu.
Essas relações podem ser representadas, graficamente, como:
65
5.3 Função Caṕıtulo 5. Funções
Analisemos cada uma das relações:
a) O domı́nio da relação é DpR1q “ ta, b, cu ‰ A e a imagem é o conjunto ImpR1q “ tg, h, iu.
O domı́no dessa relação é diferente de A pois o conjunto A possui o elemento d e a relação R1 tem origem
nos elementos a, b e c. Observa-se, nesse caso, que nem todos os elementos dos conjuntos A (elemento d) e B
(elementos e e f) são usados.
@x P DpR1q, D!y P B tal que px, yq P R1, em que D! significa “existe um único”.
b) O domı́nio da relação é DpR2q “ ta, b, c, du “ A e a imagem é o conjunto ImpR2q “ te, f, g, h, iu “ B.
O domı́no dessa relação é igual a A, pois todos os elementos de A são originários da relação R2. Observa-se,
nesse caso, que todos os elementos dos conjuntos A e B são usados. O elemento b do conjunto A tem duas
imagens (e e g).
@x P DpR2q, Dy P B tal que px, yq P R2, mas não é imagem única, pois pb, eq P R2 e pb, gq P R2.
c) O domı́nio da relação é DpR3q “ ta, b, c, du “ A e a imagem é o conjunto ImpR3q “ te, f, g, iu.
O domı́no da relação R3 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjuntos A são todos
usados e o elemento h, do conjunto B, não é utilizado.
@x P DpR3q,