Aula 2 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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Aula 2 
Objetivo: 
• Compreender algoritmicamente os métodos tradicionais de resolução de sistemas 
lineares; 
• Distinguir métodos de resolução que utilizam pivoteamento de métodos iterativos; 
• Aplicar a resolução de sistemas lineares a problemas práticos. 
 
Links: 
• Método de Gauss: https://www.youtube.com/watch?v=1pYSxyz7n9U 
 
2. Sistemas Lineares 
 
Aplicação: Seja o diagrama do circuito: 
 
 
A corrente que flui do nó p para o nó q de uma rede elétrica é dada por 𝑖𝑝𝑞 =
𝑉𝑝−𝑉𝑞
𝑅𝑝𝑞
, i em 
amperes, R em ohms, 𝑉𝑝𝑒 𝑉𝑞 são voltagens nos nós p e q, 𝑅𝑝𝑞 é a resistência no arco pq. 
A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (Lei de Kirchoff). Assim, as equações 
que relacionam as voltagens podem ser obtidas. 
No nó 1, tem-se 𝑖𝐴1 + 𝑖21 + 𝑖41 = 0 
 
a) Obter as equações dos nós 1,2,3,4. 
b) Determinar as voltagens em cada nó 
 
Nó 1: 𝑖𝐴1 + 𝑖21 + 𝑖41 = 0 
 
𝑉𝐴 − 𝑉1
𝑅𝐴1
+
𝑉2 − 𝑉1
𝑅21
+
𝑉4 − 𝑉1
𝑅41
= 0 
12 − 𝑉1
3
+
𝑉2 − 𝑉1
4
+
𝑉4 − 𝑉1
5
= 0 
240 − 20𝑉1 + 15𝑉2 − 15𝑉1 + 12𝑉4 − 12𝑉1
60
= 0 
−47𝑉1 + 15𝑉2 + 0𝑉3 + 12𝑉4 = −240 
47𝑉1 − 15𝑉2 + 0𝑉3 − 12𝑉4 = 240 
 
Nó 2: 𝑖12 + 𝑖32 = 0 
 
https://www.youtube.com/watch?v=1pYSxyz7n9U
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𝑉1 − 𝑉2
𝑅12
+
𝑉3 − 𝑉2
𝑅32
= 0 
𝑉1 − 𝑉2
4
+
𝑉3 − 𝑉2
3
= 0 
3𝑉1 − 3𝑉2 + 4𝑉3 − 4𝑉2
12
= 0 
3𝑉1 − 7𝑉2 + 4𝑉3 − 0𝑉4 = 0 
 
Nó 3: 𝑖23 + 𝑖43 = 0 
 
𝑉2 − 𝑉3
𝑅23
+
𝑉4 − 𝑉3
𝑅43
= 0 
𝑉2 − 𝑉3
3
+
𝑉4 − 𝑉3
2
= 0 
2𝑉2 − 2𝑉3 + 3𝑉4 − 3𝑉3
6
= 0 
0𝑉1 + 2𝑉2 − 5𝑉3 + 3𝑉4 = 0 
 
Nó 4: 𝑖14 + 𝑖34 + 𝑖𝐵4 = 0 
 
𝑉1 − 𝑉4
𝑅14
+
𝑉3 − 𝑉4
𝑅34
+
𝑉𝐵 − 𝑉4
𝑅34
= 0 
𝑉1 − 𝑉4
5
+
𝑉3 − 𝑉4
2
+
0 − 𝑉4
4
= 0 
8𝑉1 − 8𝑉4 + 20𝑉3 − 20𝑉4 − 0 − 10𝑉4
40
= 0 
8𝑉1 − 0𝑉2 + 20𝑉3 − 38𝑉4 = 0 (÷ 2) 
4𝑉1 − 0𝑉2 + 10𝑉3 − 19𝑉4 = 0 
 
O que forma um sistema linear: 
{
47𝑉1 − 15𝑉2 − 0𝑉3 − 12𝑉4 = 240
3𝑉1 − 7𝑉2 + 4𝑉3 − 0𝑉4 = 0
0𝑉1 + 2𝑉2 − 5𝑉3 + 3𝑉4 = 0
4𝑉1 − 0𝑉2 + 10𝑉3 − 19𝑉4 = 0
 
 
Na forma matricial: Ax=b 
[
47 −15
3 −7
0 −12
4 0
0 2
4 0
−5 3
10 19
] ∙ [
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
] = [
240
0
0
0
] 
 
Matriz ampliada/aumentada 
[
47 −15
3 −7
0 −12
4 0
|
240
000
0 2 
4 0
−5 3
10 −19
|
0000
0000
] 
 
• Operações elementares sobre linha de matriz: 
o Multiplicar linhas por k em IR 
o Trocar linhas entre si 
o Somar linhas entre si 
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𝐿𝑗 = 𝑘𝐿𝑖 + 𝐿𝑗 
 
2.1 Método de Gauss 
 
Exemplo: Seja o sistema linear abaixo, resolva-o pelo método de Gauss. 
 
{
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 14
7𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 9
5𝑥1 + 1𝑥2 + 3𝑥3 = 16
 
 
OBSERVAÇÃO: NESTE CAPÍTULO TRABALHAREMOS COM UMA PRECISÃO 
DE 3 CASAS DECIMAIS (∆≤ 10−2). 
 
[
3
7
5
−2
4
1
5
−2
3
|
14
9
16
] 
1º Pivoteamento: 
𝐿1
(1)
← 𝐿1
(0)
 
𝐿2
(1) ← −
7
3
𝐿1
(0) + 𝐿2
(0)
 
𝐿3
(1)
← −
5
3
𝐿2
(0) + 𝐿3
(0)
 
 
[
3
0
0
−2
8,667
4,333
5
−13,667
−5,333
|
14
−23,667
−7,333
] 
2º Pivoteamento: 
𝐿1
(2)
← 𝐿1
(1)
 
𝐿2
(2) ← 𝐿2
(1)
 
𝐿3
(2)
← −
4,333
8,667
𝐿2
(1) + 𝐿3
(1)
 
 
[
3
0
0
−2
8,667
0
5
−13,667
1,5
|
14
−23,667
4,499
] 
 
Ou seja: 
{
3,000𝑥1 − 2,000𝑥2 + 5,000𝑥3 = 14
 8,667𝑥2 − 13,667𝑥3 = −23,667
 1,500𝑥3 = 4,499
 
 
Determinar o valor 𝑥3 na 3ª equação: 
1,500𝑥3 = 4,499 → 𝑥3 =
4,499
1,5
→ 𝑥3 = 2,999 
Determinar o valor 𝑥2 na 2ª equação: 
8,667𝑥2 − 13,667𝑥3 = −23,667 
8,667𝑥2 − 13,667 ∙ 2,999 = −23,667 
8,667𝑥2 − 40,987 = −23,667 
8,667𝑥2 = −23,667 + 40,987 
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8,667𝑥2 = 17,32 → 𝑥2 =
17,32
8,667
→ 𝑥2 = 1,998 
 
Determinar o valor 𝑥1 na 1ª equação: 
3,000𝑥1 − 2,000𝑥2 + 5,000𝑥3 = 14 
3,000𝑥1 − 2,000 ∙ 1,998 + 5,000 ∙ 2,999 = 14 
3,000𝑥1 − 3,996 + 14,995 = 14 
3,000𝑥1 + 10,999 = 14 
3,000𝑥1 = 14 − 10,999 
3,000𝑥1 = 3,001 → 𝑥1 =
3,001
3
→ 𝑥1 = 1,000 
 
Solução 𝑥 ≅ [
1,000
2,000
3,000
] 
 
Pós Aula: 
Exercício: Revolva o sistema linear pelos métodos de Gauss 
 
{
8,7𝑥1 + 3𝑥2 + 9,3𝑥3 + 11,0𝑥4 = 16,4
24,5𝑥1 − 8,8𝑥2 + 11,5𝑥3 − 45,1𝑥4 = −49,7
52,3𝑥1 + 84,0𝑥2 − 23,5𝑥3 + 11,4𝑥4 = −80,8
21,0𝑥1 − 81,0𝑥2 + 13,2𝑥3 + 21,5𝑥4 = −106,3