Aula 4 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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Aula 4 
Pré aula: Fazer os exercícios da aula anterior 
2.4. Métodos Iterativos 
 Neste caso trabalharemos com dois métodos, a saber: Método de Jacobi e Método 
de Gauss-Seidel. 
 
2.4.1 Método de Jacobi 
 O método de Jacobi consiste em fazer substituições sucessivas nas incógnitas do 
sistema. Parte-se de um valor inicial qualquer, e o processo se encerra quando a tolerância 
(∆) for alcançada. 
 
Exemplo: Seja o sistema linear abaixo, resolva-o pelo método de Jacobi. 
 
{
6𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 13
𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = 1
2𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 26
, 𝑥0
𝑡 = [0 0 0] 𝑒 ∆≤ 10−2 
 
• Isolando 𝑥1 na 1ª equação: 
𝑥1 =
13 + 2𝑥2 − 𝑥3
6
 
• Isolando 𝑥2 na 2ª equação: 
𝑥2 =
1 − 𝑥1 + 2𝑥3
5
 
• Isolando 𝑥3 na 3ª equação: 
𝑥3 =
26 − 2𝑥1 − 𝑥2
8
 
 
i 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 ∆ 
0 0 0 0 
1 2,167 0,2 3,25 3,25 
2 1,692 1,067 2,733 0,867 
3 2,067 0,955 2,960 0,375 
4 1,992 0,971 2,853 0,107 
5 2,015 0,943 2,873 0,028 
6 2,002 0,946 2,864 0,013 
7 2,005 0,945 2,868 0,004 
 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
Solução: 𝑥𝑡 = [ 2,00 0,94 2,87] 
 
2.4.2 Método de Gauss-Seidel 
 O método de Gauss-Seidel consiste em acelerar o método de Jacobi. 
 
Exemplo: Seja o sistema linear abaixo, resolva-o pelo método de Gauss-Seidel. 
 
{
6𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 13
𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = 1
2𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 26
, 𝑥0
𝑡 = [0 0 0] 𝑒 ∆≤ 10−2 
 
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• Isolando 𝑥1 na 1ª equação: 
𝑥1 =
13 + 2𝑥2 − 𝑥3
6
 
• Isolando 𝑥2 na 2ª equação: 
𝑥2 =
1 − 𝑥1 + 2𝑥3
5
 
• Isolando 𝑥3 na 3ª equação: 
𝑥3 =
26 − 2𝑥1 − 𝑥2
8
 
 
i 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 ∆ 
0 0 0 0 
1 2,167 -0,233 2,679 
2 1,642 0,943 2,957 1,176 
3 1,998 0,985 2,876 0,346 
4 2,016 0,947 2,864 0,038 
5 2,005 0,945 2,867 0,011 
6 2,004 0,946 2,867 0,001 
 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
Solução: 𝑥𝑡 = [ 2,00 0,95 2,87] 
 
Exemplo: 
 
1) Seja o sistema linear abaixo, resolva-o pelo método de Jacobi e pelo método de 
Gauss-Seidel. 
 
{
7𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 21
−𝑥1 + 9𝑥2 + 2𝑥3 = 15
2𝑥1 + 𝑥2 + 8𝑥3 = 12
, 𝑥0
𝑡 = [0 0 0] 𝑒 ∆≤ 10−2 
 
• Isolando 𝑥1 na 1ª equação: 
𝑥1 =
21 − 𝑥2 − 2𝑥3
7
 
• Isolando 𝑥2 na 2ª equação: 
𝑥2 =
15 + 𝑥1 − 2𝑥3
9
 
• Isolando 𝑥3 na 3ª equação: 
𝑥3 =
12 − 2𝑥1 − 𝑥2
8
 
 
 
Método de Jabobi Método de Gauss-Seidel 
i 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 ∆ i 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 ∆ 
0 0 0 0 - 0 0 0 0 - 
1 3 1,667 1,5 3 1 3 2 0,5 3 
2 2,333 1,667 0,542 0,958 2 2,571 1,841 0,627 0,429 
3 2,607 1,805 0,708 0,274 3 2,558 1,812 0,634 0,029 
4 2,54 1,799 0,623 0,085 4 2,56 1,810 0,634 0,002 
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5 2,565 1,810 0,640 0,025 
6 2,559 1,809 0,632 0,008 
 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
Solução: 𝑥𝑡 = [ 2,56 1,81 0,63] | Solução: 𝑥𝑡 = [ 2,56 1,81 0,63] 
 
2) Seja o sistema linear abaixo, resolva-o pelo método de Jacobi e pelo método de 
Gauss-Seidel. 
 
{
2𝑥1 + 9𝑥2 − 𝑥3 = 12
𝑥1 + 2𝑥2 + 8𝑥3 = 20
7𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 15
, 𝑥0
𝑡 = [0 0 0] 𝑒 ∆≤ 10−2 
 
 
Exercício: 
 
1) Seja o sistema linear abaixo, resolva-o pelo método de Jacobi e pelo método de 
Gauss-Seidel. 
 
𝑎) {
3𝑥1 − 2𝑥2 + 6𝑥3 = 10
7𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 = 8
𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = 15
, 𝑥0
𝑡 = [0 0 0] 𝑒 ∆≤ 10−2 
 
b) {
4𝑥1 − 1𝑥2 − 1𝑥3 − 0𝑥4 = 100
−𝑥1 + 4𝑥2 + 0𝑥3 − 1𝑥4 = 175
−𝑥1 − 0𝑥2 + 4𝑥3 − 1𝑥4 = 25
−0𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 4𝑥4 = 100
, 𝑥0
𝑡 = [0 0 0] 𝑒 ∆≤ 10−2