UA4-Descontos-Silvia Graf

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Curso de Gestão Empresarial 
Matemática Financeira 
 
Descontos 
 
 
 
Moeda: Reais, monetário português, de1662 – cruzado com carimbo de reais 2 
Fonte: Imagens: Coleção Eduardo Rezende - http://www.moedasdobrasil.com.br 
 
Descontos 
Unidade de Aprendizagem 04 
 
 
 
 
 
 
Objetivos da unidade de aprendizagem 
Apresentar os conceitos de desconto de títulos. Realizar 
descontos para um conjunto de títulos. 
 
 
Competência 
Identificar e calcular os descontos diferentemente para cada questão 
específica. 
 
Habilidades 
Distinguir os descontos para serem concedidos de acordo com 
o contexto da situação cotidiana.
 
 
UA4 – Descontos 3 
 
Apresentação 
 
Nesta unidade vamos aprender descontos. Desconto é muito bom, quem 
nunca pediu um “descontinho” em uma loja? Você já tentou solicitar 
desconto no supermercado ou no transporte coletivo? 
Desconto é bom sim, para “alguém”, não necessariamente para nós. É 
sobre este desconto que vamos conversar. 
 
 
Para começar 
 
Empresas e comerciantes podem vender títulos, faturas e notas 
promissórias (lembra-se do já antigo cheque pré-datado?) a uma 
financeira ou empresa de factoring, voltada à negociação de títulos. 
Estes “papéis” (títulos ou equivalentes) são comprovantes de dívidas 
com vencimento futuro, um tempo que o comerciante ou empresa não 
pode ou não quer esperar. Até pessoas físicas vendem sua restituição de 
imposto de renda. 
Obviamente a instituição financeira cobrará juros referentes ao tempo 
que falta para o vencimento do título. Estes juros são objeto de estudo 
desta unidade de aprendizagem. 
 
 
 
 
 
UA4 – Descontos 4 
 
Descontos 
 
Há dois tipos de descontos praticados pelo banco ou por uma empresa 
de factoring, o simples e o composto. E os dois tipos ainda podem ser 
classificados como comercial ou racional. 
 
Desconto simples é então o abatimento sobre o valor do título 
denominado valor nominal ou valor de face quando este é resgatado 
antes do vencimento. 
 Nos descontos de títulos são cobrados juros simples, porém, 
antecipados; super porém incluem taxas de administração; hiper super 
porém exigem saldo médio do cliente. 
O valor atual ou valor presente é a diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
 
VA = VN – D 
 
onde : 
➢ VA é o valor atual, 
➢ VN é o valor nominal 
➢ D é o desconto aplicado na operação. 
 
Como mencionamos há duas modalidades de desconto simples: o 
Comercial ou Bancário e o Racional. 
 
 
 
 
UA4 – Descontos 5 
 
Desconto Simples Comercial ou Desconto Bancário 
Também designado como desconto simples “por fora”. 
A forma de cálculo do desconto comercial é simples: 
 
DC = VN . i . t 
 
Lembra de João comeu isto tudo? Na verdade, é a mesma fórmula. A 
taxa incide sobre o valor nominal. 
Devemos agora calcular o valor atual no Desconto Comercial. Temos; 
VA = VN - DC 
substituindo DC pela fórmula acima: 
VA = VN – VN . i . t 
 
VA = VN (1 - i . t) 
 
 
Desconto Simples Racional 
Também designado como desconto simples “por dentro”. 
Nesta modalidade o desconto incide sobre o valor atual, isto é: 
 
DR = VA . i . t 
 
 
 
 
UA4 – Descontos 6 
 
Porém, no título, é conhecido o valor nominal e o valor atual deve ser 
determinado. Assim: 
 
VA = VN – DR 
VA = VN – VA . i . t 
VA + VA . i . t = VN 
VA (1 + i . t) = VN e, finalmente: 
 
t.i1
V
V N
A
+
= 
 
 
Podemos ainda obter uma fórmula para o desconto racional: 
DR = VA . i . t 
substituindo VA determinado acima, temos 
 
t.i1
t.i.V
D N
R
+
= 
 
 
 
 
Praticar sempre ajuda: 
Um exemplo pode evidenciar a diferença entre o Desconto Comercial e o 
Desconto Racional. 
 
 
UA4 – Descontos 7 
 
Suponhamos que Abraão possui um título com valor nominal de R$ 
10.000,00 com vencimento dentro de 4 meses. Na instituição financeira 
este título pode ser descontado a razão de 6% a.m.(“razoável”, não é?). 
 
Considerando desconto comercial: 
DC = VN . i . t 
DC = 10.000 . 0,06 . 4 = 2.400 
ou seja, é pago ao portador do título R$ 7.600,00 após descontados R$ 
2.400.00. 
 
Considerando desconto racional: 
52,064.8
4.06,01
000.10
A
V 
+
= 
um desconto de R$ 1.935,48 e o portador recebe R$ 8.064,52. 
 
Agora é fácil compreender porque os bancos e empresas de factoring 
utilizam o Desconto Comercial (daí também denominado Desconto 
Bancário), pois esta modalidade é visivelmente favorável ao tomador do 
título. 
 
 
Cálculo da taxa efetiva (verdadeiro, composto) no 
desconto comercial: 
Valendo-nos do exemplo acima, em que o portador do título com valor de 
face R$ 10.000,00 recebe do banco R$ 7.600,00. 
 
 
UA4 – Descontos 8 
 
Mas daqui a 4 meses “alguém” que endossou o título pagará ao banco 
R$ 10.000,00. 
Portanto, usando o conceito de juros compostos, a taxa realmente 
praticada na transação será de: 
7.600 (1 + ief)4 = 10.000 
.m.a071,0i
600.7
000.10
i1
ef
4
ef
=
=+
 
 
Surpresa! 
O que foi ajustado como 6% a.m. rende na verdade 7,1% a.m. ao 
banco. 
A taxa nominal (para “inglês ver”) de 6% a.m. transforma-se na taxa 
efetiva de 7,1% a.m.. 
Estudaremos mais intensamente taxas nominais e taxas efetivas em 
outra unidade de aprendizagem. 
 
Mas e a taxa administrativa a que nos referimos cobrada pelo banco no 
desconto de títulos? 
Digamos que iad seja uma taxa adicional cobrada a título de serviços. 
Certamente você está pensando, “mas porque mais uma taxa, os juros 
já não incluem serviços administrativos? ” E a resposta é; “pois é”! 
Incluindo a taxa iad na fórmula do cálculo do Valor Atual, temos: 
 
VA = VN (1 - i . t – iad) 
 
 
 
UA4 – Descontos 9 
 
E o saldo médio exigido pelo banco quando este é o agente financeiro? 
Bem, se o comerciante necessita descontar um título em seu poder, 
provavelmente a saúde financeira de sua conta corrente não está nada 
promissora. Então o banco poderá solicitar que parte do valor a receber 
permaneça na conta corrente do comerciante. 
Então vamos refazer, considerando desconto bancário, o Valor Atual do 
título de Abraão. 
Imaginemos que o banco tem “pequena” taxa administrativa de 0,8% e, 
como o saldo na conta de Abraão não está nada promissora, ele deverá 
deixar R$ 800,00 como “saldo médio” por um mês. 
Então: 
VA = 10.000 (1 – 0,06 . 4 – 0,008) – 800 
VA = 6.720,00 
Mas efetivamente quanto foi despendido neste desconto? 
6.720 (1 + ief)4 = 10.000 
.m.a10448,0i
720.6
000.10
i1
ef
4
ef

=+
 
 
Dupla surpresa! 
Passamos agora à taxa de 10,45% ao mês, mas tudo começou com 6% 
ao mês (?). 
 
A taxa efetiva da transação é de 10,45% a.m., contrapondo-se à taxa 
nominal de 6% a.m.. 
 
 
 
UA4 – Descontos 10 
 
Desconto Composto Comercial 
Também designado como desconto composto “por fora”. 
Mesmo não tendo utilização prática no Brasil, é importante familiarizar-se 
com o conceito. 
Nesta modalidade de desconto a taxa incide sobre o valor do título em 
cada período. 
Mantendo a coerência das notações utilizadas com juros simples, 
manteremos: 
➢ VA é o valor atual, 
➢ VN é o valor nominal 
➢ D é o desconto (regime composto) aplicado na operação. 
 
Sabemos que, no desconto simples comercial, VA = VN (1 – i . t) 
então no desconto composto comercial, teremos a cada período: 
1° período - VA1 = VN (1 – i) (pois n = 1) 
2° período - VA2 = VN (1 – i) – i.VA1 = VN (1 – i) – i. VN (1 – i) = VN (1 – i)2 
3° período - VA3 = VN (1 – i) – i.VA2 = VN (1 – i) – i. VN (1 – i)2 = VN (1 – i)3 
  
  
  
n° período - VAn = VN (1 – i)n 
 
Assim, o valor atual é: 
VA = VN (1 – i)n 
 
 
 
UA4 – Descontos 11 
 
E o desconto composto comercial: 
 
DC = VN – VN (1 – i)n = VN (1 – (1 – i)n) 
 
DC = VN (1 – (1 – i)n) 
 
Vamos “emprestar” o título de Abraão, agora descontado a regime 
composto comercial ou “por fora”. 
VA = VN (1 – i)n 
VA = 10.000 (1 – 0,06)4 = 7.807,49maior valor (menor desconto) que em regime de desconto simples que é 
de R$ 7.600,00. 
 
 
Desconto Composto Racional 
 
Também designado como desconto composto “por dentro”. 
É geralmente utilizado em transações a longo prazo. 
Em analogia à fórmula do desconto simples racional, temos o valor atual: 
n.i1
V
V N
A
+
= (simples) 
( )n
N
A
i1
V
V
+
= (composto) 
 
 
 
 
UA4 – Descontos 12 
 
E o desconto composto racional: 
 
( )
( )n
n
NR
i1
1i1
.VD
+
−+
= 
 
 
Novo empréstimo de nosso amigo Abraão: 
 
( )4
A
06,01
000.10
V
+
= 
 
VA = 7.920,94 
 
menor valor (maior desconto) que em regime de desconto simples que é 
de R$ 8.064,52. 
 
Acredito que concordamos que são muitas fórmulas. Então, vamos listá-
las em uma tabela. 
 
 Valor atual Desconto 
Simples Comercial VA = VN (1 – i . t) DC = VN . i . t 
Simples Racional 
t.i1
V
V N
A
+
= 
t.i1
t.i.V
D N
R
+
= 
Composto Comercial VA = VN (1 – i )n DC = VN (1 – (1 - i)n) 
Composto Racional 
( )n
N
A
i1
V
V
+
= 
( )
( )n
n
NR
i1
1i1
.VD
+
−+
= 
 
 
 
 
 
 
 
UA4 – Descontos 13 
 
 
Antena parabólica 
Segundo o SINFAC-RJ (http://sinfacrj.com.br) 
O que é Factoring 
1. Conceito 
Factoring é uma atividade comercial, mista e atípica, que soma prestação 
de serviços à compra de ativos financeiros. 
A operação de Factoring é um mecanismo de fomento mercantil que 
possibilita à empresa fomentada vender seus créditos, gerados por suas 
vendas à prazo, a uma empresa de Factoring. O resultado disso é o 
recebimento imediato desses créditos futuros, o que aumenta seu poder 
de negociação, por exemplo, nas compras à vista de matéria-prima, pois 
a empresa não se descapitaliza. 
A Factoring também presta serviços à empresa - cliente, em outras áreas 
administrativas, deixando o empresário com mais tempo e recursos para 
produzir e vender. 
2. Banco é banco. Factoring é Factoring. 
Por definição e filosofia, o Factoring não é uma atividade financeira. A 
empresa de Factoring não pode fazer captação de recursos de terceiros, 
nem intermediar para emprestar estes recursos, como os bancos. 
O Factoring não desconta títulos e não faz financiamentos. 
Na verdade, o Factoring é uma atividade comercial pois conjuga a 
compra de direitos de créditos com a prestação de serviços. Para isso 
depende exclusivamente de recursos próprios. 
3. Finalidades 
A finalidade principal da empresa de Factoring é o fomento mercantil. 
Fomentar, assessorar, ajudar o pequeno e médio empresário a 
solucionar seus problemas do dia a dia, são as finalidades básicas de 
uma Factoring. 
4. Vantagens da Parceria com uma Factoring 
- A empresa recebe à vista suas vendas feitas à prazo, melhorando 
o fluxo de caixa para movimentar os negócios; 
 
 
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- Assessoria administrativa; 
- Cobrança de títulos ou direitos de créditos; 
- Agilidade e rapidez nas decisões; 
- Intermediação entre a empresa e seu fornecedor. O Factoring 
possibilita a compra de matéria-prima à vista, gerando vantagens e 
competitividade; 
- Análise de risco e assessoria na concessão de créditos a clientes. 
5. Como Funciona 
O processo de Factoring inicia-se com a assinatura de um Contrato de 
Fomento Mercantil (contrato – mãe) entre a empresa e a Factoring onde 
são estabelecidos os critérios da negociação e o fator de compra. 
São 4 as etapas básicas do processo: 
- A empresa vende seu bem, crédito ou serviço à prazo, gerando um 
crédito (exemplo: Duplicata Mercantil), no valor correspondente; 
- A empresa negocia este crédito com a Factoring; 
- De posse desse crédito, a Factoring informa o sacado sobre o fato 
e a forma de cobrança (carteira ou banco); 
- Findo o prazo negociado inicialmente, a empresa sacada pagará o 
valor deste crédito à Factoring, encerrando a operação. 
6. Modalidades 
No mercado brasileiro o Factoring é mais atuante na modalidade 
convencional. Segue abaixo um pequeno resumo das principais 
modalidades: 
Convencional – É a compra dos direitos de créditos das empresas 
fomentadas, através de um contrato de fomento mercantil; 
Maturity – A Factoring passa a administrar as contas a receber da 
empresa fomentada, eliminando as preocupações com cobrança; 
Trustee – Além da cobrança e da compra de títulos, a Factoring presta 
assessoria administrativa e financeira às empresas fomentadas; 
Exportação – Nessa modalidade, a exportação é intermediada por duas 
empresas de Factoring (uma de cada país envolvido), que garantem a 
operacionalidade e liquidação do negócio; 
Factoring Matéria-Prima – A Factoring nesse caso transforma-se em 
intermediário entre a empresa fomentada e seu fornecedor de matéria-
prima. A Factoring compra à vista o direito futuro deste fornecedor e a 
 
 
UA4 – Descontos 15 
 
empresa paga à Factoring com o faturamento gerado pela transformação 
desta matéria-prima. 
7. Público-alvo 
O Factoring é destinado exclusivamente às Pessoas Jurídicas, 
principalmente as pequenas e médias empresas. 
8. Factoring fora do Brasil 
As operações de Factoring têm sua origem nos séculos XIV e XV, na 
Europa. O factor era um agente mercantil, que vendia mercadorias a 
terceiros contra o pagamento de uma comissão. Eram representantes de 
exportadores que conheciam muito bem as novas colônias, custodiando 
as mercadorias e prestando contas aos seus proprietários. Com o tempo, 
esses representantes passaram a antecipar o pagamento das 
mercadorias aos seus fornecedores, cobrando posteriormente dos 
compradores. 
Hoje, além dos Estados Unidos, o Factoring é muito praticado e difundido 
na Inglaterra, Suécia, Noruega, Holanda, Espanha, Itália, França e 
Bélgica. 
Entre os países da América Latina, fora o Brasil, o Factoring encontra 
expressão no México, Colômbia, Peru e Equador. 
9. O que não é Factoring 
- Operações onde o contratante não seja Pessoa Jurídica; 
- Empréstimo com garantia de linha de telefone, veículos, cheques, etc; 
- Empréstimo via cartão de crédito; 
- Alienação de bens móveis e imóveis; 
- Financiamento ao consumo; 
- Operações privativas das instituições financeiras; 
- Ausência de contrato de fomento mercantil. 
 
 
 
 
 
 
 
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E agora, José? 
Agora imprima esta Unidade de Aprendizagem e reforce seu aprendizado 
com o Momento da Verdade UA4, que apresentam alguns exercícios 
com maior nível de dificuldade. 
São práticas importantes para fixar o conceito de descontos, inclusive 
para um conjunto de títulos com prazos de vencimento diferentes. 
A próxima unidade versará sobre taxas, desmistificando taxas nominais e 
efetivas, um tema delicado. 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA DE APOIO 
 
VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ DUTRA. Matemática Financeira. 7 ed. São 
Paulo: Atlas Editora, 2000. 
ALMEIDA, JARBAS THAUNAHY SANTOS DE. Matemática 
Financeira. 1 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
SAMANEZ, CARLOS PATRÍCIO. Matemática Financeira: Aplicações 
à Análise de Investimentos. 5 ed. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 
2010. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira fácil. 13 ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002. 
VANNUCCI, LUIZ ROBERTO. Cálculos Financeiros aplicados e 
avaliação econômica de projetos de investimento. 1 ed. São Paulo: 
Textonovo, 2003. 
TEIXEIRA, JAMES; DI PIERRO NETTO, SCIPIONE. Matemática 
financeira. 1 ed. São Paulo; Makron Books, 1998. 
 
Referência: 
http://sinfacrj.com.br