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ELETROTÉCNICA ELETROTÉCNICA
Eletrotécnica
Marcos Ribeiro de Carvalho Marcos Ribeiro de Carvalho 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
A área do conhecimento na qual está inserida a Eletrotécnica é interessante e fasci-
nante, fazendo parte da tecnologia que permitiu o desenvolvimento da ciência, por-
tanto da eletricidade.
Pare um momento e tente imaginar o nosso mundo atual sem eletricidade. Como fa-
ríamos as coisas da forma como fazemos hoje em dia, com conforto e facilidade? Sem 
a eletricidade com certeza dependeríamos das únicas formas de energias disponíveis: 
o fogo, o vento e a força de tração animal. Nesse sentido, a energia elétrica é o princi-
pal insumo necessário para toda a cadeia produtiva na sociedade, indústria, comércio, 
setor de bens e serviços, transportes etc.
Dessa forma, os conceitos que abordaremos nesta disciplina têm como objetivo cons-
truir o conhecimento de forma bem fundamentada para a compreensão dos fenôme-
nos que permeiam todas as áreas que utilizam sistemas elétricos e eletrônicos, desde 
uma simples lâmpada até sistemas complexos computadorizados.
A Eletrotécnica se torna um alicerce � rme para a compreensão de como a energia 
elétrica é manipulada de forma a trabalhar a nosso favor. No entanto, também é im-
portante pensarmos no uso racional de tal fonte de energia, evitando desperdícios e, 
principalmente, sem comprometermos o bem-estar da população atual e das gera-
ções futuras.
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Indutância e capacitância
Objetivos da unidade 12
Indutores 13
Indutância 14
Associação de indutores 15
Comportamento do indutor em corrente contínua 16
Comportamento do indutor em corrente alternada 18
Reatância indutiva 21
Fator de qualidade do indutor 21
Capacitores 21
Capacitância 23
Associação de capacitores 25
Comportamento do capacitor em corrente contínua 26
Comportamento do capacitor em corrente alternada 28
Reatância capacitiva 30
Impedância 31
Transformada de Steinmetz 32
Antitransformada de Steinmetz 34
Circuito RL série 35
Circuito RC série 36
Circuito RLC série 38
Sintetizando 40
Referências bibliográficas 41
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Circuitos monofásicos e sistemas trifásicos equilibrados
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 43
Circuitos monofásicos ......................................................................................................... 44
Gerador monofásico ....................................................................................................... 44
Onda de tensão senoidal ................................................................................................ 45
Transformador monofásico ............................................................................................ 56
Sistemas trifásicos equilibrados ...................................................................................... 60
Gerador trifásico .............................................................................................................. 60
Análise do sistema trifásico com carga equilibrada ................................................. 62
Transformador trifásico .................................................................................................. 67
Sintetizando ........................................................................................................................... 71
Referências bibliográficas ................................................................................................. 72
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Sumário
Unidade 3 - Potências e correção do fator de potência
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 43
Potência elétrica .................................................................................................................. 75
Potência elétrica em corrente contínua (CC) ............................................................. 75
Potência elétrica em corrente alternada monofásica (CA) ..................................... 77
Energia elétrica ................................................................................................................ 86
Correção do fator de potência ........................................................................................... 87
Técnica para correção do fator de potência .............................................................. 91
Sintetizando ........................................................................................................................... 98
Referências bibliográficas ................................................................................................. 99
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Sumário
Unidade 4 – Circuitos elétricos e instalações elétricas
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 101
Circuitos elétricos .............................................................................................................. 102
Tipos de circuitos .......................................................................................................... 102
Instalações elétricas ......................................................................................................... 107
Simbologia padrão ........................................................................................................ 108
Esquemas para instalações elétricas ........................................................................ 110
Planta baixa .................................................................................................................... 111
Dispositivos de proteção .............................................................................................. 113Planejamento e projeto de instalações elétricas .................................................... 116
Aterramento ................................................................................................................... 125
Sintetizando ......................................................................................................................... 129
Referências bibliográficas ............................................................................................... 130
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A área do conhecimento na qual está inserida a Eletrotécnica é interessante 
e fascinante, fazendo parte da tecnologia que permitiu o desenvolvimento da 
ciência, portanto da eletricidade.
Pare um momento e tente imaginar o nosso mundo atual sem eletricidade. 
Como faríamos as coisas da forma como fazemos hoje em dia, com conforto e 
facilidade? Sem a eletricidade com certeza dependeríamos das únicas formas de 
energias disponíveis: o fogo, o vento e a força de tração animal. Nesse sentido, a 
energia elétrica é o principal insumo necessário para toda a cadeia produtiva na 
sociedade, indústria, comércio, setor de bens e serviços, transportes etc.
Dessa forma, os conceitos que abordaremos nesta disciplina têm como 
objetivo construir o conhecimento de forma bem fundamentada para a com-
preensão dos fenômenos que permeiam todas as áreas que utilizam sistemas 
elétricos e eletrônicos, desde uma simples lâmpada até sistemas complexos 
computadorizados.
A Eletrotécnica se torna um alicerce fi rme para a compreensão de como a 
energia elétrica é manipulada de forma a trabalhar a nosso favor. No entanto, 
também é importante pensarmos no uso racional de tal fonte de energia, evi-
tando desperdícios e, principalmente, sem comprometermos o bem-estar da 
população atual e das gerações futuras.
Vamos lá! Você está convidado a interagir com os conteúdos abordados e 
estabelecer a relação com o seu curso.
ELETROTÉCNICA 9
Apresentação
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Primeiramente, agradeço a Deus por ser o meu refúgio e fortaleza. Sou grato 
também à minha família, minha esposa e meus fi lhos, pelo apoio e dedicação. 
Por fi m, agradeço aos profi ssionais que cruzaram o meu caminho, com os 
quais aprendi a melhorar como profi ssional e como ser humano.
O professor Marcos Ribeiro de Carvalho 
é especialista em Automação Industrial pela 
Faculdade Senai de Mecatrônica Industrial 
(2011), graduado em Tecnologia Eletrônica 
pela Faculdade de Tecnologia de São Pau-
lo – FATEC (2009) e técnico em Eletrônica 
pelo Instituto de Ensino de São Caetano do 
Sul (1984). É professor e conteudista das 
disciplinas Eletrônica Geral, Eletrotécnica, 
Eletrônica de Potência, Acionamentos Ele-
trônicos de Máquinas Elétricas, Eletrônica 
Industrial e Instalações Elétricas e Teoria e 
Prática de Laboratório. Tem experiência na 
área de hidráulica, pneumática e controla-
dores programáveis, bem como projetos 
de automação industrial, bancária e comer-
cial, e atuação na área de manutenção de 
equipamentos industriais.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/0435778574491228
ELETROTÉCNICA 10
O autor
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INDUTÂNCIA E 
CAPACITÂNCIA
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar conceitos e aplicações sobre indutores, indutância e seu 
comportamento em corrente contínua e corrente alternada;
 Apresentar conceitos e aplicações sobre capacitores, capacitância e seu 
comportamento em corrente contínua e corrente alternada.
 Indutores
 Indutância
 Associação de indutores
 Comportamento do indutor 
em corrente contínua
 Comportamento do indutor 
em corrente alternada
 Reatância indutiva
 Fator de qualidade do indutor
 Capacitores
 Capacitância
 Associação de capacitores
 Comportamento do capacitor 
em corrente contínua
 Comportamento do capacitor 
em corrente alternada
 Reatância capacitiva
 Impedância
 Transformada de Steinmetz
 Antitransformada de Steinmetz
 Circuito RL série
 Circuito RC série
 Circuito RLC série
ELETROTÉCNICA 12
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Indutores
O indutor, conhecido também como bobina, é um componente de grande 
importância em sistemas elétricos e eletrônicos. Pode ser usado para gera-
ção de energia elétrica, sistemas de tração a motor elétrico, telecomunicações, 
em sistemas embarcados de automóveis, embarcações, aeronaves etc. Uma 
aplicação muito utilizada e importante desse componente é na construção de 
reatores para melhorar a qualidade de energia disponível nas redes elétricas. 
Esses reatores funcionam como fi ltros passivos, eliminando ruídos provenien-
tes de distúrbios ocasionados por máquinas e equipamentos em geral.
O indutor é um dispositivo formado por fi o esmaltado enrolado em forma 
de espiras em torno de um núcleo, que pode ser constituído de ar, ferro ou 
ferrite, conforme apresentado na Figura 1. A letra L é habitualmente utilizada 
na nomenclatura desse componente.
Indutor
Ar Ferro Ferrite
ɸɸ
N
L L L
s
IL
Figura 1. Indutor. 
Ao estabelecer uma corrente elétrica contínua (IL) pelas espiras, é formado 
um campo eletromagnético. Como as espiras estão próximas uma das outras, 
surge um campo resultante concentrado em função da área do núcleo da bo-
bina, denominado de fl uxo magnético (ɸ); a unidade de fl uxo magnético no 
Sistema Internacional (SI) é o weber (Wb).
ELETROTÉCNICA 13
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Dependendo do núcleo presente no indutor, há uma concentração maior ou 
menor do fl uxo magnético no interior da bobina. Sendo 
assim, esse fenômeno permite à bobina se comportar 
como um ímã artifi cial, que pode ser controlado pela 
corrente circulante nas espiras, formando um polo 
Norte e um polo Sul nas extremidades. Os polos for-
mados obedecem por convenção à regra da mão 
direita para orientação do fl uxo magnético (ɸ).
Esses componentes também são conheci-
dos como solenoides, sendo que são aplica-
dos em válvulas elétricas, relés, chaves eletro-
magnéticas etc.
Indutância
Indutância é a grandeza elétrica que determina a capacidade que um indu-
tor possui de armazenar energia e se autoinduzir pela ação do fl uxo magnético, 
fl uxo este criado pela corrente IL. Sendo uma grandeza, a indutância possui um 
símbolo, a letra L, e também pode ser medida em henry (H), em homenagem a 
Joseph Henry. Um henry é a quantidade de indutância que permite uma indu-
ção de um volt quando a corrente varia na razão de um ampere por segundo, 
conforme mostra a seguinte equação:
L = => => [H] [ ]vL
di/dt
Wb
A
 (1) 
CURIOSIDADE
Joseph Henry (1797 – 1878), cientista norte-americano, descobriu o 
fenômeno da autoindução, observou as correntes induzidas em um 
indutor e inventou a bobina de indução. Também aperfeiçoou os eletroí-
mãs e inventou o telégrafo. Em sua homenagem, a unidade da grandeza 
indutância é o henry (H).
A unidade de medida henry (H) se apresenta, na maioria das vezes, por 
meio de submúltiplos, pois se trata de um valor muito alto. A Tabela 1 mos-
tra exemplos.
ELETROTÉCNICA 14
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Unidade Símbolo Valor numérico
henry H 1
milihenry mH 1 ∙ 10-3
microhenry µH 1 ∙ 10-6
Associação de indutores
A associação de indutores permite obter valores de indutâncias equivalen-
tes quando não se tem disponível um indutor no valor desejado. Isso é muito 
utilizado em sistemas de telecomunicações, fi ltros passivos para áudio, fi ltros 
harmônicos etc. Sendo assim, é possível a associação de indutores em série, 
paralela ou mista.
Associação em série
A indutância equivalente (Leq) de uma associação em série é obtida somando 
os valores dos indutores,como na equação a seguir, mas deve ser observada 
a polaridade do indutor, indicada pelo ponto em uma de suas extremidades, 
como apresentado na Figura 2.
 Leq = (L1 + L2 + ⋯ Ln ) (2)
L1 L2 Ln
Figura 2. Associação série aditiva de indutores.
Para indutores associados com polaridade opostas, há uma redução da 
indutância equivalente (Leq), conforme apresentado na Figura 3 e demonstra-
do na equação.
TABELA 1. UNIDADES DE MEDIDAS EM HENRY
ELETROTÉCNICA 15
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L1 L2
L1 L2
L1
° ° °
L2 Ln
Figura 3. Associação série subtrativa de indutores.
Figura 4. Associação paralela de indutores. 
Em que: 
 Leq = (L1 + L2 - 2LM) (3)
O termo LM da equação se refere à indutância mútua dos indutores, que é 
uma indutância de interação entre os dois componentes.
Associação paralela
Para a associação paralela, deve-se observar a polaridade (Figura 4), e a 
indutância equivalente (Leq) é obtida pela seguinte equação:
 = + + ⋯
1
Leq
1
L1
1
L2
1
Ln 
 (4)
Comportamento do indutor em corrente contínua
O indutor é conhecido como um componente que reage contra as variações 
da corrente estabelecida pela fonte (IL). A Figura 5 apresenta um circuito em 
corrente contínua e os gráfi cos que permitem observar o que ocorre com a 
corrente no indutor quando alimentado por uma fonte de tensão constante.
ELETROTÉCNICA 16
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CH1
t = 0
IL(A) 
Vf(V) 
Carga do indutor
CH1 na posição 1 
Descarga do indutor 
CH1 na posição 2
t(s) 
t(s) Transitório 2Transitório 1
VL
Vf
IL
L
1 2
Figura 5. Circuito e gráficos.
 Ligando a chave CH1 na posição 1, no instante t = 0, a tensão da fonte ali-
menta instantaneamente o indutor em uma função degrau, ou seja, sai do 
valor 0 e vai para o máximo de tensão da fonte no mesmo instante, mas a 
corrente encontra uma oposição durante o transitório 1, que é o instante da 
autoindução, reduzindo seu valor por um tempo até chegar ao valor máximo 
em uma função logarítmica crescente. Quando a corrente se torna constante, o 
fluxo magnético também se torna constante.
No instante da comutação da chave CH1 para a posição 2, a tensão que 
alimenta o indutor cai a zero em uma função degrau. Com isso, a autoindução 
promove um fornecimento de corrente durante o transitório 2, em uma fun-
ção logarítmica decrescente, pelo fato de o indutor ter energia armazenada em 
forma de fluxo magnético. Conclui-se que os transitórios surgem pela variação 
da corrente elétrica na bobina. Por esse motivo, o indutor é considerado um 
componente reativo.
A relação entre a corrente (IL) no indutor e a tensão elétrica (VL) é dada pelas 
equações a seguir:
 (5)
 
 
(6)
IL=
t
0
vL · dt + IL
L = L ·
dIL
dt 
ELETROTÉCNICA 17
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Constante de tempo do indutor
No indutor aparecem tempos de energização e desenergização transitórios, 
sendo esses tempos muito pequenos. Desse modo, os tempos de duração dos 
transitórios 1 e 2 dependem da indutância da bobina (L) e do valor da resistên-
cia interna (Rb) do fi o que a constitui. 
Para análise, esse circuito é representado por um resistor em série com um 
indutor, conforme demonstrado na Figura 6.
Vf
Rb
L
+
-
Figura 6. Circuito RL série.
É possível calcular esse tempo e estabelecer uma constante de tempo re-
presentada pela letra grega “tau” e sua unidade é o segundo (s), conforme apre-
sentado a seguir:
 τ = 
L
Rb [s] (7)
Comportamento do indutor em corrente alternada
Em corrente alternada, especifi camente a senoidal, o indutor também 
reage contra as variações de corrente, mas como a função da tensão é se-
noidal, ou seja, alterna a polaridade periodicamente, obedecendo à função 
seno, o fenômeno que ocorre com a corrente é diferente do que ocorre em 
corrente contínua.
ELETROTÉCNICA 18
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Aplicando-se uma tensão alternada senoidal, o indutor atrasa a corrente 
elétrica de 90º em relação à tensão, como observado nos gráficos da Figura 7. 
Vf
IL
L VL
Vf(V)
IL(A)
Gráfico da tensão no indutor 
Gráfico da corrente no indutor 
Vmax
Imax
-Vmax
-Imax
0º 90º
θº
θº
Figura 7. Circuito e gráficos do indutor.
ELETROTÉCNICA 19
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O atraso de 90º da corrente elétrica em relação à tensão elétrica ocorre em 
um indutor ideal, ou seja, considerando a resistência elétrica do fio enrolado 
igual a zero. No entanto o ideal não existe, e isso não ocorre no indutor real, 
pois a parcela resistiva altera e reduz esse ângulo.
O atraso da corrente elétrica ocorre devido à indução eletromagnética pela 
qual o indutor é submetido. Essa indução segue o princípio da lei da indução 
eletromagnética, ou lei de Faraday, que afirma que um condutor imerso em 
um fluxo magnético variável induz uma corrente elétrica. Muitos equipamentos 
funcionam seguindo esse princípio, como o motor elétrico, o gerador elétrico, 
os transformadores, os sistemas de transmissão de rádios, entre outros.
Representação fasorial de tensão e corrente no indutor
Nessa forma de representação, a tensão e a corrente são apresentadas por 
vetores (fasores) posicionados em um círculo trigonométrico, ficando evidente 
em qual quadrante está localizada cada grandeza no instante de análise, con-
forme mostra o Gráfico 1.
GRÁFICO 1. DIAGRAMA FASORIAL
90°
v(t) 
i(t) 
180°
-90°
0°
ω
Matematicamente, as grandezas tensão e corrente elétrica no indutor são 
representadas na forma polar, conforme demonstrado a seguir: 
VL = v(t) ∠ 90º
IL = i(t) ∠ 0º
ELETROTÉCNICA 20
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Reatância indutiva
A reatância indutiva é a oposição à corrente elétrica alternada, oferecida 
pela parcela indutiva de um indutor. Ela é representada pela notação XL e, por 
ser oposição à corrente elétrica, é dada em ohms:
XL = 2π ∙ f ∙ L [Ω] (8)
Em que:
XL = reatância indutiva, em ohm;
f = frequência do sinal alternado, em hertz;
L = Indutância do indutor, em henry.
A corrente elétrica circulante em um indutor ideal é obtida pela lei de ohm, 
conforme demonstrado na equação a seguir:
 IL =
V
XL [A] 
 (9)
Fator de qualidade do indutor
O indutor ou bobina pode ser avaliado por sua qualidade por meio de um 
fator de qualidade (Q), que consiste em uma relação entre a reatância indutiva 
(XL) e a resistência interna do indutor (Ri). Esse fator é adimensio-
nal e deve ter um valor alto na frequência de operação à qual 
o indutor é submetido. Se o valor de Q for alto, signifi ca que o 
indutor é muito indutivo e pouco resistivo. Esse fator é dado 
conforme a equação a seguir:
 Q =
XL
Ri 
 (10)
Capacitores
O capacitor, conhecido também como condensador, é um componente 
muito importante em todos os sistemas eletroeletrônicos. Sua utilização é 
empregada em rádios, televisores, sistemas de telecomunicações, assim como 
em sistemas embarcados de automóveis, embarcações, aeronaves etc. Uma 
aplicação muito importante desse componente é na construção de bancos de 
capacitores para melhorar o fator de potência nas redes elétricas.
ELETROTÉCNICA 21
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O capacitor é um componente formado por duas placas, chamadas de ar-
maduras, conectadas a dois terminais. Essas armaduras são separadas por 
um dielétrico, que pode ser o ar ou algum outro material isolante, conforme 
apresentado na Figura 8, seguindo com as respectivas simbologias e indicando 
que existem capacitores polarizados para uso em corrente contínua e despo-
larizados para uso em corrente contínua e alternada. A letra C é habitualmente 
utilizada na nomenclatura desse componente.
Capacitor
polarizado 
TerminalTerminal
Dielétrico
Capacitor
despolarizado 
Armadura
Armadura
Figura 8. Capacitor.
Quando conectado a uma fonte de tensão contínua constante, o capacitor 
assume a mesma polaridade da fonte, ou seja, as armaduras ficam com a mes-
ma diferença de potencial da fonte e formam um campo elétrico que atravessa 
o dielétrico. Ao desligar a fonte, as cargas ficam aprisionadas nas armaduras, 
pois os elétrons da armadura na qual se encontram em excesso ficam atraídos 
pelas cargas positivas dos prótons da outra armadura.
A interação das cargas elétricas no capacitor ocorre devido à formação de 
um campo elétrico estático entre as armaduras, campo este que obedece a 
lei de Coulomb, ou lei da força elétrica. A lei de Coulomb afirma que a força 
eletrostática de atração das cargas elétricas é proporcional ao valor do módu-
lo das cargas elétricas e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
que as separam. Sendo assim, o capacitor funciona como um armazenador de 
tensão elétrica – isso pode ser observado na Figura 9.
ELETROTÉCNICA 22
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Figura 9. Carga do capacitor. 
Se a análise fosse feita em um capacitor ideal, ele fi caria carregado por um 
tempo infi nito. No entanto, para o capacitor real, a descarga acontece gradati-
vamente, pois há uma troca de cargas entre as armaduras e o dielétrico. Entre 
as armaduras e o meio no qual está o componente esse tempo é indefi nido 
devido à infl uência da temperatura ambiente, à umidade e, principalmente, ao 
tipo de capacitor utilizado.
Capacitância
A capacitância é uma grandeza elétrica que determina a capacidade de um 
capacitor armazenar cargas elétricas por meio do campo elétrico formado, en-
tre as armaduras. Sendo assim, para o capacitor armazenar cargas elétricas, é 
necessário que ele esteja conectado a uma fonte de tensão elétrica. Portanto, 
a capacitância é uma grandeza que pode ser medida, possuindo, assim, uma 
unidade de medida, o farad (F), em homenagem a Michael Faraday.
A capacitância (C) de um farad (F) é a capacidade que um capacitor tem de 
armazenar um Coulomb (Q) de carga elétrica entre as suas armaduras quando 
a tensão (V ) entre os terminais for de um volt, e pode ser escrita na forma da 
equação a seguir:
 C =
Q
V 
(11)
Vf
CH
C
+ + +
- - -
+ + +
- - -
+
- Vf
CH
C
+ + +
- - -
+ + +
- - -
+
-
ELETROTÉCNICA 23
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CURIOSIDADE
Michael Faraday (1791 – 1867) foi um cientista britânico que descobriu o 
gerador elétrico, o motor elétrico, trabalhou com pesquisas sobre eletróli-
se e inventou o voltímetro. A unidade da grandeza capacitância é o farad 
em sua homenagem.
No entanto, um farad é um valor muito alto. Sendo assim, é necessário 
apresentar, de forma diminuta, a unidade com seus submúltiplos, conforme 
indicado na Tabela 2.
Unidade Símbolo Valor numérico
farad F 1
milifarad mF 1 ∙ 10-3
microfarad µF 1 ∙ 10-6
nanofarad nF 1 ∙ 10-9
picofarad pF 1 ∙ 10-12
TABELA 2. SUBMÚLTIPLOS DE FARAD
A capacitância depende de algumas características físicas construtivas do 
componente, como área das armaduras, espessura e natureza do dielétrico, ou 
seja, de qual material ele é constituído. A equação da capacitância é apresen-
tada a seguir:
C = k (8,85 ∙ 10-12)
A
d (12)
Em que:
C = capacitância em farad (F);
k = constante dielétrica do isolante, valor adimensional;
A = área das armaduras em metros quadrados (m²);
d = espessura do dielétrico em metros (m).
Os capacitores são classificados por tipos, de acordo com a natureza do 
dielétrico e a aplicação. A Tabela 3 demonstra os principais tipos comerciais e a 
faixa aproximada de capacitância à qual cada um atende.
ELETROTÉCNICA 24
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Natureza do dielétrico Aspecto construtivo Faixa da capacitância
Ar Placas intercaladas 10 – 500 pF
Mica Folhas compactadas 10 – 5 nF
Fibra Natural (papel) Folha em espiral 1 nF – 1 µF
Cerâmica Formato disco 1 pF – 100 nF
Eletrolítico Alumínio 100 nF – 100 mF
TABELA 3. TIPOS DE CAPACITORES
Associação de capacitores
A associação de capacitores se faz necessária quando se deseja obter um 
valor de capacitor inexistente no mercado. Alguns aparelhos utilizam capaci-
tores associados, como sintonizadores analógicos de rádio e fi ltros passivos 
para caixas acústicas. Para tanto, são utilizadas formas de associações já co-
nhecidas, como em série, paralelas e mistas. Falaremos, a seguir, sobre as 
duas primeiras.
Associação em série
A capacitância equivalente (Ceq) necessária de uma associação em série é 
demonstrada na equação a seguir. A tensão elétrica aplicada na extremidade 
da associação será distribuída em cada capacitor, proporcionalmente à capa-
citância de cada um:
 = + + ⋯
1
Ceq
1
C1
1
C2
1
Cn (13)
Associação paralela
Na associação paralela, os capacitores fi cam dispostos de forma que a ca-
pacitância equivalente (Ceq) seja a soma das capacitâncias parciais. Além disso, 
a mesma tensão elétrica é aplicada a cada um, sendo que a tensão elétrica da 
fonte não pode ultrapassar a tensão de isolação nominal de cada capacitor da 
associação. A forma como são associados está representada na Figura 10.
 Ceq = (C1 + C2 + C3 + ⋯ Cn) (14)
ELETROTÉCNICA 25
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C1 C2 C3 Cn
+Vf
Vc
CH1
1 2
lc
-
Figura 10. Associação paralela de capacitores.
Comportamento do capacitor em corrente contínua
O capacitor é um componente reativo que reage contra as variações de ten-
são aplicadas. O circuito e os gráfi cos da Figura 11 apresentam a análise da 
carga e descarga do capacitor, podendo ser verifi cado o que acontece com a 
tensão e corrente elétrica no capacitor.
ELETROTÉCNICA 26
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Vc (V)
t = 0
lc(A)
t(s)
CH1 posição 1
transitório 1 transitório 2
CH1 
posição 2
Figura 11. Circuito e gráficos da carga e descarga do capacitor.
É possível observar que durante a carga, ou seja, no momento em que a 
chave CH1 está na posição 1, o capacitor reage contra a tensão elétrica apli-
cada durante o transitório 1, e a tensão aumenta em uma função logarítmica 
crescente até o capacitor estar carregado com a tensão da fonte. A corrente 
elétrica, por sua vez, decai em uma função logarítmica decrescente, até ficar 
com o valor nulo. 
No entanto, na descarga do capacitor, ou seja, com a chave na posição 2, o 
capacitor continua fornecendo tensão durante o transitório 2 até a descarga 
completa. A corrente elétrica no instante da descarga, então, torna-se nega-
tiva, pois está saindo do capacitor e é reduzida gradativamente até ficar nula. 
Após esse tempo, o capacitor está totalmente descarregado.
ELETROTÉCNICA 27
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Constante de tempo do capacitor
Os tempos de carga e descarga do capacitor podem ser determinados e 
são muito utilizados na confecção de temporizadores eletrônicos. Como esse 
tempo é muito curto para análise, fi ca associado ao capacitor um resistor em 
série, formando, assim, um circuito RC série, conforme demonstrado na Figura 
12, retardando o tempo de carga e o eventual tempo de descarga.
R
CVf
Figura 12. Circuito RC série.
A constante de tempo pode ser determinada pela equação a seguir e a sua 
unidade é o segundo. No tempo de um “tau”, o capacitor estará com 63% da 
tensão da fonte. A partir de cinco vezes a constante “tau”, o capacitor estará 
totalmente carregado.
 τ = R ∙ C [s] (15)
Comportamento do capacitor em corrente alternada
No comportamento em corrente alternada senoidal, o capacitor também 
reage contra as variações da tensão elétrica aplicada. No entanto, o fenômeno 
que ocorre com a tensão e a corrente é diferente do que ocorre naaplicação 
em corrente contínua.
ELETROTÉCNICA 28
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID1.indd 28 01/02/2021 13:44:57
Aplicando-se uma tensão alternada senoidal, de acordo com o demonstra-
do no circuito da Figura 13, o capacitor adianta a corrente elétrica de 90º em 
relação à tensão. O capacitor real utilizado em corrente alternada se comporta 
muito próximo do ideal, pois a sua resistência interna é extremamente baixa, 
ou seja, quase desprezível.
Figura 13. Circuito e gráficos do capacitor.
Vf C Vc
lc
Vf(V) Gráfico da tensão no capacitor
lc(A) Gráfico da corrente no capacitor
Vmax
lmax
-Vmax
-lmax
0O
0O
90O
90O
0O
0O
ELETROTÉCNICA 29
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Representação fasorial de tensão e corrente no capacitor
Nos gráfi cos da Figura 13, a tensão e a corrente elétrica aplicada no capaci-
tor estão representadas na forma planifi cada, mas também é comum encon-
trarmos a representação na forma fasorial. Nesta forma de representação, a 
tensão e a corrente são apresentadas por vetores (fasores) posicionados em 
um círculo trigonométrico, fi cando evidente em qual quadrante está localizada 
cada grandeza no instante de análise, conforme mostra o Gráfi co 2.
90º
-90º
i(t)
v(t)
ω
180º 0º
GRÁFICO 2. DIAGRAMA FASORIAL
Matematicamente, as grandezas tensão elétrica e corrente elétrica no capa-
citor são representadas na forma polar, conforme demonstrado a seguir:
VC = v(t) ∠ O°
IC = i(t) ∠ -90°
Reatância capacitiva
A reatância capacitiva é a oposição à corrente elétrica alternada oferecida 
por um capacitor e é representada pela notação XC e por ser oposição a corren-
te elétrica é dada em ohms e segue a equação abaixo.
ELETROTÉCNICA 30
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 [Ω]XC =
1
2π · f · C (16)
Em que:
XC = reatância capacitiva, em ohm;
f = frequência do sinal alternado, em hertz;
C = capacitância do capacitor, em farad.
A corrente elétrica circulante em um capacitor é obtida 
pela lei de ohm conforme demonstrado na equação a seguir:
 [A]IC =
V
XC (17)
Impedância
A associação de componentes passivos reativos resulta em uma oposição 
total à circulação da corrente elétrica alternada. Essa oposição tem o nome de 
impedância e é representada pela notação Z, e sua unidade é o ohm (Ω).
Existem vários tipos de associações de tais componentes: RL série e parale-
lo, RC série e paralelo, RLC série e paralelo, RL, RC e RLC misto. Nesta unidade, 
serão abordados somente os tipos circuito RL, RC e RLC série, pois são os casos 
de associação mais encontrados.
Toda impedância possui uma parcela resistiva que assume valores positi-
vos e uma parcela reativa (XL ou XC) que pode assumir valores positivos ou 
negativos. Para facilitar essa análise, utilizaremos os números complexos como 
ferramenta matemática.
No século XIX, poucos possuíam o conhecimento matemático e físico ne-
cessário para compreender a corrente alternada. Em 1893, Charles Proteus 
Steinmetz apresentou um método matemático de cálculo, 
intitulado transformada de Steinmetz, aplicado a circuitos 
elétricos em corrente alternada. Esse método utiliza nú-
meros complexos para simplifi car o entendimento e a 
aplicação da corrente alternada.
Nos circuitos em corrente alternada, as tensões 
e as correntes são variáveis no tempo e os métodos 
matemáticos utilizados para a resolução desses cir-
ELETROTÉCNICA 31
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cuitos em função do tempo são extremamente trabalhosos, demandando mui-
to tempo. Na transformada de Steinmetz, as grandezas no domínio do tempo 
são transformadas para o domínio complexo e as operações matemáticas, tais 
como soma, subtração, multiplicação e divisão, inerentes à análise de circuitos 
elétricos, são efetuadas de uma forma mais simples.
Após a obtenção dos valores de corrente e tensão do domínio complexo de 
Steinmetz, é possível voltar para o domínio do tempo, aplicando a antitransfor-
mada de Steinmetz.
Transformada de Steinmetz
A transformada de Steinmetz consiste em converter a tensão ou a corrente 
no domínio do tempo para o domínio complexo de Steinmetz. Dessa forma, a 
tensão v(t) é representada de acordo os exemplos a seguir:
CURIOSIDADE
Karl August Rudolf Steinmetz, pseudônimo Charles Proteus Steinmetz (1865 - 
1923), foi um matemático, engenheiro eletricista alemão e professor no Union 
College. Formulou teorias matemáticas para os projetos desenvolvidos por 
engenheiros, em especial, os motores elétricos para uso na indústria.
Aplicação da transformada para tensão elétrica alternada v(t):
No domínio do tempo:
V(t) = Vmax ∙ sen(ω ∙ t ± Θ) → v(t) = 311,13 ∙ sen(ω ∙ t + 45°) (18)
No domínio de Steinmetz:
V = Vef ∠ Θ° → V = 
Vmax
√2 ∠ Θ° → V = 
311,13
√2 ∠ 45° → V = 220V ∠ 45° (19)
Aplicação da transformada para corrente elétrica alternada i(t):
No domínio do tempo:
i(t) = Imax ∙ sen(ω ∙ t±ϕ) → i(t) = 28,28 ∙ sen(ω ∙ t + 30°) (20)
No domínio de Steinmetz:
I = Ief ∠ ϕ → I = 
Imax
√2
 ∠ ϕ → I = 
28,28
√2
 ∠ 30° → I = 20 A ∠ 30° (21)
ELETROTÉCNICA 32
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Aplicação da transformada para impedâncias resistivas:
Para a carga resistiva, a corrente está em fase com a tensão. Portanto, o 
ângulo de carga (φ) sempre será igual a (0°).
Forma retangular:
ZR = (R + 0j)
Forma polar:
ZR = R ∠ 0°
Na impedância indutiva, a corrente está atrasada em relação à tensão. Por-
tanto, o ângulo de carga (φ) sempre será positivo.
Forma retangular:
ZL = (Rb + XLj)
Forma polar:
ZL = Z ∠ φ° → 0° < φ < 90°
Na impedância capacitiva, a corrente está adiantada em relação à tensão. 
Portanto, o ângulo de carga (φ) sempre será negativo.
Exemplo de cálculo:
Um equipamento industrial possui um resistor, um indutor e um capacitor 
na constituição do seu circuito elétrico. Deseja-se obter o valor da impedância 
na forma retangular e polar, no domínio complexo de Steinmetz, para cada um 
dos componentes, sendo o valor da frequência igual a 60 Hz e o valor de cada 
componente apresentado a seguir:
Resistor R = 10 Ω;
Indutor Rb = 2,5 Ω e L = 11,49 mH;
Capacitor Rc = 0,87 Ω e C = 266 μF.
Impedância resistiva ZR:
Forma retangular:
ZR = (R + 0j)
 ZR = (10 + 0j) (22)
ELETROTÉCNICA 33
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Forma polar:
ZR = (R + 0j ) conversão R → P → ZR = R ∠ 0°
 ZR = (10 + 0j ) conversão R → P → ZR = 10 Ω ∠ 0° (23)
Impedância indutiva ZL:
Forma retangular:
ZC = (Rc – XCj)
 XC = 
1
2π · f · C → XC = 
1
2π ∙ 60 ∙ 266 ∙ 10-6 → XC = 10 Ω (24)
ZC = (Rc – XCj) → ZC = (0,87 – 10j)
Forma polar:
ZR = (Rc - XCj) conversão R → P → ZC = z ∠ -φ 
 ZR = (0,87 - 10j) conversão R → P → ZC = 10 Ω ∠ -85° (25)
Antitransformada de Steinmetz
A antitransformada de Steinmetz permite converter um valor de tensão ou 
corrente do domínio complexo de Steinmetz para o domínio do tempo. O pro-
cesso a seguir representa essa transformação.
Exemplo para a conversão da tensão:
Domínio complexo de Steinmetz:
 
 V = Vef ∠ ± Θ → V = 220 V ∠ 60° (26)
Domínio do tempo:
V(t) = Vmax ∙ sen(ω ∙ t ± Θ)
 Vmax = √2 ∙ Vef → Vmax = √2 ∙ 220 → Vmax = 311,13 V (27)
V(t) = 311,13 ∙ sen(ω ∙ t + 60°)
Exemplo para a conversão da corrente:
Domínio complexo de Steinmetz:
 I = Ief ∠ ϕ → I =1 4,14 A ∠ 45° (28)
Domínio do tempo:
ELETROTÉCNICA 34
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 i(t) = Imax ∙ sen(ω ∙ t ± ϕ)
 Imax = √2 ∙ 14,14 → Imax = 20 A (29)
i(t) = 20 ∙ sen(ω ∙ t 45°)
Circuito RL série
O circuito RL sérieé formado por um indutor e um resistor ligado em sé-
rie, que na maioria das vezes é a própria resistência interna da bobina. Esse 
componente pode ser alimentando por uma fonte de corrente alternada que 
encontra oposição total, conhecida como impedância indutiva (ZL), conforme 
demonstrado na Figura 14.
V
R
ZL L
I
~
Figura 14. Impedância Indutiva.
A impedância desse circuito pode ser representada de forma gráfi ca, sendo 
conhecida como triângulo da impedância indutiva. Sendo assim, pelo fato de 
ocorrer uma defasagem entre tensão e corrente no componente, a oposição 
da parcela reativa e a oposição da parcela resistiva são somadas pelos fasores 
da reatância indutiva e pelo fasor da resistência elétrica. Essas somatórias são 
representadas na forma vetorial.
ELETROTÉCNICA 35
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID1.indd 35 01/02/2021 13:44:58
Para a impedância ser equacionada, utiliza-se um triângulo retângulo. Des-
sa forma, é possível utilizar aplicar as equações de Pitágoras. É importante 
informar que o ângulo ϕ representa o ângulo de defasagem entre a tensão 
elétrica e a corrente elétrica no indutor, conforme representado na Figura 15. 
XL XLZL
Rb
90º
φ
-90º
180º 0º
φ
ZL = Rb² + XL²
Rb = ZL² - XL²
XL = ZL² - Rb²
Figura 15. Diagrama fasorial e triângulo da impedância indutiva.
A relação entre a tensão, corrente e impedância nesse tipo de circuito obe-
dece a lei de ohm:
 [A]I =
V
ZL 
 (30)
Circuito RC série
O circuito RC série é formado por um resistor e um capacitor ligados em sé-
rie e alimentados por uma fonte de corrente alternada. A fonte encontra como 
oposição total uma impedância capacitiva (ZC). Como a resistência interna do 
capacitor não é nula, a impedância capacitiva (ZC) corresponde à soma total da 
resistência interna do capacitor (RC) com a reatância capacitiva (XC), conforme 
pode ser visto na Figura 16.
ELETROTÉCNICA 36
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ZC
C
R
I
V
.
Figura 16. Impedância capacitiva.
A impedância capacitiva do circuito RC série pode ser representada por fa-
sores, como no diagrama fasorial. Além disso, ela é conhecida como triângulo 
da impedância capacitiva. O ângulo -ϕ representa o ângulo de defasagem entre 
a tensão e corrente elétrica no capacitor, conforme representado na Figura 17.
90º
-90º
Rc
XC
ZC
-φ
-φ180º 0º
XC = √ZC2 - Rc2
ZC = √Rb2 + XC2
Rc = √ZC2 - XC2
Figura 17. Diagrama fasorial e triângulo da impedância capacitiva.
 A relação entre a tensão, corrente e impedância nesse tipo de circuito tam-
bém obedecem a lei de ohm, como segue.
 [A]I =
V
ZC (31)
ELETROTÉCNICA 37
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Circuito RLC série
O circuito RLC é formado por um resistor, um indutor e um capacitor asso-
ciados em série, conforme mostra a Figura 18. 
°
°
°
°
Vf
R
C
L~
Figura 18. Circuito RLC série.
Vejamos, a seguir, um exemplo no qual o circuito é alimentado por uma 
fonte de tensão alternada senoidal com frequência de 60 Hz e os componentes 
possuem os seguintes valores:
R = 5 Ω;
L = (Rb = 5 Ω e Lb = 23 mH);
C = (Rc = 0,436 Ω e C = 533 μF).
a) Cálculo da impedância em cada um dos componentes do circuito módulo 
e ângulo:
Impedância resistiva ZR:
 
 ZR = (R + 0j) → ZR = (5 + 0j) (32)
Conversão:
 (R → P) → ZR = 5 Ω ∠ 0° (33)
ELETROTÉCNICA 38
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Impedância indutiva ZL:
ZL = (Rb + XLj)
 XL = ω ∙ L → XL = 2π ∙ f ∙ L → XL = 2π ∙ 60 ∙ 23 ∙ 10-3 → XL = 8,67 Ω (34)
ZL = (5 + 8,67J)
Conversão:
 (R → P) → ZL = 10 Ω ∠ 60° (35)
Impedância capacitiva ZC:
ZC = (Rc – XCj)
 
 XC = 
1
ω · C → XC = 
1
2π · f · C
 → XC = 
 1
2π · 60 · 533 · 10-6 → XC = 4,98 Ω (36)
Zc = (0,436 – 4,98 j)
Conversão:
 (R → P) → ZC = 5 Ω ∠ 85° (37)
b) Cálculo da impedância total do circuito módulo e ângulo:
ZT = ZR + ZL + ZC
 ZT = 95 + 0j) + (5 + 8,67j) + (0,436 – 4,98 j) (38)
ZT = (10,436 + 3,69 j)
Conversão:
 (R → P) → ZT = 11,07 Ω ∠ 19,5° (39)
Como o ângulo da impedância total é positivo (19,5°), a 
predominância é do indutor. Portanto, a corrente total do cir-
cuito está atrasada em relação à tensão da fonte em 19,5°.
ASSISTA
O filme A batalha das correntes conta a história da disputa 
entre Thomas Edison e George Westinghouse pelo domínio 
do fornecimento de energia elétrica no início do século XX, 
nos Estados Unidos. Edison era a favor da corrente contí-
nua e Westinghouse defendia o uso da corrente alternada. 
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Sintetizando
Nesta unidade, foi possível verificar a importância de se construir o conhe-
cimento em torno dos conceitos das grandezas elétricas denominadas indutân-
cia e capacitância. Para tanto, apresentamos os componentes que produzem 
esses fenômenos, bem como a forma como interagem com outras grandezas 
elétricas, como tensão elétrica, corrente elétrica e impedância.
Além disso, aprendemos sobre a associação desses componentes e a aná-
lise do comportamento em corrente contínua e corrente alternada, bem como 
as aplicações dessas tecnologias em sistemas elétricos atuais.
Em seguida, verificamos a necessidade de uma modelagem matemática 
complexa para realizar esses cálculos, o que é comum na área das exatas. Sen-
do assim, apresentamos equações com números complexos e a aplicação de 
transformadas de Steinmetz. 
Por fim, verificamos que a compreensão dos fenômenos apresentados é 
necessária para um maior desenvolvimento do conhecimento agregado às tec-
nologias dos sistemas de rede em corrente alternada CA.
ELETROTÉCNICA 40
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Referências bibliográficas
A BATALHA das correntes. Publicado por Mundo dos Trailers. (2 min. 48 s.). 
color. son. leg. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=LKH9wJ-
TH5yc&t=2s. Acesso em: 28 ago. 2020. 
BIRD, J. Circuitos elétricos: teoria e tecnologia. 3. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 
2009.
GUSSOW, M. Eletricidade básica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
MARKUS, O. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. 8. ed. 
São Paulo: Editora Érica, 2008.
ELETROTÉCNICA 41
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CIRCUITOS 
MONOFÁSICOS E 
SISTEMAS TRIFÁSICOS 
EQUILIBRADOS
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar conceitos, aplicações e análise sobre circuitos monofásicos;
 Apresentar conceitos, aplicações e análise sobre sistemas trifásicos 
equilibrados.
 Circuitos monofásicos
 Gerador monofásico
 Onda de tensão senoidal
 Transformador monofásico
 Sistemas trifásicos equilibrados
 Gerador trifásico
 Análise do sistema trifásico 
com carga equilibrada
 Transformador trifásico
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Circuitos monofásicos
Os circuitos monofásicos são largamente utilizados em locais como resi-
dências, escritórios e comércios, além de diversos ambientes industriais. Eles 
recebem esta nomenclatura devido ao fato de possuírem apenas uma fase de 
tensão e corrente alternada, ou seja, alimentam cargas com apenas um valor 
de tensão elétrica entre dois pontos, com diferença de potencial alternado se-
noidal. Ademais, apenas um valor de corrente elétrica circula nesses circuitos 
da rede de distribuição elétrica, conforme demonstra a Figura 1.
Carga
monofásica
Carga
monofásicaRede Rede
L1
(a) (b)
L1
N L2
Figura 1. Circuitos monofásicos.
É comum utilizar-se o termo monofásico para um sistema com uma fase de 
tensão mais o neutro da rede (L1+N) e o termo bifásico para um sistema com 
duasfases de tensão (L1+L2); no entanto, o conceito bifásico está incorreto, 
uma vez que não há sistemas bifásicos, apenas monofásicos e trifásicos.
Gerador monofásico
O gerador monofásico é uma máquina elétrica rotativa capaz de gerar uma 
onda de tensão e corrente alternadas, e seu princípio de funcionamento rela-
ciona-se à lei da indução eletromagnética de Faraday. Assim, um gerador de 
corrente alternada elementar consiste em um conjunto de espiras enroladas, 
formando uma bobina imersa em um fl uxo magnético variável. O princípio da 
geração está atrelado ao movimento da bobina ou do fl uxo magnético que cor-
ta as espiras, apresentado na Figura 2. Sendo assim, pode-se afi rmar que é 
necessário movimento para a conversão eletromecânica de energia.
ELETROTÉCNICA 44
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i
F
F
N
S
Φ
RPM
Figura 2. Gerador CA elementar.
A tensão elétrica que é induzida nas bobinas de um gerador é conhecida como 
força eletromotriz (f.e.m.), e pode ser determinada de acordo com a seguinte equação:
ϵ = U + ri · I [V] (1)
Em que:
ϵ = força eletromotriz [V];
U = tensão elétrica de saída do gerador [V];
ri = resistência interna do gerador [Ω];
I = corrente elétrica [A].
Onda de tensão senoidal
O valor da tensão elétrica gerada varia no domínio do tempo ou no domínio an-
gular, uma vez que o gerador é rotativo e, em cada posição angular, induz-se uma 
força eletromotriz diferente. Assim, as grandezas elétricas em corrente alternada 
são vetoriais e, portanto, possuem módulo, direção e sentido. Para um modela-
mento adequado, considera-se o círculo trigonométrico, que apresenta os fasores 
da grandeza, e a forma de onda gerada planifi cada, como evidencia a Figura 3.
i
ELETROTÉCNICA 45
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Características do sinal senoidal
O sinal alternado senoidal possui características específicas, posto que é uma for-
ma de onda dinâmica, e para facilitar sua análise é ideal considerar o sistema parado 
no tempo. Como exemplo, aqui se utiliza valores de tensão elétrica, mas as mesmas 
equações podem ser aplicadas para corrente elétrica ao se alterar sua grandeza.
Valor instantâneo da tensão V(t)
É possível notar na Figura 3 que o valor de tensão instantânea no gráfico 
planificado muda em função do ângulo do gerador ou do tempo em milisse-
gundos. Dessa maneira, a equação da tensão elétrica do gerador de CA em seu 
respectivo domínio pode ser representada por:
90°
90°
V
V
V
Vmax
Vmax
t(ms)
θ = ωtω
θθ
θ
45°
30°
180°
180°
270°
270° 360°
0° 0°
Figura 3. Círculo trigonométrico planificado.
V(t) = Vmax · sen(ωt ± φ) [V] (2)
Em que:
V(t) = tensão elétrica em função do tempo em volt [V];
Vmax = tensão máxima produzida pelo gerador em volt [V];
ω = velocidade angular do gerador em radianos por segundo [rad/s];
φ = ângulo de defasagem do sinal em graus [º].
DICA
A velocidade angular configura-se como o deslocamento dos fasores no tempo 
e é comumente representada através da letra grega ômega minúscula (ω). As-
sim, esta é uma relação do período da onda com a frequência, como perceptível 
pelas equações ω = 2π · f ou ω = 2π/T, sendo f = frequência e T = período.
ELETROTÉCNICA 46
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Período (T)
Medido em segundos (s), período é o tempo necessário para um gerador ou cir-
cuito elétrico fornecer uma forma de onda completa de tensão ou corrente. Para um 
giro completo do rotor do gerador (360°), uma forma de onda com semiciclo positivo 
e negativo é gerada, definindo um período completo. Após este instante, a forma de 
onda se repete. Assim, o período é uma relação inversa da frequência (f) da onda:
T = [s] (3)
f = [Hz] (4)
1
1
f
T
Frequência (f)
É o número de ciclos completos da forma de onda em um segundo e sua 
unidade é o hertz (Hz). Isso posto, a frequência configura-se como uma relação 
com o período (T) e é definida pela seguinte equação:
CURIOSIDADE
No Sistema Elétrico Brasileiro, a frequência é de 60 Hz, uma vez que o 
Brasil foi eletrificado por empresas estadunidenses. No entanto, a maio-
ria dos países da América do Sul foi eletrificada por empresas euro-
peias, em que a frequência padrão é de 50 Hz.
Valores máximos (Vmax ou - Vmax)
É o maior valor instantâneo positivo ou negati-
vo atingido pela forma de onda. No caso apresenta-
do é 90º e 270º, além de ser denominado também de valor 
de pico (Vp). É igualmente conveniente considerar 
o valor pico a pico (Vpp), que equivale a duas 
vezes o valor máximo Vpp = 2 · (Vmax), como 
evidenciado na Figura 4.
ELETROTÉCNICA 47
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 47 01/02/2021 14:02:04
Vmax
Vpp 0
-Vmax
Figura 4. Vmax e Vpp.
Valor médio da tensão (Vmed)
É o valor da componente contínua de um sinal alternado, sendo sempre zero 
para uma onda alternada simétrica. Ou seja: o semiciclo positivo e o semiciclo ne-
gativo são iguais em área. Seu valor pode ser calculado pela equação geral a seguir:
Vmed = f(t)dt (5)
Vmed = Vmax · sen(θ)dθ (6)
Vmed = sen(θ)dθ → sen(θ) = -cos(θ) (7)
Vmed = [-cos(θ) ]| → Vmed = {[-cos(2π) ]-[-cos(0) ]} (8)
Vmed = [-1+1] → {Vmed=0} (9)
1
1
Vmax
Vmax
Vmax
Vmax
T
2π
2π
2π
2π
2π
T
2π
2π
2π
0
0
0
0
∫
∫
∫ ∫
ELETROTÉCNICA 48
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Valor eficaz ou valor RMS (Vef)
É o valor da tensão que realmente (eficazmente) produz trabalho e é equi-
valente ao valor médio (contínuo) que dissipa a mesma potência em uma carga 
resistiva. A Figura 5 exemplifica este conceito:
VDC
R1
100 °C
+
- VAC
R1
100 °C
Figura 5. Tensão eficaz.
Para uma carga resistiva, como um chuveiro elétrico, por exemplo, dissipar 
uma potência de 4500 W em 220 Vca, este necessita de 220 Vcc para dissipar a 
mesma potência. Assim, o valor eficaz é a raiz média quadrática (root mean squa-
re) dos valores dos dois semiciclos de sinal alternado, estabelecendo-se por uma 
relação com o valor máximo da onda, como demonstrado nas equações a seguir:
Vef = → Vef = Vmax2
2 { }√ Vmax
√2
(15)
Vef2 = − − − sen2(0)
4[ [] ]Vmax2
2π
sen2(2π)
4
2π
2
0
2 (13)
Vef2 = − |2π
0[ ]Vmax2
2π
sen2(θ)
4
θ
2 (12)
Vef2 = Vmax2 · sen2(θ)dθ → Vef2 = sen2(θ)dθ2π
0∫
2π
0∫
1
2π
Vmax2
2π
(11)
Vef2 = f2(t)dt
1
T
T
0∫ (10)
(14)Vef2 = Vmax2
2π [ ]2π
2
ELETROTÉCNICA 49
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 49 01/02/2021 14:02:05
Defasagem entre sinais alternados
Ao comparar dois sinais alternados, estes podem apresentar uma defasa-
gem angular entre si, como exemplificado na Figura 6. Os sinais 1 e 2 estão 
defasados em um ângulo θ e, para este caso, o sinal 2 está atrasado em relação 
ao sinal 1. Sendo assim, as equações 16 e 17 apresentam cada sinal de tensão:
Vsinal1(t) = Vmax1 · sen(ωt) [V]
Vsinal2(t) = Vmax2 · sen(ωt-θ) [V]
100.00
- 100.00
- 150.00
900.00 905.00 910.00
Tempo (ms)
915.00 920.00
150.00
Vmax 1
Vmax 2
Sinal_1 Sinal_2
50.00
- 50.00
0.0
θ
Figura 6. Sinais defasados.
Análise de redes de corrente alternada
A rede elétrica é o circuito distribuidor de corrente elétrica que faz a ligação 
entre uma fonte geradora de tensão e diversas unidades de consumo. Também 
pode ser denominada apenas de rede ou, neste caso, rede em CA. O cálculo dos 
parâmetros para estruturação de um circuito desse tipo, contendo resistores, 
indutores e capacitores, é facilitado ao utilizar-se, para isso, números complexos.
(16)
(17)
ELETROTÉCNICA 50
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 50 01/02/2021 14:02:05
Número complexo é o número que exprime uma grandeza medida em uni-
dades que não guardam entre si relações decimais, como, por exemplo, horas, 
minutos e segundos. Assim, os números complexos, além de representarem 
números reais, representam números imaginários. A aplicação dessa particu-
laridade no âmbito da análise de redes de corrente alternada é utilizadana de-
finição de valores para ângulos de fase. Ademais, um número complexo pode 
ser apresentado das seguintes formas:
Z = a + bi (18)
j = √-1 (22)
Z = - a + bi (20)
j2 = -1 (24)
Z = a − bi (19)
(j)2 = (√-1)2 (23)
Z = -a − bi (21)
Sendo: (a) a parte real, (b) o coeficiente da parte imaginária e a unidade i um 
operador imaginário complexo.
A unidade i é igual a √-1 . Matematicamente, sabe-se que iº = 1, i² = -1, i³ = -i, e 
assim por diante. Na análise de redes em corrente alternada, utiliza-se o opera-
dor j, ao invés do i, para não haver ambiguidade em relação ao i de intensidade 
de corrente elétrica. Desse modo, a relação apresenta-se do seguinte modo:
Pode-se deduzir também que:
j0 = 1
j² = -1
j³ = j² . j = (-1) . j = -j
j4 = j² . j² = (-1) . (-1) = 1
j5 = j² . j² . j = (-1) . (-1) . j = j
j6 = j² . j². j² = (-1) . (-1) . (-1) = -1
Isso posto, pode-se afirmar que um número complexo possui três formas 
diferentes de representação:
ELETROTÉCNICA 51
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 51 01/02/2021 14:02:05
• Forma retangular;
• Forma polar;
• Forma trigonométrica.
As formas majoritariamente utilizadas são as retangulares e polares, e se-
rão abordadas a seguir.
Forma retangular
O número complexo Z= a + bj, pode ser representado graficamente como na 
Figura 7, sendo a e b números reais e j uma representação da unidade imaginária.
Eixo imaginário (Im)
Eixo real (r)
z (a, b)
r
b
a0
Figura 7. Representação retangular.
Agora, observe a seguir uma representação dos números complexos na 
Figura 8, que apresenta os números no plano cartesiano.
Imaginário
Real
-4
-3
-2
-1
-5
Z5 Z7
Z2
Z1Z3
Z4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 60
1
2
3
Figura 8. Representação de números complexos na forma retangular.
Z6
ELETROTÉCNICA 52
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 52 01/02/2021 14:02:05
Z1 = 4 + 3j
Z2 = 5
Z3 = 3j
Z4 = -3 + 2j
Z5 = -4 - 3j
Z6 = -2j 
Z7 = 3 – 4j
Im
b
a0
Z
Z
r
Figura 9. Representação polar do fasor 0Z.
Forma polar
Considere o número complexo Ż = a + bj. Na forma polar, o segmento de 
reta 0Z representa o módulo do número complexo Z e φ representa o argu-
mento (ângulo ou fase) de Z, tomando como referência a parte positiva do eixo 
real. Sendo assim, a forma polar é representada como Z = Z φ, e graficamente 
como se segue na Figura 9.
O ângulo φ pode ser dado em graus (°) ou em radianos (rad), e a conver-
são de uma unidade para outra é realizada por uma regra de três simples. Por 
exemplo: para converter 30° para radianos e π/2 rd para graus,v tem-se que:
φ
EXPLICANDO
Os números complexos podem representar diversas grandezas elétricas em 
corrente alternada, como tensão elétrica, corrente elétrica, resistência elétrica, 
reatância capacitiva, reatância indutiva, impedância e potência elétrica.
ELETROTÉCNICA 53
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 53 01/02/2021 14:02:05
π → 180°
Logo φ = → φ = rad30 · π π
180 6
→ φ (°)π
2
Logo φ = → φ = 90°π
180ºπ
2
(25)
(26)
π → 180°
φ (rad) → 30°
Transformação da forma retangular em polar
A transformação da forma retangular para a polar é obtida através das se-
guintes expressões: Z = √a2 + b2
φ = arc tg
(27)
(28)
[a]
[b]
Dependendo do quadrante em que está localizado o fasor 0Z, o cálculo do 
ângulo φ precisa ser corrigido para que seu valor tenha como referência parte 
positiva do eixo real. Assim, no círculo trigonométrico o sentido anti-horário é 
positivo, ao passo que o horário se configura como negativo.
Transformação da forma polar em retangular
A transformação da forma polar para a retangular obtém-se através das 
relações trigonométricas do triângulo retângulo, conforme as expressões de a 
e b extraídas da Figura 10 e exemplificadas na sequência.
a
Z
φ
z
z . cos φ
z . sen φ
Im
b
0
Figura 10. Triângulo retângulo.
a = Z . cos φ
b= Z . sen φ
(29)
(30)
ELETROTÉCNICA 54
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 54 01/02/2021 14:02:05
polar: Z = 5 30°
a = Z × cosφ → a = 5 × cos30° → a = 5 × 0,87 → a = 4,33
b = Z × senφ → b = 5 × sen30° → b = 5 × 0,5 → b = 2,5
retangular: Z = 4,33 + 2,5j
Diagrama fasorial
O diagrama fasorial é um recurso utilizado para representar graficamente 
uma grandeza de forma simplificada, permitindo, inclusive, operações de soma 
e subtração de diversas grandezas elétricas. A Figura 11 apresenta um diagrama 
fasorial de um valor de tensão Vp, posicionado no primeiro quadrante a 60°. As-
sim, é possível decompor esse fasor em coordenadas retangulares ou polares.
60O
0
Vp
P
V(θ)
t = 0
ω
Figura 11. Diagrama fasorial de tensão.
Operações matemáticas com números complexos
Para tornar as operações matemáticas mais fáceis, a adição e subtração de 
complexos são realizadas na forma retangular, ao passo que a multiplicação 
e a divisão são efetuadas na forma polar. Como exemplo, dados os seguintes 
números complexos, tem-se que:
Z1 = a1 + b1j; Z2 = a2 + b2j e Z3 = a3 + b3j
Adição
Z = (a1+ a2 + a3) + (b1+ b2 + b3) j
Subtração
Z = [(a1-a2)-a3] + [(b1-b2)-b3] j
É possível observar que a adição ou subtração da parte real de um número 
é realizada com o real do outro e a imaginária com o imaginário do outro. Isso 
posto, para multiplicar ou dividir a forma polar mostra-se mais prática, visto 
ELETROTÉCNICA 55
SER_ENGPROD_ELETROTECNI_UNID2.indd 55 01/02/2021 14:02:05
que na multiplicação multiplica-se o módulo e soma-se os ângulos, enquanto 
que na divisão divide-se os módulos e subtrai-se os ângulos. Assim:
Z1 = Z1 φ1 e Z2 = Z2 φ2
Multiplicação
Z1 × Z2 = Z1× Z2 φ1 + φ2
Divisão
 φ1 - φ2Z1
Z2
Transformador monofásico
O transformador é uma máquina estática que tem como função adequar 
valores de tensão e corrente provenientes de uma fonte alternada (primário) e 
aplicá-los a uma carga (secundário). Essencialmente, um transformador consis-
te em dois ou mais enrolamentos interligados por um fl uxo magnético mútuo.
Características e funcionamento do transformador monofásico
Estando o enrolamento primário conectado a uma fonte de tensão alterna-
da, um fl uxo alternado será produzido, sendo que a amplitude dependerá da 
tensão do primário e do número de espiras. O fl uxo mútuo que une o outro en-
rolamento, o secundário, induzirá uma tensão cujo valor dependerá do número 
de espiras da bobina do secundário. Pela proporção do número de espiras do 
primário e do secundário, chega-se à relação desejada da tensão através da 
relação de transformação. Assim, a estrutura básica e as grandezas que intera-
gem no transformador são demonstradas na Figura 12.
i1
R1
N1 N2
V1 V2
R2
Ze1 e2
+ +
- -
i2
Φm
Φmℓ1 Φmℓ2
Figura 12. Transformador monofásico.
ELETROTÉCNICA 56
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Em que:
V1 = tensão no primário;
i1 = corrente no primário;
R1 = resistência do enrolamento primário;
e1 = tensão induzida no enrolamento primário;
V2 = tensão no secundário;
i2 = corrente no secundário;
R2 = resistência do enrolamento secundário;
e2 = tensão induzida no enrolamento secundário;
N1 = número de espiras do primário;
N2 = número de espiras do secundário;
Φm = fluxo magnético mútuo entre o primário e o secundário;
Φmℓ1= fluxo magnético de dispersão do enrolamento primário;
Φmℓ2= fluxo magnético de dispersão do enrolamento secundário.
Relação de transformação da tensão:
O transformador é uma ponte de potência, posto que transfere tensão e 
corrente elétrica. Sendo assim, configura-se como um conversor CA – CA e, 
para essa conversão, é necessário que uma relação entre o primário e o secun-
dário seja estabelecida, como apresentado a seguir.
Sendo:
V1 = N1· → = 
V2 = N2· → = 
= = → = → =
= → Constante de Transformação (kt)
(31)
(32)
(33)
(34)
dΦm
dt
dΦm
dt
dΦm
dt
dΦm
dt
dΦm
dt
V1
N1
V1
N1
V1
N1
V1
V2
V1
V2
V2
N2
V2
N2
V2
N2
N1
N2
N1
N2
Logo:
Portanto:
No que se refereà relação de transformação da tensão, é possível classificar 
os transformadores em três tipos básicos:
• Transformador elevador: este tipo de transformador tem como caracte-
rística a elevação de tensão no secundário, ou seja, a relação de transformação 
é menor que 1 (N1<N2);
ELETROTÉCNICA 57
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• Transformador abaixador: nesta condição, o transformador fornece 
ao secundário um valor de tensão inferior ao do primário, sendo a relação de 
transformação maior que 1 (N1>N2);
• Transformador isolador: os transformadores isoladores são muito utili-
zados em locais nos quais se deseja isolar eletricamente duas redes e limitar a 
potência transferida, possuindo grande aplicação em laboratórios de eletrôni-
ca. Como característica, sua relação de transformação é igual a 1 (N1=N2).
Relação de transformação da corrente
A relação de transformação da corrente é proveniente da potência trans-
ferida pelo transformador. Considerando um transformador ideal, ou seja, 
desprezando as perdas, a potência solicitada da fonte pelo primário é igual à 
potência fornecida pelo secundário à carga, como exemplificado na Figura 13.
Em que:
P1 = potência no primário;
P2 = potência no secundário;
V1 = tensão no primário;
V2 = tensão no secundário;
i1 = corrente no primário;
i2 = corrente no secundário.
No entanto:
Portanto:
ZV1 V2
N1 N2
i1 i2
P1 P2
φm
Figura 13. Relação de corrente.
P1 = P2 → Logo: V1 × i1 = V2 × i2 (35)
= → Constante de Transformação (kt) (36)
V1
V2
i2
i1
ELETROTÉCNICA 58
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n = × 100% (37)
P2
P1
Perdas em um transformador monofásico real
As perdas ocorrem em duas áreas no transformador: no ferro (núcleo) e no 
cobre (enrolamentos primário e secundário). Assim, as primeiras são aquelas 
que ocorrem no núcleo, que é o responsável pelo acoplamento magnético en-
tre primário e secundário. As perdas no ferro são divididas em:
• Perdas por histerese magnética: o núcleo, sendo o circuito magnético, 
oferece oposição ao fluxo magnético. Essa oposição é chamada de relutância 
magnética e provoca o aquecimento do núcleo quando este é submetido a um 
campo magnético variável. Para reduzir o efeito da histerese, adiciona-se ao 
núcleo o elemento silício, responsável por reduzir a relutância magnética;
• Perdas por correntes parasitas ou correntes de Foucault: pelo fato de 
o núcleo ser constituído de material ferroso, quando este é submetido a um 
fluxo magnético variável induz-se correntes elétricas, de acordo o princípio da 
indução de Faraday, que por sua vez provocam o aquecimento do núcleo. Para 
reduzir as correntes parasitas, o núcleo é dividido em lâminas isoladas eletrica-
mente, reduzindo a área para circulação da corrente elétrica e aumentando sua 
resistência elétrica. O silício também contribui para o aumento da resistência 
elétrica do núcleo, por se tratar de um semicondutor.
Já as perdas no cobre são aquelas que ocorrem nos enrolamentos do trans-
formador devido à sua resistência elétrica. Assim, toda corrente elétrica circu-
lando por uma resistência elétrica provoca a dissipação de potência (calor) P=R.
I²(W). Para reduzir esta perda, deve-se utilizar um cobre de maior pureza na 
constituição dos fios dos enrolamentos.
Por fim, como observado, todas as perdas relatadas provocam aquecimen-
to e dissipação de calor por efeito Joule, o que causa uma redução no rendi-
mento do transformador.
Rendimento do transformador real (n)
O rendimento mede a eficiência e é determinado pela relação entre a potên-
cia de saída e a potência de entrada do transformador, e a diferença de potência 
entre estas é dissipada nas perdas relatadas anteriormente. Normalmente, o 
rendimento é dado em porcentagem, como apresentado na equação a seguir:
ELETROTÉCNICA 59
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ASSISTA
Para conhecer um pouco sobre história da geração da 
eletricidade, assista ao filme A Batalha das Correntes, de 
2017, dirigido por Alfonso Gomez-Rejon. 
Sistemas trifásicos equilibrados
O sistema trifásico foi criado em 1890 por Nikola Tesla, um cientista ser-
vo-croata, e passou a ser utilizado em 1896. Este é um sistema que possui três 
linhas de tensão elétrica e no circuito da carga circulam três correntes elétricas. 
Suas vantagens em relação ao sistema monofásico são:
• Entre motores e geradores do mesmo tamanho, os trifásicos têm maior 
potência que os monofásicos;
• As linhas de transmissão trifásicas empregam menos material que as mo-
nofásicas para transportarem a mesma potência elétrica;
• Motores trifásicos podem partir sem meio auxiliar, o que não ocorre com 
os motores monofásicos comuns;
• Circuitos trifásicos proporcionam fl exibilidade na escolha das tensões e 
podem ser utilizados para alimentar cargas monofásicas.
Gerador trifásico
O gerador trifásico é uma máquina elétrica rotativa composta 
de três geradores monofásicos, fisicamente acomodados em uma 
mesma máquina e distribuídos com defasagem angular de 120º 
entre eles.
No gerador trifásico, as tensões são iguais em 
valor de módulo, e a referida defasagem propor-
ciona uma sequência de fase de acordo com 
a disposição dos enrolamentos (bobinas) no 
estator e o sentido de giro do rotor. A Figura 
14 apresenta um gerador trifásico elementar 
e as formas de ondas de tensão elétrica geradas 
por cada bobina defasada.
ELETROTÉCNICA 60
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As tensões elétricas geradas nos três circuitos monofásicos recebem o 
nome de tensões de fase (VF), e a nomenclatura adotada é VRN, VSN e VTN. 
Analisando as tensões em cada instante, obtém-se as variações senoidais no 
tempo. As fases são numeradas de acordo com a ordem dos atrasos, que, para 
esta análise, será no sentido anti-horário de rotação. Adota-se a tensão VRN 
com o ângulo de 0º como referência e as tensões em sua representação na 
forma polar e da tensão instantânea são apresentadas na Figura 15.
N
3 2
6 5
1
4 VRN
Representação polar Representação instantânea
VRN = Vmáx x sen (ωt)
VSN
VTN
S
0°
+ 120° - 120°
I
III II
VRN 0°
VSN − 120°
VTN + 120°
VSN = Vmáx x sen (ωt - )2π
3
VTN = Vmáx x sen (ωt + )2π
3
Figura 15. Representação das tensões de fase.
Configurações do gerador trifásico
Como observado, o sistema possui seis condutores de saída e, para a redução do 
número de condutores, o gerador pode ser configurado com os dois fechamentos 
básicos do sistema trifásico, formando assim as tensões de saída do sistema. Estas 
são as chamadas tensões de linha (VL), sendo elas: VRS, VST e VTR. Os dois tipos de 
fechamentos dos condutores são comumente chamados de estrela (Y) e triângulo (Δ).
R
N
NN
N
3
ω
2T
-120O
120O
240O
VRN VSN VTN
120O
Rotor
Campo magnético variável
0O
120O
+120O
120O
S
S
1
Figura 14. Gerador trifásico elementar.
ELETROTÉCNICA 61
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Análise do sistema trifásico com carga equilibrada
Uma fonte de tensão trifásica apresenta equilíbrio entre suas tensões de 
fase e tensões de linha; mas as correntes elétricas fornecidas por cada fonte 
podem estar em desequilíbrio. A proposta aqui apresentada é uma análise do 
sistema equilibrado, ou seja, com tensões e correntes de mesmo valor de mó-
dulo, sendo diferente apenas a defasagem característica do sistema.
Fechamento estrela
A análise do fechamento da fonte em estrela e carga indutiva em estrela 
(Y/Y) com condutor neutro pode ser realizada de acordo com o esquemático 
representado na Figura 16. Assim, o sistema trifásico é dinâmico, posto que 
os ângulos das tensões e correntes mudam de acordo com a posição física do 
rotor do gerador. Para tanto, é necessária a paralização do sistema e a modela-
gem matemática das grandezas elétricas envolvidas na análise.
As tensões adotadas para análise são: VRN = 127V0º; VSN = 127V -120º e 
VTN = 127V 120º, e a impedância da carga indutiva é: Z1 = Z2 = Z3 = 5Ω 45º.
R R
S
S
TT
N N
Malha 3
Malha 1
Malha 2
IR
IRN
ITN
ISN
IN
IS
ITVST
VST
VTR
VTRVRS
VRS
VRN VRN
VTN
VTN
VSN
VSN
Z1
Z2Z3
Figura 16. Fechamento trifásico estrela/estrela.
Análise das tensões
O sistema possui três malhas de tensões na fonte. Assim, realiza-se a análi-
se de apenas uma malha e aplica-se a defasagem nas demais. Desta maneira, 
ao aplicar a lei das tensões ou das malhas de Kirchhoff na malha 1, tem-se que: 
ELETROTÉCNICA 62
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VSN + VRS + VRN = 0 → VRS = VRN - VSN (38)
VRS = (127 0º) - (127 -120º) (39)
VRS = (127 + 0j) - (- 63,5 – 110j) → VRS = (190,5 + 110j) [V] (40)
VRS = (190,5 + 110j) → VRS = 220V 30º (41)
Convertendo para coordenadas retangulares e realizando a subtração:
Convertendo o resultado de VRS para coordenadas polares:
Sendo assim, aplica-se a defasagem às demais tensões:
VRS = 220V 30º
VST = 220V -90º
VTR = 220V 150º
-120°
+120°
Deve-se ressaltar que a determinação do valor da tensão de linha VRS apre-
sentado anteriormente é possível através da utilização de diagramas fasoriais, 
realizando-se a soma gráfica vetorial dos fasores das tensões de fase VRN e –VSN.
Relação entre o módulo e o ângulo das tensões no fechamento estrela
Para estabelecer a relação entre os módulos das tensões de linha e fase, di-
vide-se a tensão de linha (VRS) pelo valor da tensão de fase (VRN), obtendo-se 
o valor da raiz quadrada de três (√3). Ademais, os ângulos das tensões de linha 
avançam 30° em relação aos ângulos das tensões de fase:
(42)
(43)VL = VF × √3
= = 1,732 = √3VRS(VL)
VRN(VF)
220
127
Para o ângulo, toma-se como referência o ângulo de VRN para VRS:
• O ângulo da tensão VRS é igual ao ângulo da tensão VRN + 30°;
• O ângulo da tensão VST é igual ao ângulo da tensão VSN + 30°;
• O ângulo da tensão VTR é igual ao ângulo da tensão VTN + 30°.
Análise das correntes
Para o fechamento estrela, as correntes nomeadas de fase (IF), que são as 
correntes que circulam dentro da fonte e da carga (IRN, ISN e ITN), são iguais 
às correntes nomeadas de linha (IL), que são as correntes que circulam nos 
condutores alimentadores da carga (IR, IS e IT). Sendo:
(44)IRN = IR = → IR = → IR = 25,4A −45°
127 0°
5 45°
VRN
Z1
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Aplicando as defasagens nas outras correntes:
IR = 25,4A -45º
IS = 25,4A -165º
IT = 25,4A 75º
-120°
+120°
Corrente de neutro
A corrente elétrica que circula no condutor neutro em um sistema trifásico 
simétrico e equilibrado, na teoria, possui valor igual a zero. Já na prática é muito 
pequena, praticamente desprezível, uma vez que as correntes nesse condu-
tor se anulam por estarem defasadas em 120°. A seguir, o desenvolvimento 
matemático que comprova esse efeito é apresentado, e torna-se necessária a 
análise do exemplo abordado no ponto do nó “N” da Figura 17.
Figura 17. Nó do condutor neutro.
Z1
Z2Z3
IR
RN
ISN
S
IN
IS
IT
T ITN
ponto N
R
Aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff ao nó “N”, tem-se que:
(45)
(46)
(47)
(48)
IN = IR + IS + IT
IN =(25,4A -45°) + (25,4A -165°) + (25,4A 75°)
IN = (17,96 - 17,96j) + (-24,53 - 6,57j) + (6,57 + 24,53j)
IN = (0 + 0j) → ou seja, ZERO
Transformando em retangular para realizar a soma:
Fechamento triângulo ou delta
Para a análise do sistema trifásico triângulo (Δ/Δ), também se deve paralisar 
o sistema dinâmico e adotar valores de tensões para uma fonte triângulo, além 
de adotar valores de carga associada também no fechamento triângulo. 
ELETROTÉCNICA 64
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Análise das tensões
Nesse tipo de fechamento, é possível observar que não existem as tensões de 
fase (VF) VRN, VSN e VTN, uma vez que essas tensões são as mesmas de linha (VL) 
VRS, VST e VTR. Sendo assim, afirma-se que no fechamento triângulo VF = VL.
Análise das correntes
Para a análise das correntes, é necessário determinar as correntes de fase 
na carga (IF), que são IRS, IST e ITR, por meio da 1ª lei de Ohm. Na sequência, 
deve-se aplicar a lei das correntes de Kirchhoff em um nó de conexão com 
uma linha do circuito alimentador. No exemplo, utilizou-se o nó “R”, como 
evidencia a Figura 18.
IR
ISIT
VTR
VST
ITR IRS
IST
VRS
R
Nó “R”
Z3 Z1
Z2
T S
Figura 18. Nó da linha “R”.
ELETROTÉCNICA 65
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Determinando as correntes de linha IR, IS e IT:
Sendo:
Logo:
Convertendo-se de polar para retangular e subtraindo, tem-se que:
Assim, o cálculo da corrente de fase IRS dá-se por:
(49)
(50)
(51)
IRS = → IRS = → IRS = 44A −15°
220V 30°
5Ω 45°
VRS
Z1
IR + ITR - IRS = 0 → IR = IRS - ITR
IR = (44A -15°) - (44A 105°)
Aplicando-se as defasagens:
IRS = 44A -15°
IST = 44A -135°
ITR = 44A 105°
-120°
+120°
(54)
(52)
(53)
IR = 76,2A -45°
IR = (42,5 - 11,38j) - (-11,38 + 42,5j)
IR = (53,88 - 53,88j)A
Convertendo-se de retangular para polar, temos que:
IR = 76,2A -45°
IS = 76,2A -165°
IT = 76,2A 75°
-120°
+120°
Conclui-se pelo desenvolvimento dos cálculos do exemplo abordado que as 
correntes de linha (IR, IS e IT) nos ramais alimentadores das cargas têm valor maior 
que as correntes de fase (IRS, IST e ITR) interna do fechamento triângulo. Sendo 
assim, pode-se estabelecer uma relação entre as correntes de linha (IL) e as cor-
rentes de fase (IF). Assim, a relação de módulo e ângulo das correntes dá-se por:
(55)
(56)
= = √3
76,2
44
IR
IRS
= √3 → IL = IF × √3
IL
IF
Aplicando as defasagens:
Tomando como referência o ângulo de IRS para IR:
O ângulo da corrente IR é igual ao ângulo da corrente IRS – 30°;
ELETROTÉCNICA 66
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O ângulo da corrente IS é igual ao ângulo da corrente IST – 30°;
O ângulo da corrente IT é igual ao ângulo da corrente ITR – 30°.
Fechamento delta aberto a quatro fi os
Esse sistema utiliza, na grande maioria das aplicações, dois transformado-
res monofásicos com derivação central. Nessa confi guração, as linhas “B” e “C” 
estão equilibradas em relação ao neutro “N”, mas a linha “A” fi ca com o poten-
cial mais elevado, ou seja, as tensões “BN” e “CN” têm o mesmo valor em rela-
ção ao neutro e a tensão “AN” é aproximadamente raiz de três (√3) vezes maior 
que as outras. Por esse motivo a linha “A” é comumente chamada de high leg, 
termo em inglês para “perna alta”. 
Assim, a confi guração apresentada na Figura 19 é muito utilizada pelas 
concessionárias de energia para distribuição em pequenos comércios, pe-
quenas empresas ou outros estabelecimentos que necessitem de um sistema 
trifásico de baixa potência.
R A
S B
N
T C
Figura 19. Distribuição delta aberto a quatro fi os.
Transformador trifásico
O transformador trifásico é formado por três transformadores monofási-
cos compartilhando um mesmo núcleo. Cada coluna é responsável por trans-
ferir do primário para o secundário 1/3 da potência total do transformador, e 
essa transferência ocorre de bobina para bobina.
ELETROTÉCNICA 67
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O transformador trifásico básico possui seis pontas nos enrolamentos pri-
mários e seis pontas nos enrolamentos secundários; portanto, é possível utili-
zar os fechamentos estrela (Y) e triângulo (Δ) para uma configuração de acordo 
com a rede elétrica conectada ao primário e à carga conectada ao secundário. 
Por fim, o transformador transmuta valores de bobinas obedecendo à relação 
de espiras (kt) estabelecida entre essas bobinas. 
Fechamentos do transformador trifásico
Fechamento estrela / estrela (Y/Y)
O esquemático da Figura 20 representa a configuração estrela no primário e no 
secundário. Portanto, a relação de transformação (kt) é aplicada