Calculando Volatilidade em Títulos

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27/06/2022 16:00 Como calcular a volatilidade de um título de renda fixa | Colunas de Rodrigo De Losso | Valor Investe
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Por Rodrigo De Losso
Ph.D em Economia pela Universidade de Chicago, professor titular da FEA-USP
Como calcular a volatilidade de um título de renda
fixa
Uma carteira de investimentos em renda fixa mesclando títulos de várias
maturidades geralmente terá uma volatilidade menor que carteiras de renda
variável
São Paulo
16/11/2021 06h45 · Atualizado 
 
Os títulos de renda fixa típicos têm data de vencimento, isto é, vencem em uma
data futura. Com isso, em geral, sua volatilidade vai diminuindo ao longo do tempo.
Essa redução de volatilidade gera inconvenientes para calculá-la corretamente.
há 3 meses
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Os títulos de renda fixa têm esse nome porque, ao segurá-lo até o vencimento, o
investidor receberá seu valor de face, geralmente fixado em $ 1.000. Evidentemente,
se o investidor se desfizer do título antes de seu vencimento poderá ganhar ou
perder a depender da taxa de juros que desconta o título. Por isso, o preço de um
título de renda fixa, Pt, será dado por:
Fórmula Renda �xa — Foto: Autor
O propósito deste artigo é evidenciar essa dinâmica de preços e retornos e
sugerir uma forma de calcular a volatilidade. Vamos fazer isso simulando um
título prefixado, com vencimento em 100 dias úteis, sem cupom. É o mais simples
dos títulos, mas ilustrará os conceitos importantes.
Para fins de simulação, consideramos uma taxa de juros de 7% ao ano com
desvio-padrão de 1% oriunda de uma distribuição normal. A forma sobre como
definir a taxa de juros é fundamental. Se a taxa de juros fosse considerada como
sendo a taxa do dia anterior mais um choque, isso mudaria bastante os resultados.
Veja as taxas de juros que usei, lembrando que é uma simulação para fins de
ilustração, portanto não são taxas observadas no mercado.
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Grá�co de renda �xa 01 — Foto: Autor
Pois bem, considerando um título prefixado que vence em 100 dias úteis, eis a
dinâmica de preços desse título até o vencimento:
Grá�co - renda �xa 02 — Foto: Autor
Veja como o preço do título vai variando cada vez menos conforme se aproxima de
sua maturidade. Isso é refletido nos retornos do título calculado pelo logaritmo da
razão entre o preço em t e o preço em t – 1:
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Grá�co renda �xa 03 — Foto: Autor
Note que a dispersão de retornos vai-se reduzindo. Isso significa que os retornos
não são o que tecnicamente se chama de estacionários. Daí que não se pode
usar toda a série histórica de retornos dos preços para estimar sua volatilidade.
Então, como calcular a volatilidade de um título de renda fixa?
Uma possibilidade é usar a média móvel dos retornos do preço do título nos últimos
5 dias, por exemplo, mas esse procedimento não é tecnicamente correto. Outra
forma de ver isso é via duration (tecnicamente chamado de duration modificada).
O duration de um título de renda fixa é o prazo médio do valor investido nesse título,
ponderado pela participação relativa de cada fluxo em termos de valor presente na
composição do preço. Assim, quanto maior o duration de um título, mais arriscado
ele é. No caso da presente simulação, o duration do título é simplesmente o prazo
que falta para seu vencimento sobre a taxa bruta de juros diários:
Duration 01 — Foto: Autor
A variação diária do duration pela mudança de juros é quase imperceptível, por isso
é quase como se fosse uma função linearmente decrescente do tempo.
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Só que o duration é um instrumento interessante para calcular o retorno de um
título. Basicamente, o duration é o fator com que se deve multiplicar a variação da
taxa de juros para se saber qual será a variação percentual do preço do título:
Retorno em função da duration — Foto: Autor
Sendo essa aproximação verdadeira, segue-se que que a volatilidade do retorno
será dada por:
Volatilidade do retorno em função da duration — Foto: Autor
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Pois bem, agora tudo vai depender de como se comporta a taxa de juros. Na
condição de nossa simulação, temos:
Volatilidade do retorno em função da duration — Foto: Autor
Essa fórmula é interessante, porque não há objeção em calcular a volatilidade da
taxa de juros e usar esse quantitativo para estimar a volatilidade do título. Ainda, é
preciso notar é que a volatilidade dos retornos de uma carteira de renda fixa
depende de sua maturidade, neste caso representada pelo duration que se vai
gradualmente reduzindo. Note ainda que o duration do período anterior é uma
função determinística, pois conhecido no período atual.
Pode-se calcular a volatilidade dos juros usando a amostra toda ou usando uma
média móvel dos últimos cinco dias. Então, temos as seguintes possibilidades para a
volatilidade de um título de renda fixa:
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Volatilidade estimada título de renda �xa — Foto: Autor
A linha cheia representa a média móvel dos retornos os preços nos últimos cinco
dias (é uma versão menos incorreta do cálculo, pois tem poucas observações). A
linha recortada (quase reta) representa o duration multiplicado pela volatilidade dos
juros durante todo o período de análise. A linha pontilhada é o duration
multiplicando a média móvel da volatilidade dos juros nos últimos 5 dias.
Como se vê, calcular a volatilidade diretamente usando os retornos, ainda que de
cinco dias, dos títulos mostra uma volatilidade mais descolada da linha média
representada pela linha recortada. De qualquer forma, todas mostram uma
volatilidade decrescente à medida que a maturidade do título se aproxima.
Os títulos de renda fixa mais longos têm uma volatilidade mais altaque os
títulos de renda fixa mais curtos. Esses mais longos, a depender das variações das
taxas de juros, podem ter variações significativas, similares às da renda variável.
Contudo, uma carteira de investimentos em renda fixa mesclando títulos de
várias maturidades geralmente terá uma volatilidade menor que carteiras de
renda variável.
Uma consideração a se fazer é que, na prática, o cálculo de volatilidade de uma
carteira de títulos de renda fixa é muito mais sofisticado do que apresentei aqui,
pois envolve gerar preços de títulos sem cupom com várias maturidades e daí
estimar a volatilidade usando retornos históricos condicional a uma mesma
maturidade.
Rodrigo De Losso é PhD pela Universidade de Chicago e professor titular da FEA-
USP.
PS.: Agradeço os comentários de José Carlos de Souza Santos e Fernando
Fernandes.
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