Cálculo Linear em Indústria

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – CÁLCULO LINEAR 
 
Marllon Gilberto Caetano Bispo 
Matrícula: 01441984 
Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
Estudo de caso 
 
 
 
Em uma indústria hipotética utilizam-se os conhecimentos de cálculo vetorial 
para operar um determinado maquinário a fim de se produzir uma mercadoria 
com base em um determinada matéria-prima. Esse maquinário trabalha com o 
deslocamento de partículas dessa determinada matéria-prima ao longo de um 
campo vetorial determinado (F). 
 
Ao final desse trajeto no campo vetorial, as partículas colidem-se com um 
anteparo, onde ficam presas. O acúmulo dessas partículas, de acordo com a 
movimentação do equipamento, é o que proporciona a elaboração dessa 
determinada mercadoria a ser vendida pela indústria em questão. 
 
É imprescindível, para os fins operacionais dessa indústria, que se determine o 
trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial. Para isso, é necessário 
todo o conhecimento estudado até o momento, ou seja, o conhecimento acerca 
de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de 
linha de trabalho. 
 
Por fim, ressalta-se que, por designações operacionais do equipamento, o 
campo vetorial a ser considerado sempre deve ser conservativo para que o 
maquinário, e consequentemente todo o sistema produtivo da indústria, funcione 
de maneira ótima. 
 
Retomou-se nos textos-base e em suas validações os conceitos de gradiente, 
campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. 
Esses são os conceitos necessários para se realizar essa proposta de atividade 
que terá, por sua vez, embasamento na situação-problema apresenta no case. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere-se o funcionário dessa empresa, encarregado de tal tarefa, ou seja, 
determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse 
maquinário. 
 
Para isso, seu superior lhe apresenta duas opções de campo vetoriais a serem 
escolhidos para se trabalhar: 
 
 
F1 (x, y, z) = - ½ 𝑥𝑖 −
1
2
𝑦𝑗 +
1
4
𝑘 ou F2(x, y, z) = xi + 2xj + zk 
 
A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t)= 
cos (t) i + sem (t) j + tk, sendo que a partícula se move do ponto A (1,0,0) até B 
(-1,0,4π). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O objetivo, portanto, é: 
 
 Determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu 
deslocamento, em um determinado campo F. 
O seguinte campo foi escolhido para produzir essa atividade: 
F (x, y, z) = −
1
2
 𝑥𝑖 −
1
2
𝑦𝑗 +
1
4
𝑘 
 
Para este sentido, faremos uso da integral de linha de trabalho, que se 
mostra: 
 w= ∫ 𝑐 F ∗ dr =∫ 𝐹
𝑏
𝑎
 (r (t)) ∗ r’ (t) dt 
 
Vemos sua primeira parte da integral de linha, assim repetimos a função do 
campo vetorial F em função dos parâmetros de r(t): 
 
F(r (t))→ F(x (t), y (t), z (t) = −
1
2
 (cos(𝑡) 𝑖, −
1
2
 (𝑠𝑒𝑛 (𝑡)𝑗, + 
1
4
 𝑘 
 
Partindo à segunda parte da integral de linha, precisa-se encontrar o vetor 
tangente r’(t) através das derivadas parciais dos componentes do arco de 
hélice, logo temos: 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 (𝑡) = 𝑟′(𝑡) = 
𝜕 cos(𝑡)
𝜕𝑡
𝑖 + 
𝜕 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
𝜕𝑡
𝑗 +
𝜕𝑡𝑘
𝜕𝑡
 𝑟′(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(t)j + k 
 
 
Com os resultados obtidos em relação ao campo vetorial F e o valor 
encontrado 
da tangente ao destino da partícula, segue a integral de linha, aparente como 
no 
início da questão. 
 
 
 
 
 ≈ 3,1416 
 
 
 
Frente à questão desenvolvida, sabemos que a partícula ao decorrer percurso 
é 
definido pelo resultado da integral, o escalar entre vetor tangente e a direção a 
partícula é um vetor do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), a 
solução 
permanecerá constantemente sendo escalar. 
 
Somado a isso, imagine uma segunda situação, em que um colega de trabalho 
sugere uma alteração da trajetória da partícula, ou seja, sugere alterar o 
caminho 
feito entre A e B nesse campo, dizendo que existem outros caminhos a serem 
percorrido resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. Portanto, 
deve-se avaliar, também: 
 
Essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos relevantes 
que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no caminho 
entre os pontos A e B realizados pela partícula. 
 
Sabe-se que para a máquina atingir o funcionamento ideal o campo precisa ter 
a propriedade de conservar sua energia para que o trabalho seja independente 
do seu caminho, ficando independente os pontos inicial e final do trajeto da 
partícula. Logo, a resposta fica evidente. 
 
Cálculo do gradiente: 
 
 
 
Analisando o cálculo do gradiente, vemos que o campo não se difere, 
logo não há alteração no trabalho desenvolvido pela partícula . 
 
Referências: 
Questão proposta no case – 
Material Didático (blackboard.com) 
 
(1229) CAMPO CONSERVATIVO - FUNÇÃO POTENCIAL - YouTube 
(1229) teste para verificar se um campo vetorial é conservativo, cálculo da 
função potencial - YouTube 
 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1
https://www.youtube.com/watch?v=4NuWtXIKYWo
https://www.youtube.com/watch?v=52hcoy-PUW8
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