Introdução ao Cálculo Numérico

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INTRODUÇÃO E 
ZERO DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
Igor Utzig Picco 
 
 
 
Introdução e zero de funções 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula de Introdução ao cálculo numérico e obtenção de zero 
de funções através de métodos iterativos. Nessa aula irei apresentar para vocês os 
conceitos iniciais do cálculo numérico. Será também apresentado o método da Bissecção, 
método simples utilizado no cálculo de raízes de equações. O método da Bissecção será 
utilizado como exemplo para reforçar e clarear os conceitos introdutórios debatidos nessa 
seção. 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Figura 1 apresenta de maneira resumida as etapas normalmente envolvidas na 
resolução de um problema. O problema é analisado e um modelo matemático é construído 
a partir de dados levantados em estudos e observações. Em seguida é utilizado 
normalmente um método numérico que é implementado computacionalmente e obtém os 
resultados desejados. 
 
Figura 1. Fluxograma de resolução de métodos numéricos. 
 
Fonte: Celina, 2018. 
Introdução e zero de funções 
 
O aluno deve estar se perguntando: “Mas por que a implementação computacional 
de cálculo numérico se contamos com profissionais treinados em resoluções 
matemáticas?” 
Isso se deve pois nem todos os problemas podem ser resolvidos de maneira 
simples e direta, necessitando de abordagens computacionais. Inclusive, a grande maioria 
dos problemas reais, no mundo físico, químico, da engenharia, da economia, entre outros, 
são equações não lineares de complicada resolução. 
Apresento a seguir duas equações. A equação 1 é uma equação cuja resolução é 
famosa e simples. A equação 2 é uma equação que, provavelmente, você nem saiba como 
começar a resolver (e nem eu sei). O cálculo numérico foca na resolução de equações 
similares ao segundo caso, mas não exclusivamente, podendo também resolver equações 
simples. 
 
𝑥2 − 3𝑥 + 6 = 0 (1) 
 
1
√ln(4𝑥 + 5) + 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥 − 41
3
= 0 (2) 
 
 
PROCESSOS ITERATIVOS 
 
Para resolver casos em que a equação apresenta alta complexidade, uma solução 
direta não é possível. Sendo assim, normalmente utilizam-se processos iterativos. 
Os processos iterativos aplicados ao cálculo numérico são basicamente processos 
que repetidamente “chutam” valores diferentes para a variável estudada. Existem 
múltiplas técnicas utilizadas para realizar esses “chutes” e atualizar os valores “chutados” 
de maneira otimizada conforme o desempenho do método. 
A ideia básica de um processo iterativo é escolher uma estimativa inicial, 
estabelecer esse valor como valor de variável (x) e analisar o valor obtido (f(x)). Em 
seguida o valor de x é constantemente modificado, tendo seu valor estimado através dos 
resultados entre cada interação. Quando duas interações não modificarem o valor obtido 
significativamente, o processo iterativo é interrompido. 
 
Introdução e zero de funções 
 
O aluno já deve perceber a complicação desse processo. Algumas dúvidas podem 
surgir, como “Como atualizar adequadamente o valor da variável estudada?”, “Como 
garantir que as estimativas estão indo pelo caminho correto, se aproximando do 
resultado?”, “Qual método escolher para determinado problema matemático?” Isso é o 
que será debatido nessa disciplina, não se limitando somente a equações, mas analisando 
diversos problemas matemáticos, como resolução de sistemas de equações (lineares e não 
lineares), integração numérica, sistemas de equações diferenciais, estimação de equações 
e entre outros. 
 
ERRO 
 
Erro é um conceito essencial no estudo de processos iterativos computacionais. 
Como o cálculo está sendo feito através de estimativas, o resultado obtido nunca é exato, 
apresentando sempre uma “imprecisão”. Além disso, existem diversos outros tipos de 
erros que estão sempre presentes em processos de cálculo numérico. Alguns deles são 
apresentados a seguir. 
 
• Erros inerentes: Durante a obtenção e estimativa do modelo matemático 
utilizado na resolução de um problema são utilizados informações e valores de 
medições como dados de entradas. Esses valores normalmente costumam ter 
imprecisões que resultam em erros no resultado final. Esses erros são inevitáveis. 
• Erros de arredondamento: Durante diversas etapas do processo matemático 
ocorrem arredondamentos. Isso acontece por limitações computacionais, 
automatismo computacional, por truncamento, cancelamento, discretização e até 
mesmo pela conversão de números do sistema decimal para o binário, no qual a 
máquina trabalha. 
• Erro absoluto: O Erro Absoluto é a diferença entre a resposta exata de um 
problema e sua solução estimada, como apresentado na Equação 3. 
 
𝐸𝐴𝑥 = |𝑥 − 𝑥𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜| (3) 
 
 
 
Introdução e zero de funções 
 
• Erro relativo: O Erro Absoluto não é possível de ser calculado, pois na grande 
maioria das vezes não é possível obter o valor exato. Sendo assim, no cálculo 
numérico é muito utilizado o Erro Relativo, cujo cálculo é apresentado na equação 
4. 
 
𝐸𝑅𝑥 =
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
 (4) 
 
O erro relativo relaciona o resultado final, obtido na última iteração, com o 
resultado da iteração anterior. O erro relativo é muito utilizado como critério de parada, 
que é debatido a seguir. 
 
CRITÉRIO/REQUISITO DE PARADA 
 
O critério de parada é utilizado como análise da convergência de um método. Ele 
determina se o método numérico alcançou um resultado final aceitável e se deve parar. 
Ele pode ser usado para analisar o desempenho do processo durante sua execução, 
possibilitando a identificação de não convergências. 
Normalmente o erro relativo é utilizado como critério de parada, sendo ele um 
indicativo do desempenho do caminho do método. 
Um método iterativo realiza estimativas, checa se o valor estimado resolve o 
problema que está sendo estudado e em seguida atualiza a próxima estimativa para 
melhorar o desempenho da resolução. Como não sabemos o resultado exato, usamos o 
erro relativo como análise de parada. O que isso significa? Significa que se a atualização 
do valor da variável é extremamente pequena, o valor obtido já é adequado. 
Pense comigo, se estamos sempre atualizando o valor visando melhorar o 
resultado, quando o valor não muda em uma atualização, significa que “não tem como 
melhorar”, ou seja, o resultado foi obtido. 
Para isso é usado valores de erros tolerados, bem pequenos, como por exemplo 
1*10-6. Ou seja, se ao atualizar o valor da variável, a mudança percentual for menor do 
que 6 casas decimais, pode-se concluir que o resultado obtido é o adequado. 
 
 
Introdução e zero de funções 
 
Esse conceito pode não estar tão claro no momento, mas será abordado com 
frequência no decorrer do estudo da disciplina, familiarizando o aluno com a utilização 
do erro relativo como critério de parada. 
 
CONVERGÊNCIA E NÃO CONVERGÊNCIA 
 
Os conceitos de convergência e não convergência se relacionam com o 
desempenho do caminho do método numérico. Se a diferença entre as estimativas de cada 
iteração estão cada vez diminuindo, significa que estamos chegando em um “consenso”. 
Se o erro relativo observado em casa iteração se reduz, estamos cada vez chegando em 
um resultado melhor, o que caracteriza uma convergência. Estamos convergindo para um 
resultado adequado. 
Caso o erro aumente sucessivamente em cada iteração, significa que os resultados 
estão piorando a cada iteração, o que caracteriza uma não convergência, ou até uma 
divergência. Pode-se considerar que estamos cada vez nos afastando de um resultado 
esperado. 
Vale a pena ressaltar que é comum que o erro aumente durante uma determinada 
etapa de um processo iterativo. É possível (e comum) que em algum momento o método 
iterativo produza erros relativos altos, mas se isso acontece durante muitas iterações 
consecutivas é um indicativo de má performance. Caso um algoritmo numérico apresente 
erro relativo alto entre as interações, isso deve acontecersomente durante poucas 
iterações consecutivas. Isso significa que o método está mapeando diversos resultados 
que não estão se adequando, mas logo deve encontrar uma área com melhores resultados. 
 
CÁLCULO DE RAÍZES - MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
Agora iremos abordar o método mais básico de obtenção de raízes de funções: o 
método da bissecção. O método da bissecção é um método intervalar que atualiza 
constantemente o valor de um intervalo, buscando sempre garantir que a raiz da equação 
se encontra no intervalo delimitado. Quando o valor do intervalo for extremamente 
pequeno, pode-se considerar que o resultado final foi obtido. 
Um ponto que vale ressaltar é que em métodos intervalares, não é obtido um valor 
único como resultado, mas invés disso, se obtém um intervalo em que se tem certeza de 
Introdução e zero de funções 
que contenha a raiz. Sendo assim, é comum considerar que o ponto médio do intervalo 
resultante seja a solução da função analisada. 
O método da bissecção consiste em escolher um intervalo de valores de x em que 
sabemos que a raiz de f(x) se encontra. Para iniciar a aplicação do método da bissecção 
em uma equação, são necessários alguns requisitos: 
 
1. A função f(x) a ser analisada é contínua e não tangencial; 
2. A equação possui uma solução (há um valor de x que satisfaça f(x)=0); 
3. A solução da função se encontra no intervalo inicial [a,b]. 
 
Analisando se o intervalo [a,b] contém a solução da função. 
 
Na Figura 2 temos uma função y=f(x) contínua delimitada pelo intervalo [a,b]. 
Para analisarmos se um intervalo apresenta a solução, podemos analisar os valores da 
função nos extremos do intervalo. As inequações apresentadas na Equação 5 são usadas 
para analisar se determinado intervalo apresenta a solução de uma função em seu interior. 
 
Figura 2. Função contínua delimitada pelo intervalo [a,b]. 
 
Fonte: Sperandio, Mendes e Silva, 2014. 
 
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] 
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) > 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] 
(5) 
 
Para comprovar isso iremos analisar a função apresentada na Figura 3 a seguir. 
 
Introdução e zero de funções 
 
Figura 3. Função y estudada. 
 
Fonte: Celina, 2018. 
 
É possível observar que a solução da função se encontra no intervalo [1,2]. Isso 
pode ser comprovado através de: 
 
𝑓(1)𝑓(2) = 3 ∗ (−1) = −3 → −3 < 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [1,2] 
 
Analisando outro intervalo, que não contém a raiz: 
 
𝑓(2)𝑓(3) = (−1) ∗ (−2) = 2 → 2 > 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [2,3] 
 
Isso ocorre, pois, ao cruzar pela raiz, a função passa de um valor positivo para 
negativo, como ocorre na função apresentada na Figura 3, ou a função passa de um valor 
negativo para um valor positivo, como observado na Figura 2. Ou seja, sempre que a 
função analisada passa pela raiz, há a inversão de sinal dos valores da função. 
 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
 
Introdução e zero de funções 
 
O método consiste em constantemente dividir um intervalo em 2 e analisar em 
qual dos dois subintervalos resultantes a raiz se encontra. Sendo assim, cria-se um ponto 
médio do intervalo e analisa-se o valor da função no ponto. A Equação 6 apresenta a 
obtenção do ponto médio de um intervalo delimitado por a e b. 
 
𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
𝑎 + 𝑏
2
 (6) 
 
Após obter o ponto médio que fica entre os valores superiores e inferiores do 
intervalo, analisa-se em qual subintervalo a solução da equação se encontra. 
 
(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) < 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜] 
𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) ∗ 𝑓(𝑏) < 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 , 𝑏] 
 
Caso 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) < 0, o valor de b é modificado para 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜. Caso 
𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) ∗ 𝑓(𝑏) < 0 o valor de a é modificado para 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜. 
Sendo assim, o intervalo [a,b] é modificado para [𝑎, 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜] ou [𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 , 𝑏]. 
Esse processo é realizado repetidamente até que o tamanho do intervalo seja 
pequeno o suficiente para cumprir o requisito de parada. 
 
ALGORITMO DO MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
O seguinte algoritmo descreve os passos realizados no método numérico da 
Bissecção. 
 
1. Escolher o primeiro intervalo [a,b] em que existe uma solução da raiz (𝑓(𝑎) ∗
𝑓(𝑏) < 0). Pode-se utilizar um gráfico de f(x) para o auxílio da obtenção de um 
intervalo inicial otimizado. Defina i=0. Defina o critério de parada através de um 
erro aceitável ε. 
2. Obtém-se o ponto médio do intervalo [𝑎, 𝑏]𝑖 através da Equação 6. 
 
𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
𝑎 + 𝑏
2
 
 
Introdução e zero de funções 
 
3. Determine se a solução da função estudada se encontra entre para [𝑎, 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜] ou 
[𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 , 𝑏]. 
4. Substitua a ou b por 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 , incremente o valor de i e atualize o valor do novo 
intervalo [𝑎, 𝑏]𝑖. 
5. Repita os passos 2 a 4 até que o tamanho do intervalo seja menor que ε, ou seja, 
repita até que a inequação apresentada na Equação 7 seja válida. Lembrando que 
𝑥𝑖 pode ser o ponto médio do intervalo obtido. 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
< ε (7) 
 
Exemplo de resolução através do Método da Bissecção 
 
Aqui iremos resolver uma equação através do método da Bissecção. Iremos 
resolver a função apresentada na Figura 3. 
 
𝑓(𝑥) = 24−𝑥 − 5 = 0 
 
Através da análise da Figura 3, é possível observar que a solução da função se 
encontra entre 1 e 2, sendo assim, teremos como intervalo inicial [1,2], ou seja, a=1 e 
b=2. 
Realizamos a conferência: 
 
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) → 𝑓(1) ∗ 𝑓(2) → 3 ∗ (−1) < 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1,2] 
 
Definimos a tolerância como 0,02 para fins didáticos. 
 
ε = 0,02 
 
Temos então o intervalo da primeira iteração i=0: 
 
[𝑎, 𝑏]𝑖=0 = [1,2] 
 
Introdução e zero de funções 
 
𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1 + 2
2
= 1,5 
𝑓(1) = 3 ; 𝑓(2) = −1 
𝑓(1,5) = 0,6568 
 
Analisando os subintervalos: 
 
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) = 𝑓(1) ∗ 𝑓(1,5) > 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1 , 1.5] 
𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) ∗ 𝑓(𝑏) = 𝑓(1,5) ∗ 𝑓(2) < 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1.5 , 2] 
 
Atualizamos o intervalo para [1.5 , 2]. Incrementamos i. 
 
𝑥𝑖=1 = 1,75 
Iteração i=1 
 
[𝑎, 𝑏]𝑖=1 = [1.5 , 2] 
𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1.5 + 2
2
= 1,75 
𝑓(1.5) = 0,6568 ; 𝑓(2) = −1 
𝑓(1,75) = −0,2432 
 
Analisando os subintervalos: 
 
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) = 𝑓(1,5) ∗ 𝑓(1,75) < 0 ∶ 𝑨 𝒓𝒂í𝒛 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 [𝟏, 𝟓 , 𝟏. 𝟕𝟓] 
𝑓(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜) ∗ 𝑓(𝑏) = 𝑓(1,75) ∗ 𝑓(2) > 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1.75 , 2] 
 
Atualizamos o intervalo para [1.5 , 1,75]. Incrementamos i. 
 
𝑥𝑖=2 = 1,625 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
=
|1,625 − 1,75|
1,625
= 0,0769 > ε → 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 
 
Introdução e zero de funções 
 
Iteração i=2 
 
[𝑎, 𝑏]𝑖=2 = [1.5 , 1.75] 
𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1.5 + 1,75
2
= 1,625 
𝑓(1.5) = 0,6568 ; 𝑓(1,75) = −0,2432 
𝑓(1,625) = 0,1874 
 
Analisando os subintervalos: 
 
𝑓(1,5) ∗ 𝑓(1,625) > 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1,5 , 1.75] 
𝑓(1,625) ∗ 𝑓(1,75) < 0 ∶ 𝑨 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 [𝟏. 𝟔𝟐𝟓, 𝟏. 𝟕𝟓] 
 
Atualizamos o intervalo para [1.625 , 1,75]. Incrementamos i. 
𝑥𝑖=2 = 1,6875 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
=
|1,6875 − 1,625|
1,6875
= 0,0370 > ε → 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 
 
Iteração i=3 
[𝑎, 𝑏]𝑖=2 = [1.625 , 1.75] 
𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1.625 + 1,75
2
= 1,6875 
𝑓(1,625) = 0,1874 ; 𝑓(1,75) = −0,2432 
𝑓(1,6875) = −0,032 
 
Analisando os subintervalos: 
 
𝑓(1,625) ∗ 𝑓(1,6875) < 0 ∶ 𝑨 𝒓𝒂í𝒛 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 [𝟏, 𝟔𝟐𝟓 , 𝟏, 𝟔𝟖𝟕𝟓] 
𝑓(1,6875) ∗ 𝑓(1,75) > 0 ∶ 𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1,6875, 1.75] 
 
Atualizamos o intervalo para [1.625 , 1,6875]. Incrementamos i. 
 
Introdução e zero de funções 
 
𝑥𝑖=2 = 1.6562 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
=
|1.6562 − 1,6875|
1.6562
= 0,0189 < ε → 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎. 
 
Como o critério de parada foi alcançado, o processo foi encerrado. Foi definido 
um erro aceitado alto visando não entender muito esse exemplo. 
Como nosso último intervalo obtido foi [1.625 , 1,6875], podemos ter nosso x 
estimado como o valor médio, ou seja: 
 
𝑥𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 = 1.6562 
𝑓(𝑥𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜) = 𝑓(1.6562) = 0,0764 
 
CARACTERÍSTICAS, DEFEITOS E MELHORIA DO MÉTODO DA 
BISSECÇÃO 
 
Como já comentado, o método da Bissecção é um método intervalar que obtém o 
intervalo em que se tem certeza de que se encontra a raiz. 
O método da bissecção pode levar a resultados falsos caso a função a ser estudada 
tenha multiplicas soluções. Dependendo do intervalo inicial de análise o método pode 
encaminhar para uma raiz local. Para encontrar todas as raízes é necessário um estudo 
gráfico prévio que permita a identificação dos intervalos iniciais para cada raiz. A Figura 
4 apresenta uma curva que contém 3 soluções. Se iniciarmos o estudo considerando o 
intervalo [2,9], não sabemos qual raiz será encontrada. O recomendado seria realizar o 
estudo em 3 intervalos diferentes, como por exemplo [2,3], [5,6] e [6,8]. 
Isso reflete uma característica do método da Bissecção: a necessidade de uma 
análise gráfica preliminar. 
 
Figura 4. Curva de terceiro grau 
 
 
 
 
Introdução e zero de funções 
 
 
Fonte: Unesp, 1989. 
 
Outras características do método da Bissecção são: baixa velocidade, aplicação 
somente para funções contínuas e que cruzam o eixo x, não funcionando para funções 
com descontinuidades no intervalo analisado e funções tangenciais. 
 
 
RESUMO 
 
Nesse capítulo foi realizado uma introdução ao estudo do cálculo numérico, 
citando sua motivação e algumas características básicas encontradas em todos os métodos 
numéricos. 
Foi apresentado o método da Bissecção e um exemplo de sua resolução, 
fornecendo uma maior clareza para o aluno sobre o funcionamento de um processo 
iterativo. 
 
 
 
 
 
 
Introdução e zero de funções 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; E SILVA, L. H. M. Cálculo numérico. 2° edição 
São Paulo. Pearson, 2014. 
 
CELINA, J. Cálculo Numérico. Curitiba, Intersaberes, 2018. 
 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. McGraw-Hill, 
2008.