Teste 5 - Respostas e Critérios - Econometria

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REC 2312 – Econometria II, 1º semestre de 2023 – Prof. Daniel Santos 
Teste 5 
 
Nome:______________________________________________ #USP: ____________________ 
ATENÇÃO 
Só considerarei o que estiver escrito no espaço designado para a questão. Use o rascunho para 
organizar suas ideias. 
Suponha que você precise estimar um modelo do tipo 
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝜀, 
e que neste caso haja uma variável z1 não pertencente ao modelo principal (e portanto sem 
efeito direto em y), tal que E[ε|Z1] = 0, E[ε2|Z1] = σ2, e cov(Z1,X) ≠ 0. Suponha ainda que E[ε|X] = 
0, E[ε2|X] = σ2. Um especialista em econometria lhe recomenda usar nesse caso mínimos 
quadrados em 2 estágios, ou seja, estimar inicialmente uma regressão auxiliar por MQO, 𝑥 =
𝛾0 + 𝛾1𝑧1 + 𝑣, coletar dessa regressão o valor predito �̂�, e posteriormente fazer, em um 
segundo estágio, a regressão (também por MQO) 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝜖. 
a. Qual a distribuição do estimador �̂�𝑀𝑄2𝐸 nesse caso? Você seguiria a indicação do 
especialista nesse caso ou preferiria utilizar o estimador de MQO que você 
aprendeu em econometria I? Por quê? 
R: Nesse caso a distribuição assintótica de MQ2E será �̂�𝑴𝑸𝟐𝑬 ∼ 𝑵 (𝒃;
𝝈𝟐
𝑵𝝆𝒙𝒛𝟏
𝟐 𝒗𝒂𝒓(𝒙)
), 
idêntica à de variáveis instrumentais (0,4). Preferiria utilizar o estimador de MQO 
(0,3). Nesse caso, �̂�𝑴𝑸𝑶 ∼ 𝑵 (𝒃;
𝝈𝟐
𝑵𝒗𝒂𝒓(𝒙)
) é mais eficiente do que MQ2E, sendo o 
melhor estimador linear não-viesado, dado que as condições postas satisfazem as 
hipóteses de Gauss-Markov (0,3). 
 
b. Suponha agora que E[ε|X] ≠ 0, e ademais que haja uma segunda variável, z2, que 
você suspeita que seja um bom instrumento mas que não tem certeza. Você até 
crê que ela não tem efeito direto sobre y e verifica que ela tem correlação não-
nula com x, mas realmente está em dúvida se E[ε|Z2] = 0. Descreva como você 
testaria essa hipótese. 
 
R: Vimos em sala duas possibilidades: 
(i) Teste de Sargan (0,3): Primeiramente estime �̂�𝒛𝟏
𝑽𝑰 = �̂�𝒛𝟏
𝑴𝑸𝟐𝑬 = [𝒁𝟏
′ 𝑿]−𝟏𝒁𝟏
′ 𝒚, 
isto é, um estimador de variáveis instrumentais utilizando apenas a variável 
Z1. A partir disso calcule �̂�𝒊
𝒁𝟏 = 𝒚𝒊 − �̂�𝒛𝟏
𝑽𝑰𝒙𝒊. Como �̂�𝒛𝟏
𝑽𝑰
𝒑
→ 𝒃, logo �̂�𝒊
𝒁𝟏
𝒑
→ 𝜺𝒊. 
Testamos então 𝑯𝟎: 𝑬(𝜺|𝒛𝟏, 𝒛𝟐) = 𝟎 regredindo, por MQO: 
�̂�𝒊
𝒁𝟏 = 𝜸𝟎 + 𝜸𝟏𝒛𝟏𝒊 + 𝜸𝟐𝒛𝟐𝒊 + 𝒗𝒊 (𝑰) 
e testando se 𝜸𝟏 = 𝜸𝟐 = 𝟎. Nesse caso, a estatística de teste será 
𝑵𝑹𝒂𝒖𝒙
𝟐
𝒂
→ 𝝌(𝟏)
𝟐 , 
onde 𝑵 é o tamanho da amostra e 𝑹𝒂𝒖𝒙
𝟐 é o 𝑹𝟐 da regressão auxiliar (I). (0,7) 
OU 
(ii) Teste de Hausman (0,3): Estime �̂�𝒛𝟏
𝑽𝑰 como acima, e em seguida estime �̂�𝑽𝑰 =
�̂�𝑴𝑸𝟐𝑬 = (𝑿′𝑷𝒛𝑿)−𝟏 𝑿′𝑷𝒛𝒚, onde 𝑷𝒛 = 𝒁(𝒁′𝒁)−𝟏𝒁′. Se E[ε|Z2] = 0, então 
�̂�𝑽𝑰
𝒂
→ 𝑵[𝒃; 𝝈𝟐(𝑿′𝑷𝒛𝑿)−𝟏] 
�̂�𝒛𝟏
𝑽𝟏 
𝒂
→ 𝑵 [𝒃; 𝝈𝟐(𝑿′𝑷𝒛𝟏
𝑿)
−𝟏
]; em que 𝑷𝒛𝟏
= 𝒁𝟏(𝒁𝟏
′ 𝒁𝟏)−𝟏𝒁𝟏
′ 
�̂�𝒛𝟏
𝑽𝟏 − �̂�𝑽𝑰 
𝒂
→ 𝑵 [𝟎; 𝝈𝟐[(𝑿′𝑷𝒛𝟏
𝑿)
−𝟏
− (𝑿′𝑷𝒛𝑿)−𝟏]] 
Dessa forma, o teste pode ser implantado tanto através de um teste 𝝌(𝟏)
𝟐 com 
estatística de teste 
𝝕 = (�̂�𝒛𝟏
𝑽𝟏 − �̂�𝑽𝑰)′ [𝒔𝟐 [(𝑿′𝑷𝒛𝟏
𝑿)
−𝟏
− (𝑿′𝑷𝒛𝑿)−𝟏]]
−𝟏
(�̂�𝒛𝟏
𝑽𝟏 − �̂�𝑽𝑰), 
onde 𝒔𝟐 =
𝟏
𝑵−𝟐
∑ �̂�𝒊
𝟐𝑵
𝒊=𝟏 , quanto através de um teste N(0,1) com estatística 
𝒛 =
�̂�𝒛𝟏
𝑽𝟏 − �̂�𝑽𝑰
√𝒔𝟐 [(𝑿′𝑷𝒛𝟏
𝑿)
−𝟏
− (𝑿′𝑷𝒛𝑿)−𝟏]
(𝟎, 𝟕)
 
 
 
c. Suponha que você rejeite a hipótese nula na situação colocada no item b. Nesse 
caso você estimaria b por MQO, por MQ2E utilizando apenas Z1 como 
instrumento? Ou por MQ2E utilizando tanto Z1 quanto Z2 como instrumentos? 
Justifique. 
 
R: Como E[ε|X] ≠ 0, �̂�𝑴𝑸𝑶 é viesado e inconsistente, então não seria recomendado 
(0,3). Como rejeitamos a hipótese nula do teste do item b, então �̂�𝑽𝑰 = �̂�𝑴𝑸𝟐𝑬 
também é inconsistente com ambos instrumentos 𝒁𝟏 e 𝒁𝟐 (0,3). Utilizaríamos, 
portanto, �̂�𝒛𝟏
𝑽𝟏 = �̂�𝒛𝟏
𝑴𝑸𝟐𝑬
, ou seja, MQ2E utilizando apenas o Z1 como instrumento 
(0,4).