B Zhang_Investigations_of_Elastic_Vibration_Periods_of_Tall_Reinforced_Concrete_Office_Buildings_by_Ali_Al_Balhawi_and_Prof _Bin

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DOI: 
10.12989/was.2019.29.3.209
Data de publicação: 
2019
Vento e Estruturas, Um Jornal Internacional
Publicado em:
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Manuscrito aceito pelo autor
Citação da versão publicada (Harvard): Al-Balhawi, 
A & Zhang, B 2019, 'Investigações de períodos de vibração elástica de edifícios altos de escritórios de concreto armado', Wind and 
Structures, An International Journal, vol. 29, não. 3, pp. 209-223. https://doi.org/10.12989/was.2019.29.3.209
Al-Balhawi, Ali Zhang;
Investigações de períodos elásticos de vibração em edifícios altos de escritórios de concreto armado
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https://researchonline.gcu.ac.uk/en/publications/6066fb90-3328-4fec-903c-12997599b61c
Abstrato. A avaliação da vibração induzida pelo vento em edifícios altos de betão armado (RC) requer a estimativa precisa das suas propriedades 
dinâmicas, por exemplo, os períodos de vibração fundamentais e as taxas de amortecimento. Neste estudo, sistemas de parede de cisalhamento RC 
projetados sob cargas de gravidade e vento foram avaliados utilizando modelagem FE 3D incorporando análise própria para obter os períodos elásticos 
de vibração. Os parâmetros conduzidos consistem no número de pavimentos, na relação de aspecto da planta (AR) dos edifícios, nas dimensões do 
núcleo, na eficiência espacial (SE) e na profundidade de locação (LD) entre o núcleo central interno e as esquadrias externas. Esta análise fornece 
uma base confiável para investigar melhor os efeitos destes parâmetros e estabelecer novas fórmulas para prever os períodos de vibração fundamentais 
através da utilização de análises de regressão nos resultados obtidos. A fórmula proposta com base numérica restrita para períodos de vibração de 
edifícios altos de escritórios com paredes de cisalhamento RC em termos de altura dos edifícios concorda razoavelmente com algumas fórmulas 
citadas para período de vibração de códigos e padrões de projeto. No entanto, a mesma fórmula proposta apresenta uma grande discrepância com 
outras fórmulas citadas do restante dos códigos e padrões de projeto. Além disso, a fórmula proposta concorda bem com algumas fórmulas citadas 
com base experimental.
Cowcaddens Road, Glasgow G4 0BA, Escócia, Reino Unido
1Escola de Engenharia e Ambiente Construído, Glasgow Caledonian University,
Palavras-chave: concreto armado; paredes de cisalhamento; edifícios de escritórios; período de vibração; carga de vento; eficiência de espaço; 
profundidade de locação
A avaliação da vibração induzida pelo vento em edifícios altos de RC requer a estimativa precisa das suas 
propriedades dinâmicas, por exemplo, períodos de vibração fundamentais e taxas de amortecimento. Estas 
propriedades dinâmicas são necessárias não só para avaliar o efeito da carga dinâmica, por exemplo, carga de 
vento para fins de projecto, mas também para determinar o conforto dos ocupantes, em particular para edifícios 
altos (Stafford Smith e Coull 1991). Assim, as propriedades dinâmicas de vários sistemas estruturais de edifícios 
devem ser investigadas para identificar o seu comportamento dinâmico sob carregamento lateral, ou seja, 
terramotos e ventos. Estes sistemas estruturais têm um desempenho diferente devido à inclusão de elementos 
estruturais e não estruturais, por exemplo, pilares, vigas, paredes de cisalhamento, lajes de piso, preenchimentos 
e as interações entre eles em toda a estrutura para resistir às ações aplicadas. Portanto, alguns
1. Introdução
Ali Al-Balhawiÿ1 e Binsheng Zhang1a
Investigações de períodos elásticos de vibração em edifícios altos de 
escritórios de concreto armado
a
Revisado manter em branco, , Aceito, mantenha em branco)(Recebido manter em branco
ÿAutor correspondente, pesquisador PhD, BEng MSc, E-mail: Ali.AlBalhawi@gcu.ac.uk
Professor, BEng MSc PhD, E-mail: Ben.Zhang@gcu.ac.uk
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abordagens experimentais (ou seja, testes de vibração ambiente) e abordagens analíticas e numéricas (ou seja, 
mecânica contínua e métodos de elementos finitos (FEM)). Os primeiros métodos são usados para calibrar os últimos e 
verificar as propriedades dinâmicas obtidas de uma estrutura (Brownjohn et al.
2000, Balendra et al. 2003, Kim et al. 2009, Panzera et al. 2013, Yoshida e Tamura 2015, Li e Yi 2016). No entanto, o 
custo mais elevado e outras barreiras à realização de investigações experimentais
e o desenvolvimento contínuo de software de computador poderoso oferece a oportunidade de adotar outros métodos, 
por exemplo, FEM para obter as características dinâmicas de vários sistemas estruturais. Além disso, os últimos 
métodos oferecem a oportunidade de investigar diferentes parâmetros que podem afetar as propriedades dinâmicas 
dos sistemas RC.
1-2 (BSI 2004), e em seguida foi realizado um estudo paramétrico para investigar os efeitos de vários parâmetros de 
projeto na resposta dinâmica dos modelos em termos do período elástico de vibração.
estrutura conforme investigado no estudo anterior (Al-Balhawi e Zhang 2017). Em particular, lajes de piso de concreto 
armado, por exemplo, diafragmas semirrígidos ou flexíveis com a rigidez à flexão contribuída pelas lajes de piso em 
estruturas de parede de cisalhamento de concreto armado podem afetar sua rigidez lateral e então alterar suas 
propriedades dinâmicas (Ju e Lin 1999, Lee et al. 2002) . Além disso, o desconhecimento dos efeitos desses elementos 
não estruturais em estruturas de paredes de cisalhamento de concreto armado pode resultar em alta discrepância nos 
resultados obtidos em testes em escala real em estruturas de concreto armado para obtenção de propriedades 
dinâmicas (Su et al. 2005, Kim et al. 2009).
Vários métodos foram aplicados até agora para obter as propriedades dinâmicas, incluindo
Para simplificar a modelagem na prática, o pórtico nu é utilizado para simular elementos estruturais para uma análise 
estrutural típica. Por outro lado, os efeitos dos elementos não estruturais, por exemplo, paredes de enchimento e lajes 
(assumidas como diafragmas rígidos), são simplesmente ignorados. Na verdade, a rigidez lateral das paredes de 
enchimento contribui significativamente para a rigidez lateral da estrutura nua
os sistemas são usados para alturas limitadas, por exemplo, os sistemas de estrutura RC resistentes ao momento 
podem ser usados para até 20-25 andares. Com o aumento da altura dos edifícios, no entanto, outros sistemas 
estruturais alternativos,por exemplo, paredes de cisalhamento de RC, paredes de cisalhamento de RC, estruturas de 
tubo de RC, etc., devem ser utilizados devido ao efeito dominante das cargas laterais, por exemplo, vento e terremoto. 
cargas em vez de cargas gravitacionais, em edifícios altos de RC (Stafford Smith e Coull 1991, Taranath 2009).
Os parâmetros estudados foram o número de pavimentos, a relação de aspecto da planta (AR) dos edifícios, as 
dimensões do núcleo, a eficiência espacial (SE) e a profundidade de locação (LD) entre o núcleo central interno e as 
esquadrias externas. Devido às configurações do plano destes sistemas, estes parâmetros influenciam em grande parte 
a resposta dinâmica de edifícios altos de escritórios RC.
No entanto, faltam investigações, em particular, sobre o efeito dos três últimos parâmetros para edifícios altos de 
escritórios RC e edifícios residenciais altos com paredes de cisalhamento, embora tenham atraído mais atenção do que 
os seus homólogos. Assim, como afirmado com a disponibilidade de computadores potentes, a análise numérica 
utilizando FEM pode ser utilizada para avaliar os comportamentos dinâmicos destes sistemas, ou seja, períodos 
elásticos de vibração. Além disso, os resultados numéricos obtidos dos períodos de vibração elástica podem ser 
utilizados como uma base confiável para estabelecer as fórmulas do período de vibração para estes sistemas. 
Conseqüentemente, essas fórmulas propostas serão comparadas com as fórmulas correspondentes citadas 
experimentalmente e com base numérica na literatura.
Neste estudo, sistemas de paredes de cisalhamento em RC para edifícios altos de escritórios em RC foram 
investigados em termos do período elástico de vibração. Estes sistemas foram concebidos considerando os efeitos da 
gravidade, das cargas impostas e do vento de acordo com os Eurocódigos, ou seja, BS EN 1990 (BSI 2005), BS EN 
1991-1-1 (BSI 2002), BS EN 1991-1-4 (BSI 2005). ), BS EN 1992-1-1 (BSI 2004) e BS EN 1992-
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100
1 0,83 / hD
ÿ
ÿ ÿ ÿ 
ÿ ÿ
A
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ÿ ÿ
ÿ
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C
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2
B eu 1 eu
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Em
n
2
ÿ
eu eu
ÿÿ
Em
b
C
T 0,0085
H
ÿ (1)
com
onde H ou h é a altura de um edifício, Cw representa a razão entre a área efetiva das paredes resistentes e 
a área total do piso do edifício na direção avaliada, n é o número de paredes resistentes na direção avaliada, 
Ai é o área da parede resistente na direção considerada, AB é a área plana da edificação, hi é a altura da 
parede resistente na direção avaliada e Di
é o comprimento das paredes de cisalhamento simples na direção avaliada.
Portanto, as fórmulas de projeto citadas são apresentadas em termos do período de vibração, T, em vez da 
frequência fundamental (o inverso de T), e o Sistema Internacional de Unidades (SI) é usado como:
(2)
Para avaliar os períodos de vibração de estruturas de paredes de cisalhamento RC, muitos códigos e 
normas de projeto adotaram fórmulas para estimar esta propriedade dinâmica. A Norma Americana ASCE7 
(2010) fornece diversas expressões para prever o período de vibração fundamental de edifícios com paredes 
de cisalhamento RC. Para o dimensionamento do vento, a norma adota a expressão limite superior proposta 
no estudo de Goel e Chopra (1998). A norma estabelece que a adoção da expressão do limite superior para 
o dimensionamento do vento, em vez da expressão do limite inferior recomendada no dimensionamento 
sísmico, está relacionada com o fornecimento de um dimensionamento do vento conservador em termos do 
fator de efeito da rajada e da pressão do vento de dimensionamento. Algumas limitações precisam ser 
verificadas em relação à altura e largura efetiva do edifício com planta regular para aplicação da expressão recomendada.
2. Códigos e padrões de projeto para edifícios
A norma também fornece outras expressões obtidas a partir de estudos analíticos nos ensaios em túnel 
de vento, que podem ser aplicadas a todos os edifícios com altura inferior a 122 m, independentemente do 
seu tipo de material. Estas expressões são em termos da altura do edifício H com base nas análises de 
regressão dos resultados analíticos obtidos como:
(3)
e o padrão australiano e neozelandês AS/NZS 1170.2 (2011) recomendam uma fórmula semelhante à Eq. 
(3) para obtenção do período fundamental de vibração para todos os tipos de edifícios, proposto pela primeira 
vez por Ellis (1980), com os correspondentes coeficientes empíricos citados na Tabela 1. No Japão, muitos 
estudos, como os feitos por Suda et al . (1996), Sasaki et al. (1997), Tamura et al. (2000) e Satake et al. 
(2003), usaram a forma da Eq. (3) prever o período de vibração natural de várias estruturas. Estes estudos 
utilizaram os dados obtidos em testes de vibração ambiente para edifícios japoneses e foram refletidos no 
documento especificado para amortecimento em edifícios feito pela Architectural Institution of Japan AIJ 
(2000), que recomenda uma fórmula semelhante para obter o período de vibração fundamental com o 
coeficientes empíricos correspondentes citados na Tabela 1. As variações nas fórmulas recomendadas para 
períodos de vibração entre os códigos e padrões de projeto indicam as diversas propriedades dinâmicas dos 
edifícios RC em todo o mundo devido a vários fatores de influência. Esses fatores incluem o sistema 
estrutural dos edifícios, a planta dos edifícios, a altura dos edifícios, a prática de construção, a história
onde ÿ e são coeficientes empíricos listados na Tabela 1. BS EN 1991-1-4 (BSI 2005)ÿ
ÿº =
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1
Coeficientes empíricos
0,0150 Para nível de habitabilidade
Fig. 1 Período de vibração fundamental versus altura do edifício nos códigos e normas de projeto
Códigos/Padrões
1
1
Observações
ÿ
1
a
ASCE 7 (2010)
BS EN1991-1-4 (2005) / AS/NZS 1170.2 (2011) 0,0217 AIJ (2000)
0,0328 Expressão de valor médio
0,0437
Tabela 1 Coeficientes empíricos nas fórmulas de período de vibração nos códigos e normas de projeto
Expressão de limite superior
-
Até agora, a maioria dos dados disponíveis para os períodos de vibração de estruturas de paredes resistentes 
são para edifícios residenciais onde a forma de caixa é o sistema mais popular. No entanto, existe uma falta de tais 
informações para edifícios de escritórios com paredes de estrutura RC. Nesta investigação, este tipo de edifícios é 
investigado através da realização de um estudo paramétrico com realização de análises numéricas para obtenção 
dos períodos de vibração fundamentais. Mais resultados experimentais são necessários para verificar o 
comportamento destes edifícios e fornecer a base para prever esta propriedade dinâmica ao projetar novos edifícios 
de escritórios com paredes de RC. Aqui, os estudos experimentais disponíveis sobre estruturas de RC e edifícios 
com paredes de cisalhamento estão incluídos neste estudo, onde os resultados para movimentos de baixa 
amplitude, por exemplo, testes de vibração ambiente, são citados para avaliação de projeto de ventoe a resposta 
esperada será linearmente elástica.
Lagomarsino (1993) investigou os períodos de vibração e as taxas de amortecimento de vários sistemas 
estruturais e materiais de construção na Itália. Ele realizou análises de regressão em correlação com o modelo 
analítico de viga cantilever nos dados de teste coletados de 185 edifícios para propor as fórmulas para prever os 
períodos de vibração para os modos mais baixos e mais altos. Devido ao escopo do presente estudo em relação 
aos edifícios com paredes de cisalhamento de concreto armado, apenas os correspondentes
3. Estudos experimentais
resposta de edifícios sob diferentes amplitudes de movimento, etc. (Shan et al. 2013). Portanto, as fórmulas citadas 
dos códigos e padrões de projeto são mostradas na Fig.
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Em
0,2
2 = 0,5560 é muito
Lee et al. (2000) realizaram testes de vibração ambiente em cinquenta edifícios de apartamentos RC com 
paredes de cisalhamento na Coréia para avaliar seus períodos de vibração fundamentais. O número de andares variou
entre 10 e 25. Indicaram que o período de vibração obtido na excitação sísmica é maior que aqueles obtidos nos 
ensaios de vibração ambiente em relação à degradação da rigidez por fissuração. Eles propuseram uma fórmula 
para avaliar o período de vibração de edifícios de apartamentos com paredes de cisalhamento RC em termos da 
altura do edifício e da relação entre o comprimento da parede e a área do piso através da análise de regressão 
restrita para os períodos medidos como segue:
(4)
7 (2010) adota a expressão de limite superior em vez da expressão de limite inferior no projeto de terremotos para 
prever o período de vibração de edifícios com paredes de cisalhamento projetados sob carga de vento, conforme 
indicado na Eq. (1). Afirmaram que as fórmulas propostas só podem ser aplicadas a edifícios com paredes de 
cisalhamento desacopladas. Contudo, para paredes resistentes acopladas a outros sistemas, ou seja, pórticos 
resistentes a momentos, outras fórmulas devem ser utilizadas. Além disso, ao realizar uma análise de regressão 
irrestrita em seus dados experimentais, a fórmula semelhante à Eq. (3) com os coeficientes empíricos foi obtido e 
é apresentado na Tabela 2. Porém, o coeficiente de correlação linear correspondente R
baixo e, portanto, adotaram outra fórmula em termos da relação altura e área efetiva das paredes de cisalhamento 
em relação à área de construção na direção considerada.
Goel e Chopra (1998) investigaram os períodos de vibração fundamentais de edifícios com paredes de 
cisalhamento RC com base nos dados obtidos dos movimentos sísmicos registrados. Eles propuseram as fórmulas 
mais adequadas com dois limites para estimar os períodos de vibração de edifícios com paredes de cisalhamento 
em termos da altura do edifício e da área efetiva das paredes de cisalhamento na direção avaliada. ASCE
é citada a fórmula proposta para avaliar o período fundamental. Para edifícios de 52 RC, a fórmula proposta para 
o período de vibração fundamental em termos da altura do edifício é a mesma da Eq. (3) com os coeficientes 
empíricos listados na Tabela 2.
onde Lw é a razão entre o comprimento da parede de cisalhamento e a área do piso na direção avaliada. Su et al.
(2003) realizaram testes de vibração ambiente para seis edifícios residenciais RC em Hong Kong para avaliar 
seus períodos fundamentais de vibração e taxas de amortecimento. A altura dos edifícios variava
(3). Os coeficientes empíricos correspondentes estão listados na Tabela 2.
Poovarodom et al. (2004) examinaram os períodos naturais e os modos de vibração realizando testes de 
vibração ambiente em cinquenta edifícios RC em Bangkok. O número de pisos variou entre 5 e 54 e a altura entre 
20 e 210 metros. Afirmaram que os edifícios de 15 a 25 andares estavam localizados em solo macio e a maioria 
era sensível a terremotos. Esses edifícios não foram projetados de forma sísmica. As análises de regressão 
restrita foram realizadas sobre os dados obtidos para propor fórmulas de avaliação do período de vibração 
fundamental dos edifícios em termos do número de pavimentos e da altura dos edifícios. Os coeficientes empíricos 
correspondentes para a fórmula proposta em termos da altura do edifício como Eq. (3) estão listados na Tabela 2.
entre 53 e 126 m. Além disso, eles usaram a modelagem 3-D de elementos finitos para calibrar os resultados da 
modelagem numérica em relação às medições em escala real. Eles propuseram as equações para prever os 
períodos de vibração com base em diferentes suposições de modelagem, ou seja, pórticos descobertos, pórticos 
com elementos não estruturais, etc. Eles descobriram que os resultados numéricos para pórticos descobertos 
sem componentes não estruturais e com a rigidez precisa da modelagem do concreto pode superestimar 
significativamente o comportamento dos edifícios existentes. Eles propuseram a fórmula para o período de 
vibração fundamental de edifícios altos com H > 50 m, em termos da altura do edifício como Eq.
0,4 0,5T
H
ÿ ÿ
eu
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0,07
D
H
T ÿ (5)
Kwon e Kim (2010) investigaram os períodos de vibração de diferentes sistemas estruturais in situ. 141 
edifícios foram selecionados nas estações do California Geological Survey (CGS). Além disso, utilizaram outros 
dados da literatura para combinar com os obtidos em seu estudo. Para minimizar o efeito de respostas não 
lineares de estruturas ou solos, foram utilizados no estudo os períodos de eventos sísmicos de baixa intensidade. 
Eles usaram um total de noventa e um edifícios RC, incluindo 56 paredes de cisalhamento RC, 23 paredes de 
cisalhamento de alvenaria armada (RM) e de alvenaria não armada (URM) e 12 paredes de cisalhamento 
basculantes de concreto pré-moldado (PC) para estabelecer uma expressão de limite inferior para avaliando os 
períodos de vibração para projeto sísmico como Eq. (3) e os coeficientes empíricos correspondentes estão listados na Tabela 2.
Michel et al. (2010) investigaram as propriedades dinâmicas de 127 edifícios RC em França através da 
realização de testes de vibração ambiente. Eles descobriram que os elementos não estruturais nos edifícios com 
paredes de cisalhamento tiveram menor influência devido à alta rigidez dos edifícios com paredes de cisalhamento. 
Eles indicaram que os dados de vibração ambiente proporcionaram a oportunidade de aceitar ou rejeitar as 
relações obtidas através dos métodos analíticos. Além disso, observaram que a altura ou o número de pisos dos 
edifícios contribuiu para 85-90% da variação do período. Porém, o comprimento do edifício na direção considerada 
apresentou baixo coeficiente de correlação parcial. Os coeficientes empíricos correspondentes para a fórmula 
proposta em termos da altura do edifício como Eq. (3) também estão listados na Tabela 2.
Gilles (2011) explorou os períodos de vibração e as taxas de amortecimento para osmodos baixo e alto, 
conduzindo testes de vibração ambiente em trinta e nove edifícios de vários andares em Montreal, Canadá.
edifícios de aço no Irã para avaliar seus períodos de vibração fundamentais. Os edifícios RC testados incluem 
sistema duplo de paredes de cisalhamento e pórticos resistentes a momentos com paredes de enchimento. Além 
disso, a altura dos edifícios variava entre 16 e 75 m. Com base nos dados obtidos, realizaram análises de 
regressão para estabelecer expressões semelhantes para avaliar os períodos de vibração fundamentais em 
termos de altura dos edifícios à Eq. (3), com os correspondentes coeficientes empíricos listados na Tabela 2.
Além disso, propõem outra expressão para os sistemas duais RC em termos de altura e dimensão da planta 
(profundidade) dos edifícios na direção considerada, como segue:
Jalali e Milani (2005) realizaram testes de vibração ambiente em trinta edifícios RC e trinta
Yoon e Ju (2004) investigaram os períodos naturais e as taxas de amortecimento de edifícios altos na Coreia, 
incluindo vinte e um edifícios de aço e dezessete edifícios de parede RC. O número de pisos variou entre 11 e 
25, e a altura do edifício varia entre 28,5 m e 67 m. Eles usaram testes de microtremor nesses edifícios para 
obter as propriedades dinâmicas. Para os edifícios altos com paredes de RC, os coeficientes empíricos 
correspondentes para a fórmula proposta em termos da altura do edifício como Eq. (3) estão listados na Tabela 
2.
A altura dos edifícios variava entre 12 m e 195 m. Vinte e sete edifícios com paredes de cisalhamento RC foram 
utilizados para estabelecer as fórmulas do período, utilizando análises de regressão irrestritas e restritas 
semelhantes à Eq. (3). Os coeficientes empíricos correspondentes da análise de regressão restrita estão listados 
na Tabela 2. Como o estudo atual trata do projeto de edifícios com paredes de cisalhamento de RC sob carga 
de vento, a expressão restrita de melhor ajuste é aplicada em vez da expressão de limite inferior que é usada 
para um projeto conservador de terremotos.
Velani e Kumar (2016) realizaram testes de vibração ambiente em trinta e dois edifícios altos de RC na Índia 
para avaliar seus períodos de vibração fundamentais. O número de pisos variou entre 16 e 42. Com base nos 
dados obtidos, utilizaram análises de regressão irrestrita e restrita para estabelecer as fórmulas de avaliação do 
período de vibração fundamental em termos de
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como
bbb 3 4 5 al minbb 1 2 b6ÿ ÿÿTC hÿ J.ÿ
Jalali e Milani (2005)
Para 17 edifícios de parede RC
0,9650
Referências
0,0268
0,0366
Tabela 2 Coeficientes empíricos nas fórmulas para período de vibração dos estudos experimentais recentes sobre
0,8500
1
0,0190
a
Michel et al. (2010)
Para 52 edifícios RC
Para a expressão de limite inferior
Edifícios emoldurados RC com paredes de cisalhamento
0,7500
0,0130
Goel e Chopra (1998)
Para expressão restrita de melhor ajuste
1
0,0190
Poovarodom et al. (2004)
ÿ
Para H > 50 m
Para sistemas duplos RC com preenchimentos
1
Observações
0,0130
Kwon e Kim (2010)
0,0182
0,0150
Gilles e McClure (2012)
1
Para 127 edifícios RC
Coeficientes empíricos
1
0,0190
Su et al. (2003)
Para todos os dados
Lagomarsino (1993)
Velani e Kumar (2016)
0,0260
Yoon e Ju (2004)
Para 50 edifícios RC
1
1
Para expressão restrita de melhor ajuste
(6)
onde h é a altura total do edifício em m, ÿ é a razão de dimensão do lado longo para o lado curto, é a razão entre toda a área da parede de cisalhamento do lado longo e a área total do piso, é a 
razão de a área mínima da parede resistente à área total do piso, J é o momento polar de inércia da planta, C e b1 a b6 são as constantes obtidas nas análises de regressão não linear. Aqui, 
nenhuma fórmula para o período de vibração em termos de altura dos edifícios foi proposta apenas porque a maioria dos modelos simulados tem comportamento fundamental no modo de torção.
Com base nas análises de regressão não linear dos resultados numéricos, foi proposta uma forma de expressão como 
Eq. (6). O momento polar de inércia está incluído na expressão proposta ao considerar o comportamento torcional 
fundamental de muitos modelos relevantes para as dimensões planas e configurações das paredes de cisalhamento. A 
expressão proposta é dada da seguinte forma:
é a razão entre a área da parede de cisalhamento do lado curto e a área total do piso,
Balkaya e Kalkan (2003) realizaram análises de elementos finitos 3-D em oitenta edifícios de paredes de 
cisalhamento RC (forma de túnel) com diversas configurações para avaliar seus períodos de vibração fundamentais e 
propor novas expressões para avaliar esta propriedade dinâmica. O número de andares variou
entre 2 e 15. Assim, os modelos simulados foram paredes resistentes e lajes lisas sem vigas e pilares. Este tipo de 
edifícios é comumente usado para usos públicos e residenciais.
4. Estudos numéricos
altura dos edifícios, a dimensão dos edifícios na direção considerada e a área dos edifícios. Da mesma forma, apenas a 
expressão restrita de melhor ajuste como a Eq. (3) é aplicado com os coeficientes empíricos correspondentes listados 
na Tabela 2.
ÿ
ÿ
Vuran et al. (2008) examinaram os parâmetros de resposta de sistemas de parede de estrutura dupla na Turquia 
realizando modelagem 3-D de elementos finitos baseada em fibra usando análises pushover adaptativas baseadas 
em deslocamento em vez de análises baseadas em força para obter os parâmetros de resposta, por exemplo colheita
ÿ como
min
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TH = 0,075
Portanto, acredita-se que a fórmula proposta acima superestime os períodos de vibração resultantes da análise 
baseada em força porque Chopra e Goel (2000) sugeriram o uso da equação do limite superior da análise baseada 
em força em seu estudo anterior (1998) para avaliar os deslocamentos sísmicos. Para edifícios de escritórios com 
paredes de concreto armado, há falta de informações sobre suas propriedades dinâmicas nos estudos experimentais 
e numéricos anteriores. Assim, o presente estudo consiste em investigar este tipo de edifícios através de um estudo 
paramétrico, realizando análises numéricas para obter o período de vibração fundamental e discutindo a viabilidade 
de estabelecer fórmulas para prever esta propriedade dinâmica tendo em conta vários fatores de influência.
Neste estudo, a resposta dinâmica de edifícios de escritórios RC foi investigada analiticamente por
tendo em conta uma série de parâmetros, incluindo a altura dos edifícios, a planta ou as proporções laterais (AR) dos 
edifícios, as dimensões do núcleo, a eficiência do espaço e a profundidade de locação entre o núcleo central interno e 
as molduras exteriores. Os modelos simulados incluíram os pórticos com núcleos em U centrais duplos. O número de 
pisos variou entre 10 e 40 e a altura dos pisos foi de 3 m. Além disso, a proporção do plano Ly/Lx variouentre 1 e 2 
dependendo do comprimento do vão e do número de vãos. Os comprimentos dos vãos foram assumidos como sendo de 
5 me 6 m, enquanto o número de vãos variou de 3 a 7 com áreas de construção e comprimentos de vãos variados. Como 
exemplo, os modelos eram de planta quadrada e retangular devido ao número assumido de vãos, conforme mostrado na 
Fig.
2. Além disso, a Figura 3 ilustra configurações típicas dos núcleos adotados nos modelos.
(7)
5. Investigações paramétricas
dos edifícios estudados nas direcções consideradas, os edifícios estudados foram divididos em três grupos, ou seja, 
comportamento de pórtico, comportamento duplo e comportamento de parede. A fórmula do período de vibração 
proposta para edifícios de duplo comportamento é a seguinte:
períodos, forma deformada e alturas efetivas dos edifícios estudados, a fim de definir as características do sistema 
de grau de liberdade único (SDOF) de estruturas duais. Devido aos vários comportamentos
Os modelos foram projetados sob cargas de gravidade e vento de acordo com os Eurocódigos relevantes, ou 
seja, BS EN 1990 (BSI 2005), BS EN 1991-1-1 (BSI 2002), BS EN 1991-1-4 (BSI 2005), BS EN 1992- 1-1 (BSI 
2004) e BS EN 1992-1-2 (BSI 2004). Além dos critérios de estado limite último, os modelos também foram verificados 
em relação aos critérios de estado limite de utilização para limitar o limite lateral máximo
(d) AR = 1:1(a) AR = 1: 1,75 Fig. 2 
Vistas 3-D de modelos de edifícios de escritórios com paredes de cisalhamento RC de dez andares com várias proporções de planta
(c) AR = 1:1,17(b) AR = 1:1,4
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20-29
68-73
30-39
40+
Fig. 3 Configurações de planta típicas para os núcleos de modelos de edifícios de escritórios com estrutura de cisalhamento RC
79-83
Tabela 3 Eficiência construtiva (área líquida/área bruta) de edifícios de escritórios de vários andares
Número de andares 
2-4
72-80
70-78
Eficiência (%)
5-9
83-86
10-19
69-75
Para a simulação dos modelos foi utilizado o software comercial SAP2000 (CSI 2016), onde as vigas e pilares de 
concreto armado foram modelados como elementos de viga de dois nós com seis graus de liberdade para cada nó, 
enquanto as lajes e paredes resistentes foram modeladas como elementos de casca. Além disso, a integridade do 
núcleo com as molduras externas foi garantida pelas lajes e vigas. A modelagem de lajes de piso foi adotada conforme 
muitos estudos (Ju e Lin 1999, Lee et al. 2002, Su et al. 2005, Kim et al.
2009, Sev e Özgen 2009, Zekioglu et al. 2007). Com base nos parâmetros conduzidos neste estudo,
2009) indicaram que a rigidez à flexão de lajes de piso poderia afetar a rigidez lateral de estruturas de paredes de 
cisalhamento e então alterar suas propriedades dinâmicas. Assim, a maioria das plantas dos modelos simulados eram 
semelhantes às dos edifícios reais investigados nos estudos anteriores (Kim et al.
um total de 104 modelos foram simulados.
As áreas centrais típicas foram organizadas com base no estudo de Sev e Özgen (2009), que explorou amplamente 
os parâmetros de projeto de edifícios altos de escritórios RC em todo o mundo, particularmente na Turquia.
Para a eficiência espacial dos edifícios de escritórios RC, a Tabela 3 adotada por Sev e Ozgen (2009) é utilizada 
como critério primário para determinar as áreas centrais. Assim, os modelos simulados apresentaram índices de 
eficiência espacial variando de 80% a 84% e as profundidades de arrendamento entre o núcleo central interno e os 
pórticos externos variando entre 5 me 12 m com base nas diferentes relações de aspecto do plano.
As paredes de cisalhamento (núcleos) foram variadas de acordo com a altura, planta, eficiência espacial e cargas de 
cada edifício. As paredes resistentes (núcleos) foram verificadas também através do software CSiCOL V.9 (CSI 2003).
deriva para 1/500 da altura total do edifício sob carga de vento (PEER/ATC 2010). A resistência à compressão do 
concreto utilizado variou entre 25 e 40 MPa. As seções dos pilares e vigas RC foram selecionadas com a altura dos 
edifícios devido às cargas aplicadas e às configurações de planta dos edifícios. A laje foi projetada tipicamente com 
espessura de 0,2 m.
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T a H =b
A Figura 4 ilustra os resultados numéricos obtidos a partir dos modelos simulados com as fórmulas de 
regressão irrestrita e restrita ajustadas em relação à altura dos edifícios nas duas direções horizontais e 
combinadas. As fórmulas de regressão ajustadas são expressas na figura em vermelho, verde e preto para as 
tendências na direção x, direção y e direções combinadas, respectivamente. A regressão utilizada é dada a 
seguir:
(8)
onde T é o período de vibração fundamental, aeb são os coeficientes empíricos e H é a altura do edifício . Os 
coeficientes empíricos correspondentes e os valores de R e a raiz do erro 
quadrático médio (RMSE) ou o erro padrão estão listados na Tabela 4. Pode-se observar que os altos coeficientes de 
correlação para a fórmula de previsão do período de vibração indicam a dependência significativa desta propriedade 
dinâmica da altura dos edifícios e reflecte a razão para incluir este parâmetro de alta correlação “altura do edifício” nas 
fórmulas recomendadas nos códigos e normas de projecto e nos estudos experimentais. Esta evidência concorda 
consistentemente com a afirmação de Michel et al. (2010) que a altura ou o número de pisos dos edifícios contribuiu para 
85-90% da variação do período.
Nesta seção, os resultados numéricos dos períodos de vibração fundamentais em relação aos parâmetros 
empregados nas análises 3D FE eigen são apresentados e discutidos. Novas fórmulas para o período de vibração são 
então propostas com base nas regressões simples ou múltiplas irrestritas e restritas realizadas sobre os resultados 
obtidos. Conforme afirmado acima, as contribuições das lajes de piso foram levadas em consideração na modelagem 
devido ao efeito da rigidez à flexão das lajes de piso na rigidez lateral das estruturas de paredes de cisalhamento, além 
de seus papéis de conectividade para ligar as paredes de cisalhamento (núcleos) a as armações resistentes externas. 
Assim, os modelos de pórtico nu foram ignorados e os resultados dos modelos completos incluindo pilares, vigas, 
paredes resistentes e lajes de piso são discutidos aqui. Vale ressaltar que não foram utilizadas paredes de preenchimento 
nos modelos.
Conforme sugerido nos códigos e normas de projeto e nos estudos experimentais, a altura dos edifícios é 
o melhor preditor para avaliar os períodos de vibração de diferentes sistemas estruturais de edifícios de RC. 
Assim, primeiro foram explorados os resultados numéricos obtidos dos períodos de vibração fundamentais, 
realizando diversas análises de regressão irrestrita e restrita em relação à altura do edifício dos modelos 
simulados com base em escalas log-log naturais para os parâmetros considerados paraobter os coeficientes 
empíricos para cada fórmula proposta. Além disso, foram realizadas análises de regressão e os valores obtidos 
por meio do software Matlab (MWI 2017).
6.1 Os efeitos das alturas e dimensões planas dos edifícios
6. Análise e discussão dos resultados numéricos
onde D é a dimensão do edifício correspondente à direção avaliada e c é um coeficiente empírico baseado na análise de 
regressão dos resultados obtidos. Os coeficientes empíricos e os valores de R
Outro parâmetro adicionado à forma de regressão anterior Eq. (8) é a dimensão dos edifícios
e a raiz do erro quadrático médio (RMSE) estão listados na Tabela 5. Fig.
(9)
(comprimento ou profundidade) na direção avaliada e a expressão correspondente é dada como segue:
a.C.
2
2
T um HD ÿ
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2
2
As fórmulas de regressão irrestrita ajustadas expressas em vermelho, verde e preto são as tendências na direção x, 
direção y e direções combinadas, respectivamente. A Figura 6 ilustra os resultados numéricos obtidos nos modelos 
simulados com a fórmula de regressão restrita ajustada em termos de altura e dimensão dos edifícios nas direções 
consideradas.
A Figura 5 ilustra os resultados numéricos obtidos nos modelos simulados com as fórmulas de regressão irrestrita 
ajustadas em termos de altura e dimensão dos edifícios nas direções consideradas.
Verifica-se que na Tabela 5, a inclusão da dimensão dos edifícios no
1,0000
Fig. 4 Períodos de vibração fundamentais versus altura do edifício para edifícios com paredes de cisalhamento de RC com AR = 1:1 
a 1:2
0,8983 0,2253
0,0053
0,0184
-0,3875
Coeficientes empíricos
b
0,0171
Observações
0,0180
-0,5000
R
1.2719 Período longitudinal
a
1.3752
0,9839 0,0865
0,9515 0,1633
Regressão restrita para direções combinadas1,0000
Período transversal
1.3236
0,9265 0,1916 Regressão restrita para direções combinadas
0,9554 0,1496
Coeficientes empíricos b
0,0037
Período para direções combinadas
-0,5080
Observações
0,0044
Tabela 4 Coeficientes empíricos nas fórmulas de período de vibração propostas para edifícios de concreto armado com paredes de 
cisalhamento apenas em termos de altura do edifício
R
0,0199
-0,4263
1.3752 Período transversal
REQM
0,0892
0,9898 0,0751
REQM
1.3236 Período para direções combinadas
c
1.2719
0,9844 0,0886
0,9689 0,1198
a
Tabela 5 Coeficientes empíricos nas fórmulas de período de vibração propostas para edifícios de concreto armado com paredes de 
cisalhamento em termos de altura e dimensão dos edifícios
Período longitudinal
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No entanto, foi encontrado um elevado coeficiente de correlação parcial R = 0,9775 em relação à altura do 
edifício, indicando novamente a influência significativa deste parâmetro no período de vibração fundamental.
A inclusão da profundidade ou comprimento dos edifícios na avaliação dos períodos de vibração tem sido 
criticada por Michel et al. (2010) e Pan et al. (2014) que afirmaram que a profundidade ou comprimento dos 
edifícios apresentavam baixa correlação com o período de vibração fundamental. Por outro lado, Jalali e 
Milani (2005) mostraram uma boa concordância entre o período de vibração dos sistemas duais e os preditores 
em termos de altura e dimensão dos edifícios na direção considerada.
O erro padrão de estimativa diminuiu significativamente, em particular para as fórmulas de regressão propostas 
em comparação com as da Tabela 4. Além disso, o período de vibração fundamental teve um coeficiente de 
correlação parcial muito baixo R = -0,1703 contra a dimensão dos edifícios onde o sinal negativo significa que 
o período de vibração diminui quando a dimensão do edifício aumenta.
A direção aumenta ligeiramente os coeficientes de correlação linear para as fórmulas do período de vibração 
em comparação com as fórmulas de regressão anteriores na Tabela 4 apenas em termos da altura do edifício.
com fórmulas de regressão irrestritas
com fórmula de regressão restrita
Fig. 6 Período de vibração fundamental versus altura e dimensões planas de edifícios com paredes de cisalhamento em RC
Fig. 5 Período de vibração fundamental versus altura e dimensões planas de edifícios com paredes de cisalhamento em RC
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0,9693 0,1196
Tabela 6 Coeficientes empíricos nas fórmulas de período de vibração propostas para edifícios de PRF em termos de altura e dimensão 
de edifícios e paredes de cisalhamento
0,8847 0,2400 Regressão restrita para direções combinadas
0,9617 0,1391
Coeficientes empíricos bd
a
1,3235
1,0000
0,0040 -0,3066
-0,0534
Período para direções combinadas-0,1794
REQM
0,0052
0,0045
Observações
-0,5000
Período transversal
R
0,0180
0,9722 0,12421.3696
Período longitudinal1.2729
2
ÿT a hl
2
eu
D
ÿ
bd
Parede de cisalhamento
expressão para a Eq. (9) exceto que o último termo da equação foi substituído por outro parâmetro para levar em 
conta o efeito do comprimento das paredes de cisalhamento na direção avaliada no período de vibração 
fundamental calculado:
(10)
onde L é a razão entre o comprimento das paredes de cisalhamento e a dimensão dos edifícios na região avaliada
onde d é um coeficiente empírico. Os coeficientes empíricos correspondentes e os valores de R
do período de vibração com a altura e dimensões dos edifícios e os tamanhos das paredes de cisalhamento na direção 
avaliada são examinados.
Análises de regressão irrestrita e restrita foram realizadas utilizando um método semelhante
Na subseção anterior foram investigados dois parâmetros, a altura e a dimensão das edificações nas direções 
avaliadas. Os resultados demonstraram que o primeiro teve muito mais influência no período de vibração 
fundamental do que o último. Nesta subseção, as correlações
6.2 Os efeitos das dimensões planas de edifícios e núcleos
(11)
e a raiz do erro quadrático médio (RMSE) estão listados na Tabela 6. A Fig. 7 ilustra os resultados numéricos 
obtidos dos modelos simulados com as fórmulas de regressão irrestrita ajustadas em termos da altura dos edifícios 
e da razão entre o comprimento das paredes de cisalhamento e a dimensão da planta dos edifícios nas direções 
consideradas. Portanto, as fórmulas de regressão irrestrita ajustadas, expressas em vermelho, verde e preto, são 
as tendências na direção x, na direção y e nas direções combinadas, respectivamente. A Figura 8 ilustra os 
resultados numéricos obtidos nos modelos simulados com a fórmula de regressão restrita ajustada em termos da 
altura dos edifícios e da relação entre o comprimento das paredes de cisalhamento e a dimensão em planta dos 
edifícios nas direções consideradas.
direção, Dshear-wall é o comprimento das paredes de cisalhamento na direção avaliada, D é a dimensão dos 
edifícios na direção avaliada. Assim, a expressão ajustada é dada da seguinte forma:
Da mesma forma, a Tabela 6 demonstra uma melhoria na previsão dos períodos de vibração ao incluir a 
relação entre o comprimento das paredes de cisalhamento e a dimensão dos edifícios nas direções consideradas. 
No entanto,a correlação entre o período de vibração fundamental e esta relação é muito baixa, pois R = -0,0794 
onde o sinal negativo ainda significa que o período de vibração diminui quando a relação aumenta. Isto indica 
novamente a influência dominante da altura dos edifícios na avaliação dos períodos de vibração com elevados 
coeficientes de correlação nas análises de regressão.
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Nesta subseção são investigados os efeitos da área dos edifícios e da área das paredes de cisalhamento 
(núcleos) dos edifícios. Goel e Chopra (1998) afirmaram que a fórmula proposta incluindo a altura do edifício e a 
área efetiva das paredes de cisalhamento só poderia ser aplicada a edifícios com paredes de cisalhamento 
desacopladas, enquanto para paredes de cisalhamento acopladas com outros sistemas resistentes, outras 
fórmulas deveriam ser usadas. Mesmo assim, outras análises de regressão foram realizadas incluindo a área de cisalhamento efetiva
(12)
relação entre as paredes de cisalhamento centrais (núcleo) e a área plana dos edifícios, além da altura 
dos edifícios e a seguinte forma de regressão é proposta como:
6.3 Os efeitos das áreas planas de edifícios e núcleos
onde A é a relação entre a área de cisalhamento efetiva das paredes de cisalhamento e a área da planta do 
edifício correspondente à direção avaliada, e e é um coeficiente empírico. Aqui, a razão efetiva da área de 
cisalhamento A foi avaliada com base na Eq. (2). Os coeficientes empíricos correspondentes e os valores de Re
ser
Fig. 8 Período de vibração fundamental versus altura do edifício e relação entre o comprimento da parede de 
cisalhamento e a dimensão do edifício para edifícios RC com fórmula de regressão restrita
Fig. 7 Período de vibração fundamental versus altura do edifício e relação entre o comprimento da parede de 
cisalhamento e a dimensão do edifício para edifícios de estrutura RC com fórmulas de regressão irrestritas
2
T para HA =
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Coeficientes empíricos b
e 
1,0000
Período para direções combinadas
R
0,0084
-0,2265
0,7559 0,3491 Regressão restrita para direções combinadas
0,9906 0,0662
0,0072
-0,1674
edifícios de parede com fórmulas de regressão irrestritas
REQM
-0,5000
1,0099
1.0509
Período longitudinal
Tabela 7 Coeficientes empíricos nas fórmulas de período de vibração propostas para edifícios pórtico-parede de cisalhamento de 
concreto armado em termos de altura dos edifícios e razão de área de cisalhamento efetiva
a
0,0067
1,0000
0,9776 0,1057 Regressão restrita para direções combinadas
0,9961 0,0464
-0,2025
0,0067
Fig. 9 Período de vibração fundamental versus altura do edifício e relação entre área de cisalhamento efetiva para estrutura RC-cisalhamento
0,9785 0,1041
0,0020
-0,2000
Observações
0,9388
Período transversal
a raiz do erro quadrático médio (RMSE) está listada na Tabela 7. Além disso, a Fig. 9 ilustra os resultados 
numéricos obtidos dos modelos simulados com as fórmulas de regressão irrestrita ajustadas em termos da 
altura dos edifícios (H) e da razão efetiva da área de cisalhamento das paredes resistentes à área da planta 
de construção (A) na direção considerada. Portanto, as fórmulas de regressão irrestrita ajustadas, expressas 
em vermelho, verde e preto, indicam as tendências na direção x, na direção y e nas direções combinadas, 
respectivamente. Os desvios nos resultados numéricos da Fig. 9 estão relacionados com as diversas áreas 
das paredes de cisalhamento e áreas planas dos edifícios nas duas direções horizontais. A Figura 10 ilustra 
os resultados numéricos obtidos a partir dos modelos simulados com as fórmulas de regressão restritas 
ajustadas em relação à altura dos edifícios e à relação entre a área de cisalhamento efetiva das paredes de 
cisalhamento e a área da planta do edifício na direção considerada. Pode-se observar na Tabela 7 que a 
inclusão da razão entre a área de cisalhamento efetiva das paredes de cisalhamento e a área da planta do 
edifício na direção considerada aumenta os coeficientes de correlação para as fórmulas do período de 
vibração mais do que as fórmulas de regressão anteriores apresentadas nas Tabelas 4, 5 e 6. O erro padrão 
da estimativa também diminuiu significativamente, em particular para as fórmulas de regressão sem restrições 
propostas. Este efeito está altamente relacionado com a inclusão da razão de área de cisalhamento efetiva 
além da altura dos edifícios para determinação dos períodos de vibração fundamentais. Aqui, a correlação 
entre o período de vibração fundamental e a razão da área de cisalhamento efetiva é R = -0,8718. Isto 
evidentemente indica o efeito significativo da relação entre a área de cisalhamento efetiva das paredes de 
cisalhamento e a área da planta do edifício no período de vibração fundamental, que é semelhante ao afirmado por Goel e Chopra (1998).
2
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Racionalmente, este aumento aumenta a rigidez lateral dos sistemas pórtico-parede de cisalhamento de modo a diminuir o 
período de vibração fundamental ou aumentar a frequência fundamental. Figos. 11 e 12 ilustram o efeito da eficiência do 
espaço e da profundidade de locação nos períodos de vibração fundamentais de alguns edifícios de 40 andares. Pode-se 
observar na Figura 11 que com o aumento da eficiência espacial dos edifícios o período de vibração fundamental aumenta 
devido à redução da contribuição da área da parede de cisalhamento para toda a rigidez lateral dos edifícios com parede de 
cisalhamento nas duas direções horizontais. , ou seja, direções x e y. Na verdade esta melhoria não está apenas relacionada 
com a eficiência do espaço mas também com a diminuição do número de vãos nos dois sentidos, ou seja,
Como indicado nas Figs. 11 e 12, os valores do período de vibração fundamental na direção x são inferiores aos da direção 
y devido às maiores áreas efetivas da parede de cisalhamento na direção x. A Figura 12 ilustra o efeito da profundidade de 
locação no período de vibração fundamental. Com o aumento da profundidade de locação, o período de vibração diminui 
devido ao aumento do número de vãos, ou seja, de 4 para 7, resultando no aumento da rigidez lateral dos edifícios com paredes 
de cisalhamento.
A eficiência de espaço (SE) e a profundidade de arrendamento (LD) são parâmetros cruciais para projetar edifícios de 
escritórios altos porque são usados para especificar a área útil útil fora da área bruta para alugar e avaliar o benefício de 
investir dinheiro. Aqui, estes dois parâmetros são avaliados em relação ao período de vibração fundamental. Quando a área 
das paredes de cisalhamento (núcleo) aumenta a eficiência do espaço e a profundidade de locação diminui se a área plana de 
um edifício for fixa.
6.4 Os efeitos da eficiência de espaço e da profundidade de locação entre núcleos e estruturas externas
de 7 a 4. A diferença entre os períodos de vibração fundamentais nas duas direções horizontais também estárelacionada às 
variadas áreas da parede de cisalhamento, conforme indicado na Figura 3.
Estas tendências são semelhantes às de outras relações de aspecto do plano (AR), ou seja, o período de vibração fundamental 
para relações de aspecto do plano mais altas será maior do que para relações de aspecto do plano mais baixas para RC com
planos simétricos devido à desigualdade em AR ao longo das duas direções horizontais que resulta em diferentes rigidezes 
laterais. Além disso, as interações entre os sistemas externos resistentes à estrutura para comportamento de cisalhamento e 
as paredes de cisalhamento internas (núcleo) para comportamento de flexão desempenham um papel significativo no aumento 
da rigidez lateral dos sistemas duplos e, em seguida, reduzindo o período de vibração fundamental ou aumentando o frequência 
de vibração fundamental. Com o aumento do número de vãos para a mesma altura do edifício, a rigidez lateral dos pórticos e 
das paredes de cisalhamento aumenta devido à
Fig. 10 Período de vibração fundamental versus altura do edifício e razão de área de cisalhamento efetiva para edifícios de 
estrutura RC-parede de cisalhamento com fórmulas de regressão restritas
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7. Comparação entre as fórmulas propostas e as da literatura
Nesta seção, as fórmulas propostas para avaliar os períodos de vibração de edifícios altos de escritórios com 
paredes de cisalhamento em RC são comparadas com aquelas citadas nos estudos anteriores. Como a maioria das 
fórmulas citadas dependem principalmente da altura dos edifícios, a fórmula restrita proposta em termos da altura dos 
edifícios é comparada com as citadas na literatura. Além disso, a fórmula restrita proposta para os modelos em direções 
combinadas (ver Tabela 4), T = 0,0171 H, é comparada com as equações empíricas recomendadas nos códigos e 
normas de projeto, ou seja, BS EN 1991-1-4 (BSI 2005), ASCE 7 (2010), AS/NZS 1170.2 (2011) e AIJ (2000), e no 
citado
das paredes de cisalhamento nas direções avaliadas.
o aumento da rigidez dos pilares e vigas dos pórticos e das áreas de cisalhamento efetivas
(a) Lspan = 5 m (b) Lspan = 6 m
Fig. 12 Período de vibração fundamental versus profundidade de locação para edifícios de 40 andares com AR = 1:1
Fig. 11 Período de vibração fundamental versus eficiência de espaço para edifícios de 40 andares com AR = 1:1
(a) Lspan = 5 m (b) Lspan = 6 m
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edifícios com paredes de cisalhamento com aqueles nos códigos e padrões de projeto
Fig. 13 Comparação da fórmula proposta para período de vibração fundamental versus altura do edifício para RC
A Figura 14 ilustra as comparações entre a mesma fórmula restrita e aquelas citadas nos estudos experimentais 
recentes feitos por Goel e Chopra (1998), Lagomarsino (1993), Su et al.
(2003), Jalali e Milani (2005), Kwon e Kim (2010), Gilles (2011) e Velani e Kumar (2016). Alguns estudos não estão incluídos 
na figura anterior porque suas fórmulas coincidem entre si. Assim, apenas um estudo é incluído para representar os demais. 
Pode-se observar que a fórmula restrita proposta subestima o período de vibração com base na fórmula derivada de Goel e 
Chopra (1998) que possui um baixo coeficiente de correlação R
A Figura 13 ilustra a alta discrepância entre a fórmula restrita proposta e as recomendadas na BS EN 1991-1-4 (BSI 
2005), ASCE 7 (2010) e AS/NZS 1170.2 (2011) (ver Tabela 1). É interessante ver que a fórmula restrita proposta concorda 
razoavelmente bem com a fórmula recomendada em AIJ (2000). As fórmulas em BS EN 1991-1-4 (BSI 2005), ASCE 7 
(2010) e AS/NZS 1170.2 (2011) superestimam os períodos de vibração fundamentais de edifícios altos de escritórios RC, 
enquanto a fórmula para edifícios japoneses em AIJ (2000) subestima ligeiramente os períodos de vibração fundamentais 
dos altos edifícios de escritórios RC.
Estudos experimentais realizados por Goel e Chopra (1998), Lagomarsino (1993), Su et al. (2003), Jalali e Milani (2005), 
Kwon e Kim (2010), Gilles (2011) e Velani e Kumar (2016), conforme ilustrado nas Figs. 13 e 14, respectivamente.
= 0,5560 conforme indicado na Seção 3. Por um 
lado, a fórmula restrita proposta para o período de vibração tem uma boa concordância com as fórmulas citadas por 
Lagomarsino (1993) e Gilles (2011). Além disso, a fórmula restrita situa-se entre os limites inferior e superior propostos por 
Gilles (2011). Por outro lado, a fórmula restrita para o período de vibração superestima os valores obtidos com base nas 
fórmulas de Su et al. (2003), Jalali e Milani (2005), Kwon e Kim (2010) e Velani e Kumar (2016). Essas diferenças se devem 
ao fato de que esses estudos investigaram edifícios residenciais de RC, geralmente com mais preenchimentos e paredes 
de cisalhamento do que edifícios de escritórios de RC. Assim, a rigidez lateral dos edifícios residenciais de RC será superior 
à dos edifícios de escritórios de RC, conduzindo a períodos de vibração fundamentais mais curtos ou a frequências 
fundamentais mais elevadas. Portanto, o estudo feito por Kwon e Kim
(2010) mostraram os valores mais curtos do período de vibração estimado ao investigarem diferentes tipos de edifícios com 
paredes de cisalhamento.
2
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edifícios com paredes de cisalhamento com aqueles de estudos experimentais anteriores
Fig. 14 Comparação da fórmula proposta para período de vibração fundamental versus altura do edifício para RC
Fig. 15 Comparação da fórmula proposta para o período de vibração fundamental versus a altura do edifício e a relação entre a área de 
cisalhamento efetiva para edifícios de estrutura de RC e paredes de cisalhamento com aqueles nos estudos anteriores
não são usados para comparação, pois os primeiros pesquisadores estudaram as paredes de 
cisalhamento com lajes apenas sem pilares e vigas (forma de túnel), e os últimos pesquisadores 
sugeriram uma fórmula de menor período de vibração com base na análise baseada em deslocamento 
em vez da análise baseada em força o que normalmente resulta em valores de período de vibração mais 
longos. A falta de informações sobre as propriedades dinâmicas dos edifícios de escritórios RC na 
literatura, seja por estudos experimentais ou numéricos, deve ser mais explorada na busca pelo 
estabelecimento de tais fórmulas para avaliar os períodos de vibração fundamentais desses edifícios e 
também para justificar os períodos de vibração propostos obtidos a partir do análises numéricas. A Figura 
15 ilustra a comparação da fórmula restrita proposta indicada na Tabela 7 para o período de vibração 
fundamental em termos de altura dos edifícios e razão de área de cisalhamento efetiva com a fórmula 
da ASCE7 (2010) como Eq. (1). Pode-se observar uma grande discrepância entre a fórmula restrita proposta e a fórmula dada na norma.
As fórmulas de base analítica citadas por Balkaya e Kalkan (2003) e Vuran et al. (2008)
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• A relação entre o comprimento da parede de cisalhamento e a dimensão da planta do edifício no
(H/ÿ ), inferior a 300, caso contrário será esperada uma discrepância elevada para relações mais elevadas, conforme ilustrado 
na Fig.
8. Conclusões
a direção é menos influente no período de vibração fundamental.
• A relação efectiva entre a área de corte das paredes de corte e a área da planta do edifício mostra um claro impacto no 
período de vibração fundamental devido à inclusão da área das paredes de corte.
Neste estudo, os períodos de vibração elástica de edifícios altos de escritórios com paredes de cisalhamento RC projetados
sob cargas de gravidade e vento foram avaliadas numericamente utilizando modelagem FE. Vários parâmetros de influência 
foram investigados, incluindo a altura dos edifícios, a relação de aspecto da planta (AR) dos edifícios, as dimensões do núcleo, 
a eficiência do espaço e a profundidade de locação entre o núcleo central interno e as molduras externas. Com base nestas 
análises numéricas e comparações com as fórmulas obtidas experimentalmente citadas na literatura, as seguintes conclusões 
podem ser tiradas em conformidade.
• A eficiência do espaço e a profundidade de locação dos edifícios são parâmetros cruciais que afectam o período de 
vibração fundamental, que deve ser tido em conta ao avaliar a rigidez lateral de edifícios altos de escritórios RC.
• As análises de regressão indicaram que a altura dos edifícios é um parâmetro significativo para avaliar os períodos de 
vibração fundamentais de edifícios altos de escritórios com paredes de cisalhamento em RC.
• As fórmulas propostas podem ser usadas para avaliar o período de vibração fundamental de edifícios altos de escritórios 
RC projetados sob cargas de gravidade e vento com os parâmetros estudados. • A falta de informações 
sobre a avaliação do período de vibração fundamental de edifícios altos de escritórios RC deve ser abordada e mais 
trabalhos experimentais devem ser realizados para estabelecer tal fórmula e verificar as fórmulas propostas a partir 
das análises numéricas.
A fórmula restrita proposta em termos de altura do edifício concorda bastante com algumas fórmulas citadas na 
literatura. • Nas análises de regressão, as 
dimensões dos edifícios nas direções consideradas são menores
Assim, a fórmula da norma de projeto ASCE7 (2010) superestima em grande parte os períodos de vibração fundamentais 
de edifícios altos de escritórios com paredes de cisalhamento em RC. Mesmo assim, a Eq. (1) é uma fórmula de valor limite 
superior, mas foi derivada de edifícios na Califórnia sob registros de movimentos sísmicos, onde esses edifícios poderiam ter 
rachaduras invisíveis, resultando em períodos de vibração mais longos.
• A proporção do plano afeta o período de vibração fundamental. Com o aumento do
influente no período de vibração fundamental.
Contudo, os modelos simulados foram projetados sob carga de vento e a rigidez lateral correspondente será maior. Esta 
discrepância entre o limite inferior da Eq. (1) e outras fórmulas na literatura também foram relatadas por Gilles (2011) que 
especificou que esta equação deveria ser usada para dados experimentais de edifícios com paredes de cisalhamento com a 
relação entre a altura do edifício e a área efetiva,
relação de aspecto do plano o período de vibração será diferente nas duas direções horizontais devido às variações 
na rigidez lateral dos pórticos e paredes de cisalhamento nessas direções.
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