teorema de Pitágoras

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20 2.1. Demonstrações Clássicas
Elisha Scott Loomis (1852-1940) foi um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras,
professor de Matemática em Cleveland, colecionou, durante 20 anos, 370 demons-
trações do teorema que organizou e publicou no livro The Pythagorean Proposition
([11]). Ainda hoje encontramos novas demonstrações do teorema como podemos
ver, por exemplo, na página eletrônica:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
2.1 Demonstrações Clássicas
2.1.1 Dos Pitagóricos
Existe mais de uma demonstração atribuída aos pitagóricos, mas como foi
comentado no capítulo anterior, devido à falta de material escrito da época em
que o Teorema foi demonstrado não é possível determinar qual delas foi realmente
demonstrada por eles. A seguir apresentamos aquela que é considerada como sendo
a original dos pitagóricos.
Consideremos um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a.
As figuras abaixo representam dois quadrados, ambos de lado b+ c. Na figura
da esquerda destacam-se quatro triângulos retângulos idênticos de catetos b e c, e
hipotenusa a, e ainda um quadrado de lado a. Já na figura da direita os mesmos
quatro triângulos retângulos são colocados de forma que agora há dois quadrado,
um de lado b e outro de lado c.
Figura 2.2: Quadrados de lado b+ c utilizados na demonstração dos pitagóricos
Assim, se retirarmos de cada uma das figuras os quatro triângulos retângulos
idênticos, ficaremos com o quadrado de lado a na figura da esquerda e os quadrados
21 2.1. Demonstrações Clássicas
de lado b e c na figura da direita.Logo, podemos afirmar que a área do quadrado de
lado a é igual à soma das área dos quadrados de lados b e c. Portanto, o Teorema
de Pitágoras está demonstrado.
Existe uma lenda que diz que Pitágoras ao dar conta da importância desta
descoberta ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos deuses, em
sinal de alegria e agradecimento.
2.1.2 Por Semelhança de Triângulos
A partir do triângulo △ABC, retângulo em Ĉ, traçamos uma altura relativa
ao lado AB, interceptando-o no ponto H e formando neste os segmentos d e e.
Figura 2.3: Triângulo retângulo △ABC
Consideremos triângulos △ACH e △ABC, como possuem o mesmo ângulo Â
e o ângulo AĤC = CĤB = 90◦, consequentemente, o terceiro ângulo possui a
mesma medida, AĈH = AB̂C = θ. Assim, aplicando o caso de semelhança AAA,
concluímos que os triângulos △ACH e △ABC são semelhantes.
Aplicando raciocínio análogo nos triângulos △ABC e △CBH, concluímos que
estes também são semelhantes.
Agora aplicamos a relação de proporcionalidade a partir da semelhança entre
esses triângulos como segue.
Da semelhança dos triângulos △ABC e △CBH, obtemos:
a
c
=
e
a
.
Da semelhança dos triângulos △ACH e △ABC, obtemos:
b
c
=
d
b
.
Assim, podemos escrever:
a2 = e · c e b2 = c · d.