2016 1-AD2-MF-Gabarito

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AD 2 – MF - 2016/1 
Gabarito 
1) (2,0 pts.) Uma pessoa tem uma dívida a pagar nas seguintes condições: R$ 3.000,00 daqui a dois 
meses e R$ 6.000,00 daqui a seis meses. Deseja, porém, substituir esses pagamentos por dois outros 
iguais, vencíveis daqui a três e cinco meses, respectivamente. Considerando a taxa de juros de 
mês ao % 2 , determine o valor desses pagamentos se for adotada a data zero como data de referência 
e: 
 a) o regime de juros simples e o critério do desconto comercial; 
 b) o regime de juros simples e o critério do desconto racional; 
 c) o regime de juros composto e o critério do desconto comercial; 
 d) o regime de juros composto e o critério do desconto racional. 
Solução: 
 6.000,00 
 dívida original 3.000,00 
 
 
proposta 0 1 2 3 4 5 6 (meses) 
de paga- x x 
mento 
No diagrama acima, as setas para cima representam a dívida original e as setas para baixo a nova proposta 
de pagamento. 
 Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas deferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”) , quando a soma dos seus valores atuais, nessa 
data for igual. Nesse problema, a data de referência é a data zero. 
A taxa da operação é de mês ao % 2 . 
 
 2
a) Considerando o regime de juro simples e o critério do desconto comercial, sabemos que a relação entre 
o valor atual A e o valor nominal N é dado por  niNA  1 , onde i é taxa unitária da operação e 
n o prazo de antecipação. Portanto, nesse caso temos que: 
        602,0100,000.6202,0100,000.3502,01 302,01 xx 
784344
841
001608
001608841 ,.x
,
,.
x,.x,  . 
 
b) Considerando o regime de juro simples e o critério do desconto racional , sabemos que a relação 
entre o valor atual A e o valor nominal N é dado por 
ni
N
A


1
, onde i é taxa unitária da operação e 
n o prazo de antecipação. Portanto temos que: 








7624188524871
60201
000006
20201
000003
5020130201
,.x,
,
,.
,
,.
,
x
,
x
 
024494
8524871
762418
..x
,
,.
x  . 
 
c) Considerando o regime de juro composto e o critério do desconto comercial, sabemos que a relação 
entre o valor atual A e o valor nominal N é dado por  niNA  1 , onde i é taxa unitária da 
operação e n o prazo de antecipação . Portanto nesse caso temos que: 
         602010000062020100000350201 30201 ,,.,,.,x,x 
144424
8451131
251968
2519688451131 ,.x
,
,.
x,.x,  . 
d) Considerando o regime de juro composto e o critério do desconto racional , sabemos que a relação 
entre o valor atual A e o valor nominal N é dado por 
 ni
N
A


1
, onde i é taxa unitária da operação e 
n o prazo de antecipação . Portanto nesse caso temos que: 
       








3321188480531
60201
000006
20201
000003
5020130201
,.x,
,
,.
,
,.
,
x
,
x
 
234434
8480531
332118
,.x
,
,.
x  
Resposta: 







4.443,23 R$ d)
4.442,14 R$ c)
4.449.02 b)R$
4.434,78 R$ a)
 
 
 
 3
 
2) (1,6 pts.) Uma empresa tem atualmente a seguinte dívida junto a uma instituição financeira: 
54.945,38 R$ , 41.252,92 R$ , 33.025,65 R$ , 27.530,59 R$ e 22.667,00 R$ vencíveis 
sucessivamente ao final dos próximos 5 bimestres. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juro 
de ano ao % 12 capitalizada bimestralmente. A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida 
em dez prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira em um mês. Para aceitar o 
negócio, a instituição financeira está exigindo uma taxa nominal de juro composto de 36 % ao ano. 
Determinar o valor de cada pagamento mensal. 
Solução: 
 P 
 22.667,00 
 27.530,59 
 41.252,92 33.025,65 
 54.945,38 
 
 
 0 1 2 3 4 5 (bimestres) 
Devemos em primeiro lugar determinar o valor da dívida na data focal “zero” , ou seja, hoje. 
A taxa de ano ao % 12 é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que é 
bimestral, logo a taxa efetiva bimestral da operação é proporcional a taxa dada, considerando a relação 
entre as unidades dessas taxas, ou seja, como 1 ano = 6 bimestres, então que a taxa efetiva bimestral i 
será dada por % 2
6
12
i . 
Indicando por P o valor da dívida na data focal “zero então: 
         
06,604.170
502,1
00,667.22
402,1
59,530.27
302,1
65,025.33
202,1
92,252.41
102,1
38,945.54
 PP 
Devemos agora distribuir esse valor numa série uniforme com 10 termos mensais, iguais e sucessivos, 
ocorrendo o primeiro em 30 dias. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
06,604.170P 
 
 
 
 0 1 2 3..........8 9 10 (meses) 
 R R R R R R 
 4
 
A taxa de ano ao % 36 é nominal, e como os termos da série são mensais então, a capitalização desta 
operação é mensal, logo a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada,. Portanto, 
considerando a relação entre as unidades dessas taxas, ou seja, como meses 12 ano 1  , então a taxa 
efetiva mensal i será dada por % 3
12
36
i . 
Sabemos que  niFVPRP ,      niFVP
PR
niFVP
P
R
 ;
1
 ;
 . 
Logo  10 %; 3,0 
1
06,604.170
FVP
R  
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
; temos que: 
        117231,0
10 ;3
1
530203,810 ;3
03,0
1003,011
10 ;3 


FVP
FVPFVP 
 Portanto , 00,000.20117231,006,604.170  RR . 
Resposta: R$ 20.000,00 
 
3) (1,2 pts.) Uma equipamento eletrônico no valor de 4.200,00 R$ foi financiada através de um plano 
que previa uma entrada de % 30 do valor à vista e prestações mensais iguais e sucessivas de 
 528,41 R$ a uma taxa nominal de juro composto de ano ao % 26,4 , vencendo a primeira prestação 
trinta dias após a compra. Determinar o número de prestações do financiamento. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 26,4 é nominal, e como os termos da série são mensais então capitalização é mensal, 
logo a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada. Portanto, considerando a relação entre 
as unidades dessas taxas, ou seja, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva mensal i será dada por 
 % 2,2
12
4,26
i . 
O plano de pagamentos previa uma entrada de % 30 de 4.200,00 , ou seja, 1.260,004.200,000,30  . 
Logo o valor financiado será dado por 2.940,001.260,00-4.200,00  
Temos uma série uniforme modelo básico em que o valor atual P é igual 2.940,00 , os termos R são 
iguais a 528,41 e a taxa i considerada é de mês. ao % 2,2 
O diagrama abaixo representa essa série:5
 2.940,00P 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4.................. 1n n ( meses) 
 528,41 ....................................................528,41  RR 
 
Sabemos que  niFVPRP ,  . Logo, 
      563861,5 %; 2,2 
528,41
00,940.2
 %; 2,2 
 %; 2,2 
41,528
00,940.2  nFVPnFVP
nFVP
. 
Como    
i
ni
niFVP


11
; , então 
    

 122405,0022,11
022,0
022,11
563861,5 n
n
 
        
  6
022,1log
877595,0log
877595,0log022,1log877595,0022,1  nnnn 
Resposta: 6. 
 
4) (1,2 pts.) Um investidor efetua um depósito inicial de 3.000,00 R$ , numa conta remunerada, 
processando sequencialmente mais dezoito depósitos mensais iguais e sucessivos de 2.000,00 R$ cada. 
Determinar quanto essa pessoa terá acumulado quando da realização do último depósito, admitindo-se 
uma taxa nominal de juro composto de ano. ao % 12 
Solução: 
A taxa de ano ao % 18 é nominal, e como os termos da série, ou seja, os depósitos são mensais, então a 
capitalização da operação é mensal. Portanto, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a 
taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, , ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então 
que a taxa efetiva mensal i será dada por mês. ao % 0,1
12
12
i 
As aplicações mensais constituem uma serie modelo padrão em que 00,000.2R e meses 18n e 
mês ao % 0,1i e devemos calcular o montante S da série. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 S 
 
 
 
 0 1 2 3..............16 17 18 (meses) 
 
 00,000.2R ................................................. 00,000.2R 
 6
Sabemos que  n;iFVFRS  . Logo, temos que  18 ;% 0,100,000.2 FVFS  
Utilizando uma tabela financeira ou a expressão    
i
ni
n;iFVF
11
 

 , temos 
que       614748,1918 %; 1,0 
01,0
11801,01
18 %; 1,0 

 FVFFVF . 
Portanto, 50,229.39614748,1900,000.2  SS . 
Este valor corresponde ao montante dos depósitos seqüenciais. 
O montante M do depósito inicial de 00,000.3 será dado por: 
  44,588.31801,0100,000.3  MM . 
Portanto no décimo quinto mês, o aplicador terá acumulado um total dado por: 
94,817.4244,588.350,229.39  . 
Resposta: R$ 42.817,94 
 
5) (2,0 pts.) Uma empresa pode comprar um equipamento à vista por 00,000.36 R$ ou em vinte e quatro 
prestações postecipadas, mensais iguais e sucessivas com 5 meses de carência. Sabe-se que o 
fornecedor do equipamento cobra juros reais de mês ao % 2 mais correção monetária. Determine o 
valor das prestações, sabendo-se que a taxa de inflação anual prevista é de % 10,67 . 
Solução: 
Como a série de pagamento é postecipada, então a obrigação do primeiro pagamento seria no mês 1, mas 
a concessão de 5 meses de carência, transfere essa obrigação para o mês 6. 
O fornecedor quer ganhar juros reais de 5 % ao mês mais correção monetária. 
A taxa de inflação anual esperada é de % 10,67 . Logo, tendo em vista que 1 ano = 12 meses, a taxa de 
inflação mensal  que é equivalente a anual esperada, será obtida por 
        mês ao 0085,00085,1112 1067,1111067,1121   ou
mês. ao % 85,0 
Precisamos então, determinar a taxa aparente (efetiva) mensal da operação. 
Sabemos que a relação entre as taxas unitárias: aparente i , real r e de inflação  num determinado 
período é dado por      




 111
1
1
1 ri
i
r . Portanto, nesse caso, temos que: 
      mês ao % 867,2ou mês ao 02867,002867,110085,102,11  iiii . 
O financiamento será em vinte e quatro prestações mensais iguais consecutivas, com cinco meses de carência, ou 
seja, a primeira prestação será paga no mês seis. Denotando por 
0
P o valor financiado e 
5
P o valor de 
0
P no 
 7
mês 5 e considerando que a taxa do financiamento é de mês ao % 867,2 , temos então que 
  11,465.41502867,0100,000.365 P . 
Este valor será então distribuído numa série uniforme de 24 termos considerando a taxa de mês ao % 867,2 . 
O diagrama abaixo representa a série de pagamentos desse problema: 
 
 11,465.41
5
P 
 00,000.36 
 
 
 
 0. 1.................5 6 7 ......... 27 28 29(meses) 
 
 
 RR ................................................ 
 
Nesse caso então,    24 ;% 867,2
1
11,465.4124 ;% 867,211,465.41
FVP
RFVPR  . 
Utilizando a equação    
i
ni
n;iFVP


11
 , temos que    



02867,0
2402867,011
24 ;% 867,2FVP 
    058205,0
24 ;% 867,2
1
180755,1724 ;% 867,2 
FVP
FVP 
Portando 46,413.2058205,011,465.41  RR 
Resposta: R$ 2.413,46 
 
6) (2,0 pts.) Um imóvel no valor de 480.000,00 R$ foi financiado através de um plano de pagamento 
que prevê um entrada de % 20 do valor do imóvel, paga no ato da compra, e o saldo devedor 
financiado em quinze anos através de prestações mensais e sucessivas, vencendo a primeira um mês 
após a compra. Sabendo-se que foi utilizado no financiamento o SAF-Sistema de Amortização 
Francês a uma taxa nominal de juro composto de 18 % ao ano, determine as parcelas de 
amortização e juros pagos com a 90ª prestação e o saldo devedor após o seu pagamento. 
 
Solução 
A taxa de ano ao % 18 é nominal, e como as prestações do financiamento são mensais, então a 
capitalização é mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, logo, 
considerando a relação entre as unidades dessas taxas, ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então que a 
taxa efetiva mensal i será dada por % 5,1
12
18
i . 
 8
O comprador paga no ato da compra % 20 do valor do imóvel, ou seja, 00,000.9600,000.48020,0  , 
logo o valor financiado será dado por 00,000.38400,000.9600,000.480  
O prazo do financiamento é de quinze anos e como as prestações são mensais, então o financiado pagará um total 
de mensais prestações 1801215  . 
 Sabemos que no Sistema de Amortização Francês, as prestações kP são constantes. Se chamarmos de R o valor 
dessas prestações, P o valor financiado, i a taxa unitária da operação e n a quantidade de prestações então o valor 
de R satisfaz a relação    n;iFVP
PRn;iFVPRP
1
 . 
Nesse caso então o valor das prestações será dado por  180 %; 1,5 
1
00,000.384
FVP
R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 ; , temos que 
        016104,0
180 %; 1,5 
1
095562,62180 %; 1,5 
015,0
180015,011
180 %; 1,5 


FVP
FVPFVP
Portanto, 02,184.6016104,000,000.384  RR . Logo 1801 ,02,184.6  kkP 
Sabe-se que o juro kJ referente ao ésimok  período é determinado através da equação 1 kSdikJ , onde 
1kSd refere-se ao saldo devedor do período anterior ao ésimok  período e i a taxa unitária da operação. Nesse 
caso então, como 00,000.3840 Sd temos que 00,760.5100,000.384015,01  JJ . 
Por outro lado, sabe-se que a prestação kP referente ao ésimok  período é composta de duas parcelas: uma 
referente ao pagamento do juro kJ referente ao ésimok  período outra referente ao pagamento da amortização 
kA do ésimok  período, isto é, kJkAkP  . Como nesse caso 180 02,184.6  kkP e 
00,760.51 J então 02,424100,760.502,184.6100,760.5102,184.6  AAA . 
No Sistema de Amortização Francês, o valor kA da amortização referente ao ésimok  período é dado através da 
equação   111
 kiAkA , onde 1A é o valor da primeiraamortização e i é a taxa unitária da operação. 
Logo      762511,302,42490
89015,102,42490
190015,0102,42490 AAA 
38,595.190 A . Como 909090 JAP  , então 64,588,49038,595.102,184.690  JJ . 
O saldo devedor 90Sd após o pagamento da 90ª prestação é o valor atual das noventa prestações restantes, ou 
seja,  90 %; 5,1 02,184.690 FVPSd  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 ; , então 
 9
       209855,4990 %; 5,1 
015,0
90015,011
90 %; 5,1 

 FVPFVP . 
Portanto, 72,314.30490209855,49 02,184.690  SdSd . 
 
Resposta: R$ 1.595,38; R$ 4.588,64 e R$ 304.314,72