1 1 Explorando a temática I

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Você pode estar se perguntando por que mais uma matéria de Cálculo para estudar, se você já tem quase quatro
Cálculos Diferenciais, por quase dois anos.
Então me responda, você consegue resolver a equação abaixo? 
 
 (1)
 
Você me responderá: "claro que sim!" E me devolverá a seguinte solução: 
 
 
 
 
 
Agora, será que você consegue resolver a equação abaixo? 
 
 (2)
 
 
Consegue sim, mas não com o conhecimento que você adquiriu nos Cálculos um e dois, nem com os conhecimentos
adquiridos em Álgebra um e dois. Você apenas conseguirá com os métodos numéricos que nós aprenderemos durante
toda a nossa disciplina de Cálculo Numérico.
Portanto, para responder a sua pergunta, estudaremos Cálculo Numérico para responder a problemas iguais ao da
equação dois. Eles podem ser mais fáceis ou não. Vejamos algumas diferenças entre o cálculo diferencial e integral e o
cálculo numérico.
Tópicos abordados:
• Diferença entre Cálculo Numérico e Cálculo Diferencial Integral
• Sistemas de Representação de Números
• Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário.
• Conversão do Sistema Binário para o Sistema Decimal
• Aritmética de Ponto Flutuante
• Teoria Geral dos Erros
Diferença entre Cálculo Numérico e Cálculo Diferencial Integral
O Cálculo Diferencial Integral nos fornece a solução exata para os problemas que queremos resolver. 
 
Os autores Bortoli e Quadros (2009, p. 9) definem os problemas a serem resolvidos pelo Cálculo Numérico, dessa
forma: 
 
A maioria dos problemas da matemática é originária da necessidade de resolver situações da natureza.
Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo matemático que representa de maneira conveniente
um problema a ser analisado; obtido o modelo matemático procura-se encontrar a sua solução. 
O surgimento da disciplina Cálculo Numérico é decorrente da necessidade de resolver esses tipos de problemas da
natureza. São problemas que não têm a solução exata, mas nos quais poderemos obter uma solução aproximada, por
meio dos métodos que aprenderemos na disciplina de Cálculo Numérico. 
 
Veja a equação trigonométrica a seguir: 
 
 
 
 
 
Ou seja, a solução que obtivemos é um múltiplo do número π.
Agora tente resolver a equação 4: 
 (4) 
 
 
Tivemos que fazer uma tabelinha igual à tabela a seguir para que obtivéssemos uma solução aproximada: 
 
TABELA 1 - Cálculos da solução da equação: 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor (2017). 
 
Uma solução aproximada da nossa equação é conforme nos mostra a tabela 1. Esse é um
método numérico pertencente à metodologia comumente aplicada na disciplina de Cálculo Numérico. 
A diferença entre o Cálculo Numérico e o Cálculo Diferencial é que o Cálculo Diferencial trabalha com métodos
analíticos, que costumam nos dar a solução exata para os problemas a serem resolvidos. Já o Cálculo Numérico nos
dá uma solução aproximada para um problema que não é possível de ser resolvido pelos métodos analíticos do Cálculo
Diferencial nem da Álgebra Linear, que estudamos nos primeiros anos de Engenharia.
 
 
Sistemas de Representação de Números
 
 
Nesta disciplina é importante que saibamos trabalhar com dois tipos de sistemas de representação de números: o
sistema decimal e o sistema binário. 
 
Os autores Gilat & Subramanian (2008) nos explicam que no sistema decimal, um número é escrito como uma
sequência de algarismos, que correspondem aos múltiplos da potência de 10. 
 
O sistema decimal é baseado na quantidade de dedos que possuímos e nos utilizamos para contar. Estamos
acostumados a contar nesse sistema desde que éramos crianças. Veja o número 123.456, podemos decompô-lo no
sistema decimal assim: 
 
 
Perceba que ao nos deslocarmos da esquerda para a direita do número, a potência de 10, que multiplicada a cada
algarismo, vai diminuindo o seu expoente em uma unidade. Quando nos "deslocamos" pelo número da direita para a
esquerda, a potência de 10, que multiplicada a cada algarismo, vai aumentando o seu expoente em uma unidade. Isso
é fácil notar pois perceba que o número 6 (extrema direita) está na casa da unidade ( ). Já o número 1
(extrema esquerda) está na casa do centena de milhar ( ). 
 
Os autores Gilat e Subramanian (2008) nos explicam também que, no sistema binário, um número é escrito como uma
sequência de algarismos, que correspondem a múltiplos da potência de 2. 
 
Já o sistema binário de representação é composto pelos algarismos 0 e 1. Esse sistema é empregado pelos nossos
computadores e máquinas calculadoras. Vejamos o número 100100. Esse número expresso na base 2 tem a seguinte
forma: 
 
 
 
Fique calmo, pois logo você aprenderá como se converte um número na base decimal para a base binária e um
número que está na base binária para a base 10 (decimal), ok? 
 
Porque segundo nos explica Ruggiero (1996, p. 3-4), primeiro nós entramos com os nossos dados na forma decimal,
depois os computadores os convertem para a forma binária e fazemos os cálculos que nós desejamos na forma binária,
após isso, os computadores convertem os resultados obtidos para a forma decimal e apresentam para nós esses
resultados na forma decimal. 
 
É necessário, pelo menos, um pouco de conhecimento dos sistemas binário e decimal para que possamos adequar
nossos resultados à precisão de cada máquina.
 
 
Conversão do sistema decimal para o sistema binário
 
 
Vamos aprender a converter um número decimal para binário. Para fazer isso, nós dividimos o número por 2 e
guardamos o resto, dividimos o quociente obtido por 2 novamente e guardamos o resto, vamos dividindo o quociente
por 2 e guardando o resto até que o quociente resulte no número 1. O número em binário será lido de trás para frente,
com o primeiro algarismo sendo igual ao quociente , sendo "e" o número de divisões feitas na transformação de
decimal para binário. 
 
Vamos fazer um exemplo com números? 
 
Veja o número 38 em decimal. Vamos transformá-lo em binário assim:
 
 
TABELA 2 - Conversão do Número 38 para a base decimal 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor (2017). 
 
Os algarismos em vermelho formarão o nosso número binário, de trás para frente, assim:
 
 
TABELA 3 - Montagem do número binário correspondente ao número 38 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor (2017). 
 
E como sabemos se estamos certos? 
 
Basta pegarmos o número binário 100110 e fazermos assim: 
 
 
 
 
Pronto, estávamos certos nos nossos cálculos. Podemos dizer então que temos: 
 
 
 
O que equivale a dizer que o número 38 na base decimal (base 10) tem como representação na base binária (base 2) o
número 100110. O número pequenino nos indica a base em que o número está representado.
Vejamos outro exemplo. Vamos converter o número 555, assim:
 
TABELA 4 - Conversão do Número 555 para a base decimal 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor (2017). 
 
Montando o nosso número de trás para frente teremos:
 
 
TABELA 5 - Montagem do número binário correspondente ao número 555 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor (2017). 
 
Vamos checar o nosso número binário assim: 
 
 
 
 
Então temos: 
 
 
 
 
Mas só serve para números inteiros? Não, nós podemos converter o número 0,9375 assim: 
 
• Multiplicamos 0,9375 por 2;
 • Pegamos a parte decimal e multiplicamos por 2. A parte inteira é armazenada e a parte decimal é usada no próximo
passo. Vejamos na tabela a seguir.
 
 
TABELA 6 - Conversão de número decimal para a forma binária 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor (2017). 
 
É bom que sempre façamos esse processo e já vamos checando até obtermos o nosso número desejado. Esse
processo de checagem seria o nosso critério de parada.
Bem, por último, convém explicar se tivéssemos o número 555,9375 na base decimal, na forma binária ele ficaria igual
a 1001101011,1111, ok? Porque 555 na forma binária é igual a 1001101011 e 0,9375 corresponde a 0,1111 conforme
nós calculamos. Então, o número 555,9375 corresponderá ao número 1001101011,1111 em binário.Esta parte termina por aqui!
Agora você pode entender o que significam aqueles códigos em binário que apareciam no filme matriz, ok?!
Videoaula: Conversão de número decimal para número binário
 
 
Conversão do Sistema Binário para o Sistema Decimal
 
Esse processo é bem mais simples. Vamos ver com o número 101010,101010 que está na base binária. Faremos a
nossa conversão assim: 
 
 
 
Lembre-se: a parte inteira, nós multiplicamos por potências de 2 com expoente positivo, que crescem da direita para a
esquerda. A parte decimal, depois da vírgula, nós multiplicamos por potências com expoente negativo, estamos
dividindo o número por potências de 2 após à vírgula.
Se você quiser checar é só converter o número 42 para binário e depois o número fracionário decimal 0,65625 como
exercício.
Faça isso para se acostumar com as conversões. Veremos outros exemplos e exercícios nas videoaulas. Não perca!
 
Videoaula: Conversão de números decimais fracionários para o sistema binário