matematica material-151

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12. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( 2 - \frac{\pi}{2} \) unidades quadradas. Calculamos a integral da 
função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
13. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4 - 
x^2 \). 
 Resposta: Os pontos de interseção são \( (-2, 4) \) e \( (2, 4) \). Igualamos as duas 
equações e resolvemos para \( x \) para encontrar os pontos de interseção. 
 
14. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é 2. Usamos a propriedade da integral definida para 
calcular a área sob a curva. 
 
15. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). 
 Resposta: Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). Calculamos a derivada primeira e 
igualamos a zero. 
 
16. Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto onde 
\( x = 1 \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é \( m = 1 \), já que a derivada de \( \ln(x) \) é \( 
\frac{1}{x} \), e \( \ln(1) = 0 \). 
 
17. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 
6x^2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 1 \) e o ponto de mínimo é \( x = 3 \). Calculamos a 
derivada primeira e segunda para encontrar os pontos críticos. 
 
18. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^x \sin(x) \, dx \). 
 
 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{2} e^x (\cos(x) - \sin(x)) + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. Utilizamos integração por partes. 
 
19. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = x^3 \) e \( y = 2^x \).