Matematica analitica (181)

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Resposta: \( y = \sin(x^2) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
51. Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} e^x \ln(x + 1) \, dx \)? 
 Resposta: \( 1 \). 
 
52. Se \( f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2) \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{3} \). 
 
53. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 
 
 + y^2} \) e \( y(0) = 1 \), qual é o valor de \( y(1) \)? 
 Resposta: \( y(1) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
54. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \)? 
 Resposta: O limite é 7. Isso pode ser resolvido usando a definição de limite. 
 
55. Se \( \frac{dy}{dx} = x\cos(x) \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = x\sin(x) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
56. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \, dx \)? 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). 
 
57. Se \( f(x) = e^{4x} \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{4e^4} \). 
 
58. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{xy} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \frac{1}{x\cos(x) + C} \), onde \( C \) é uma constante. 
 
59. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{x} \)? 
 Resposta: O limite é 8. Isso pode ser resolvido usando a definição de limite.