Exercicios de conta-132

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87. Problema: Determine a matriz inversa de \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} 
\). 
 Resposta: \( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \) 
 Explicação: Use o método da matriz adjunta para encontrar a inversa. 
 
88. Problema: Calcule o produto escalar entre os vetores \( \mathbf{v} = (2, 3, 4) \) e \( 
\mathbf{w} = (5, 6, 7) \). 
 Resposta: \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 56 \) 
 Explicação: O produto escalar é a soma dos produtos dos componentes 
correspondentes. 
 
89. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) \). 
 Resposta: \( y = x + 1 \) 
 Explicação: Use a derivada da função e substitua as coordenadas do ponto dado. 
 
90. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 16y = 0 \). 
 Resposta: \( y = Ae^{4x} + Be^{-4x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com solução 
característica \( r^2 - 16 = 0 \). 
 
91. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \) 
 Explicação: Use a identidade trigonométrica \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e 
integre em relação a \( x \). 
 
92. Problema: Resolva a equação \( e^x = 5 \). 
 Resposta: \( x = \ln(5) \) 
 Explicação: Tome o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para \( x \). 
 
93. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x) \) 
 Explicação: A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \).