Matematica ensino medio-1143

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57. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^4} \). 
 Resposta: Utilizando a expansão em série de Taylor de \( \sin(x) \), o limite é \( \frac{1}{3} 
\). 
 
58. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) 
\). 
 Resposta: A reta tangente é \( y = x + 1 \). 
 
59. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 
 
 e^{2x} \). 
 Resposta: A solução particular é \( y_p(x) = \frac{1}{4}xe^{2x} \), então a solução geral é a 
soma da solução homogênea mais a particular. 
 
60. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \) em torno da linha \( y = -1 \). 
 Resposta: Utilizando o método dos discos cilíndricos, o volume é \( \frac{56}{3} \pi \). 
 
61. Problema: Calcule a soma dos termos da série geométrica infinita \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n} \). 
 Resposta: A soma da série é \( \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = 4 \). 
 
62. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = 3x^2 - 2 \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x+2}{3}} \). 
 
63. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \( 2x - y = 3 \) 
 \( 4x + y = 2 \) 
 Resposta: A solução é \( x = -\frac{1}{2} \) e \( y = -4 \). 
 
64. Problema: Calcule a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y = 
\sqrt{x} \) e \( y = e^x \). 
 Resposta: A área é \( \int_{0}^{1} (e^x - \sqrt{x}) \, dx \), resultando em \( e - \frac{2}{3} \).