Cálculos Matemáticos Diversos

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27. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \). 
 - Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} \). 
 
28. Calcule a integral indefinida \( \int \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{1}{x\ln(x)} \, dx = \ln(\ln(x)) \). 
 
29. Encontre a derivada direcional da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( (1,2) \) na 
direção do vetor \( \langle 1, -1 \rangle \). 
 - Resposta: A derivada direcional é \( D_{\langle 1, -1 \rangle}f(1,2) = -\sqrt{2} \). 
 
30. Determine a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 2x + 1 \) no ponto \( (1,0) \). 
 - Resposta: A equação da reta tangente é \( y = 3x - 3 \). 
 
31. Resolva a equação diferencial \( y' + y\tan(x) = \sec(x) \). 
 - Resposta: \( y(x) = \cos(x) + ce^{-\ln|\cos(x)|} \). 
 
32. Calcule a soma dos termos da série harmônica alternada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^{n+1}}{n} \). 
 - Resposta: A soma é \( \ln(2) \). 
 
33. Determine os valores de \( x \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n}{n^2} \) converge. 
 - Resposta: A série converge para \( x = 1 \) e \( x = -1 \). 
 
34. Encontre a matriz inversa de \( E = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \). 
 - Resposta: \( E^{-1} = \begin{pmatrix} 2/11 & 1/11 \\ 3/11 & 2/11 \end{pmatrix} \). 
 
35. Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} \). 
 - Resposta: \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = \frac{3}{2} \). 
 
36. Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \). 
 - Resposta: \( f'(x) = \frac{4x}{{(x^2 + 1)}^2} \).