Cálculos Matemáticos Diversos

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- Resposta: A matriz diagonalizável é \( Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} 
\). 
 
45. Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 2xe^{2x} \). 
 - Resposta: \( y_p(x) = x^2e^{2x} \). 
 
46. Calcule a integral definida \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 - Resposta: \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4} \). 
 
47. Resolva a equação diferencial \( y'' - 6y' + 9y = e^{3x} \). 
 - Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{3x} + \frac{1}{3}xe^{3x} \). 
 
48. Calcule a integral indefinida \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = - 
 
\frac{1}{3}(1 - x^2)^{3/2} \). 
 
49. Encontre a derivada direcional da função \( f(x,y) = xy^2 \) no ponto \( (2,1) \) na direção 
do vetor \( \langle -1, 1 \rangle \). 
 - Resposta: A derivada direcional é \( D_{\langle -1, 1 \rangle}f(2,1) = 4 \). 
 
50. Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x^2 + 1) \) no ponto \( (1,0) \). 
 - Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). 
 
51. Resolva a equação diferencial \( y' + y\tan(x) = \sin(x) \). 
 - Resposta: \( y(x) = \cos(x) + ce^{-\ln|\cos(x)|} \). 
 
52. Calcule a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \). 
 - Resposta: A soma é \( \zeta(3) \), onde \( \zeta \) é a função zeta de Riemann. 
 
53. Determine os valores de \( x \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n}{n^3} \) converge.