Cálculos Matemáticos Diversos

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- Resposta: A série converge para todos os \( x \) reais. 
 
54. Encontre a matriz inversa de \( H = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \). 
 - Resposta: \( H^{-1} = \begin{pmatrix} 4/10 & -2/10 \\ -1/10 & 3/10 \end{pmatrix} \). 
 
55. Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(2x)}}{{x}} \). 
 - Resposta: \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(2x)}}{{x}} = 2 \). 
 
56. Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \). 
 - Resposta: \( f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \). 
 
57. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 - Resposta: \( y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) \). 
 
58. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \, dx = -\frac{1}{x + 2} \). 
 
59. Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{n^2}{2^n}x^n \). 
 - Resposta: O raio de convergência é \( 2 \). 
 
60. Resolva o sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 \frac{{dx}}{{dt}} = -2x + y \\ 
 \frac{{dy}}{{dt}} = x - 2y 
 \end{cases} 
 \] 
 - Resposta: \( x(t) = e^{-3t}(c_1\cos(t) + c_2\sin(t)) \), \( y(t) = e^{-3t}(c_1\sin(t) - 
c_2\cos(t)) \). 
 
61. Calcule o determinante da matriz \( I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \).