Cálculos Matemáticos Diversos

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- Resposta: \( y_p(x) = \frac{1}{2}x^2e^{3x} \). 
 
87. Calcule a integral definida \( \int_0^{\pi/3} \cos^2(x) \, dx \). 
 - Resposta: \( \int_0^{\pi/3} \cos^2(x) \, dx = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \). 
 
88. Resolva a equação diferencial \( y'' - 9y = 4e^{3x} \). 
 - Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{3x} - e^{3x} \). 
 
89. Calcule a integral indefinida \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \sqrt{1 + x^2} \). 
 
90. Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-
1)^n}{n+1}x^n \). 
 - Resposta: O raio de convergência é \( 1 \). 
 
91. Resolva o sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 \frac{{dx}}{{dt}} = y \\ 
 \frac{{dy}}{{dt}} = -2x - y 
 \end{cases} 
 \] 
 - Resposta: \( x(t) = c_1e^{-t}\cos(\sqrt{3}t) + c_2e^{-t}\sin(\sqrt{3}t) \), \( y(t) = -c_1e^{-
t}\sin(\sqrt{3}t) + c_2e^{-t}\cos(\sqrt{3}t) \). 
 
92. Calcule o determinante da matriz \( P = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ -3 & 1 & 
5 \end{pmatrix} \). 
 - Resposta: \( \det(P) = 10 \). 
 
93. Determine a solução da equação diferencial \( y' = \frac{x}{y} \). 
 - Resposta: \( y(x) = \sqrt{c^2 - x^2} \), onde \( c \) é uma constante