Aula exericico de matematica-92

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40. Problema: Calcule a matriz inversa de \( D = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} 
\). 
 Resposta: A matriz inversa de \( D \) é \( D^{-1} = \begin{bmatrix} 0.375 & -0.25 \\ -0.125 & 
0.5 \end{bmatrix} \). 
 Explicação: Utilize o método da matriz adjunta para encontrar a matriz inversa. 
 
41. Problema: Encontre a solução geral para a equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^{-x} \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} + xe^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 
\) são constantes. 
 Explicação: Resolva a equação característica e utilize o método da superposição para 
obter a solução geral. 
 
42. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é igual a 1. 
 Explicação: Utilize a definição do limite fundamental trigonométrico. 
 
43. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = 3x^2 
\). 
 Resposta: A área é igual a \( \frac{7}{4} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das duas curvas e calcule a integral da 
diferença entre elas. 
 
44. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \( 2x + y = 5 \) 
 \( 3x - 2y = 4 \) 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 Explicação: Utilize métodos de substituição ou eliminação para resolver o sistema. 
 
45. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{2x + 1} \) no ponto 
(1, 1). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x \). 
 Explicação: Calcule a derivada da função e utilize-a para encontrar a inclinação da reta 
tangente, então aplique o ponto dado para encontrar a equação.