Cálculos Matemáticos Avançados

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26. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 2) \). 
 Resposta: \( y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \) 
 
27. Resolva a equação diferencial \( y'' + 5y' + 6y = e^{-2x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1e^{-2x} + c_2xe^{-2x}) + \frac{1}{2 
 
}e^{-2x} \) 
 
28. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
 Resposta: 1 
 
29. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^5 - 10x^4 + 30x^3 \). 
 Resposta: \( x = 0, 5, 3 \) 
 
30. Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = e^{2x} \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 
31. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^x + xe^x \) 
 
32. Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{-2\cos(x)}{x^3} - \frac{\sin(x)}{x^2} \) 
 
33. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = \sin(x^2y) \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2\cos(x^2y) \) 
 
34. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-2x} + \frac{1}{2}xe^{-2x} \) 
 
35. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^5 
- 5x^3 + 4x \).