Cálculos Matemáticos Avançados

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45. Resolva a equação diferencial \( y'' + 6y' + 9y = e^{3x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{3x} + \frac{1}{6}e^{3x} \) 
 
46. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^6 
- 6x^4 + 9x^2 \). 
 Resposta: Concavo para cima em \( (-\infty, -\sqrt{3}) \) e \( (\sqrt{3}, \infty) \), para baixo 
em \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \), ponto de inflexão em \( (-\sqrt{3}, 0) \) e \( (\sqrt{3}, 0) \). 
 
47. Calcule a integral \( \int \frac{e^x}{1+e^{x}} \, dx \). 
 Resposta: \( x - \ln(1+e^x) + C \) 
 
48. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) \). 
 Resposta: \( y = x - 1 \) 
 
49. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = x^2e^{2x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{2x} + \frac{1}{2}x^2e^{2x} - \frac{1}{2}x^2 \) 
 
50. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^4} 
\). 
 Resposta: \( \frac{\pi^4}{90} \) 
 
51. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^7 - 14x^6 + 63x^5 \). 
 Resposta: \( x = 0, 7 \) 
 
52. Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = e^{2x} \). 
 Resposta: \( 
 
 \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 
53. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^x + xe^x \)