Cálculos Matemáticos Avançados

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54. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 
55. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = \sin(x^2y) \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2\cos(x^2y) \) 
 
56. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-2x} + \frac{1}{2}xe^{-2x} \) 
 
57. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^5 
- 5x^3 + 4x \). 
 Resposta: Concavo para cima em \( (-\infty, -1) \) e \( (1, \infty) \), para baixo em \( (-1, 1) 
\), ponto de inflexão em \( (-1, -2) \) e \( (1, 2) \). 
 
58. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2\ln(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( -\frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 
59. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( 
\left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \). 
 Resposta: \( y = -x + \frac{\pi}{2} \) 
 
60. Resolva a equação diferencial \( y'' - 9y = \sin(3x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x) - \frac{\sin(3x)}{6} \) 
 
61. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} 
\). 
 Resposta: \( -\frac{\pi^3}{32} \) 
 
62. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^6 - 12x^5 + 45x^4 \). 
 Resposta: \( x = 0, 3, 5 \) 
 
63. Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4 - x^2 \).