Exericico fixação-172

Prévia do material em texto

97. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \). 
 Resolução: Fazendo a substituição \( u = \tan(x) \), a integral torna-se \( \int_{0}^{1} 
\frac{1}{u} \, du \), que diverge. 
 
98. Problema: Determine o ponto de mínimo global da função \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6x - 5 
\). 
 Resolução: Para encontrar o ponto de mínimo global, encontramos os zeros da derivada 
primeira. Como \( f'(x) = -3x^2 + 6x + 6 \), o ponto de mínimo ocorre em \( x = 1 \), e o 
mínimo global é \( f(1) = 4 \). 
 
99. Problema: Resolva a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
 Resolução: Podemos decompor a fração em frações parciais, resultando em \( \int 
\frac{1}{2(x - 2)} - \frac{1}{2(x + 2)} \, dx \). Após integrar, obtemos \( \frac{1}{2}\ln|x - 2| - 
\frac{1}{2}\ln|x + 2| + C \). 
 
100. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + 4x + 1} 
\). 
 Resolução: Dividindo todos os termos por \( x^3 \), o limite se reduz a \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \). Assim, o limite é \( 
\frac{4}{2} = 2 \). 
Entendi, vou começar a gerar as questões para você: 
 
1. Determine o limite da função \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) quando \( x \) se aproxima de 
2. 
 Resposta: O limite é 4. 
 
2. Calcule a derivada da função \( f(x) = e^x \cos(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = e^x (\cos(x) - \sin(x)) \). 
 
3. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \). 
 
4. Calcule o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resposta: O valor da integral é \( \frac{\pi}{2} \).