Exericico fixação-180

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Resposta: A área é \( \frac{4}{3} \). 
 
67. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2 y + \sin(xy) \) em relação a \( x \). 
 Resposta: A derivada parcial é \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy) \). 
 
68. Resolva a integral \( \int \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \ln|\ln(x)| + C \). 
 
69. Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( (2, 5) \) e o ponto de mínimo é \( (1, 5) \). 
 
70. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2 
 
y' + y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} \). 
 
71. Calcule o valor de \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \). 
 Resposta: O limite é \( e \). 
 
72. Determine a equação da tangente à curva \( y = \ln(\cos(x)) \) no ponto \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 
\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). 
 
73. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = x^2 \) em torno do 
eixo \( x \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{10} \). 
 
74. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \).