Medidas de Tendência Central

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Notas de Aula
Estatística Elementar
10ª Edição 10ª Edição 
by Mario F. Triola
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Tradução: Denis Santos
Capítulo 3
Estatísticas para Descrição, 
Exploração e Comparação de 
DadosDados
3-1 Visão Geral
3-2 Medidas de Centro
3-3 Medidas de Dispersão
3-4 Medidas de Forma da Distribuição
SlideSlide 2
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3-4 Medidas de Forma da Distribuição
3-5 Análise Exploratória de Dados (EDA)
Seção 3-1 
Visão Geral 
SlideSlide 3
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Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia
� Estatísticas Descritivas
resume ou descreve as características
Visão Geral
resume ou descreve as características
importantes de um conjunto de dados
conhecido
� Estatística Inferencial
SlideSlide 4
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usa dados amostrais para fazer
inferências (ou generalizações) sobre
uma população
Seção 3-2
Medidas de Tendência 
Central
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Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia
Ponto Chave
Quando descrevemos, exploramos e
comparamos conjuntos de dados, estas
características são geralmente extremamente
importante : centro, variação, distribuição,
outliers e mudanças ao longo do tempo
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Definição
� Medida de Tendência Central� Medida de Tendência Central
o valor localizado no centro (meio) 
de um conjunto de dados
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Média Aritmética
Definição
Média Aritmética
(média)
a medida central obtida somando -se todos
os valores e dividindo o total pela
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os valores e dividindo o total pela
quantidade de valores
Notação
ΣΣΣΣ denota a soma de um conjunto de valores .ΣΣΣΣ denota a soma de um conjunto de valores .
x é a variável geralmente usada para representar
os valores individuais dos dados.
n representa a quantidade de valores em uma
amostra .
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N representa a quantidade de valores em uma
população .
Notação
ΣΣΣΣ x
Pronuncia-se ‘x-barra’ e denota a média de um
conjunto de valores amostrais
x
µ pronuncia-se ‘mi’ e a média de todos os valores em uma
população
x =
n
ΣΣΣΣ x
ΣΣΣΣ x
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N
µ =
ΣΣΣΣ x
Definições
� Mediana
é o valor central quando os valoresé o valor central quando os valores
originais são organizados em ordem
ascendente ou descendente de
magnitude
� geralmente denotada por x (pronuncia -~
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se ‘x -til’)
�Não é afetado por valores extremos
Encontrando a Mediana
� Se a quantidade de valores é ímpar, a
mediana é o número localizadomediana é o número localizado
exatamente no centro da lista de valores
ordenados .
� Se a quantidade de valores é par, a
mediana é a média dos dois valores
SlideSlide 12
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mediana é a média dos dois valores
centrais .
5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10
0.42 0.48 0.73 1.10 1.10 5.40
(valores ordenados – número par de valores – sem valor 
5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10 0.66 
0.73 + 1.10
2
(valores ordenados – número par de valores – sem valor 
central exato, média de dois números)
MEDIANA=0.915
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5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10 0.66 
0.42 0.48 0.66 0.73 1.10 1.10 5.40
(valores ordenados – número ímpar de valores )
exact middle MEDIANA=0.73 
Definições
� Moda
é o valor que aparece com mais freqüência . 
Nem sempre é única. Nem sempre é única. 
� Um conjunto de dados pode ser:
Bimodal
Multimodal
Sem Moda
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A moda é a única medida de tendência central 
que pode ser usada com dados nominais .
Moda - Exemplos
a. 5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10
b. 27 27 27 55 55 55 88 88 99
c. 1 2 3 6 7 8 9 10
�Moda=1.10
�Bimodal - 27 e 55
�Sem moda
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� Ponto Médio 
Definição
é o valor no meio dos valores máximo e
mínimo dos dados originais .
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Ponto Médio =
Valor máximo + valor mínimo
2
Regra de Arredondamento para 
Medidas de Tendência Central
Arredonde os valores com uma casa 
decimal a mais que os dados 
originais.
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Média de uma Distribuição de 
Freqüência
Assume que em cada classe, todos
os valores amostrais são iguais ao
ponto médio .
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use o ponto médio de cada classe para a 
Média de uma Distribuição de 
Freqüência
use o ponto médio de cada classe para a 
variável x
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Média Ponderada
Em alguns casos, os valores têm grau de
importância diferenciados, sendo então
ponderados de acordo com esta importância .
x =
w
ΣΣΣΣ (w • x)
ΣΣΣΣ
ponderados de acordo com esta importância .
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Melhor Medida de Tendência 
Central
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� Simetria
a distribuição de dados é dita simétrica
Definições
a distribuição de dados é dita simétrica
se a metade esquerda de seu histograma
é aproximadamente uma imagem
especular de seu lado direito .
Caso a distribuição se estende mais
para um lado do que para o outro, ela é
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para um lado do que para o outro, ela é
dita assimétrica .
Assimetria
SlideSlide 23
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Recapitulando
Nesta seção nós estudamos:
� Tipos de Medidas de Centro� Tipos de Medidas de Centro
Média
Mediana
Moda
� Média de uma distribuição de freqüência
� Médias ponderadas
SlideSlide 24
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� Médias ponderadas
� Melhor Medida de Centro
� Assimetria
Seção 3-3 
Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão
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Ponto Chave
Devido a esta seção introduzir o conceito deDevido a esta seção introduzir o conceito de
variação, que é crucial em estatística, esta
pode ser considerada uma das seções mais
importante deste livro .
Priorize como interpretar valores de desvio
SlideSlide 26
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Priorize como interpretar valores de desvio
padrão
Definição
A amplitude de um conjunto deA amplitude de um conjunto de
dados é a diferença entre os valores
máximo e mínimo .
Amplitude = (valor máximo) – (valor mínimo)
SlideSlide 27
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Definição
O desvio padrão de uma amostra éO desvio padrão de uma amostra é
uma medida de dispersão dos
valores em relação à média .
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Fórmula do Desvio Padrão 
Amostral
ΣΣΣΣ (x - x)2
n - 1
s=
SlideSlide 29
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n - 1
Desvio Padrão Amostral
(Fórmula Reduzida)
n (n - 1)
s =
nΣΣΣΣ((((x2) - (ΣΣΣΣx)2
SlideSlide 30
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n (n - 1)
Desvio Padrão -
Propriedades Importantes
� O desvio padrão é uma medida de dispersão 
de todos os valores a partir da média .
� O valor do desvio padrão s é usualmente 
positivo.
� O valor do desvio padrão s pode aumentar 
drasticamente com a inclusão de um ou mais 
outliers.
SlideSlide 31
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outliers.
� A unidade do desvio padrão s é a mesma dos 
dados originais.
Desvio Padrão Populacional
2ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ (x - µ)
N
σσσσ =
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Esta fórmula é semelhante à anterior, porém utiliza
a média e tamanho populacionais no lugar dos
seus valores amostrais.
Definição
� A variância de um conjunto de dados é uma 
medida de dispersão igual ao quadrado do desvio 
� Variância populacional: Quadrado do desvio 
medida de dispersão igual ao quadrado do desvio 
padrão.
� Variância amostral: Quadrado do desvio padrão 
amostral s
SlideSlide 33
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� Variância populacional: Quadrado do desvio 
padrão populacional σσσσ
Variância - Notação
Desvio padrão ao quadrado
s
σ σ σ σ 
2
2
}
Notação
Variância Amostral
Variância Populacional
SlideSlide 34
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σ σ σ σ 
}
Regra de Arredondamento para 
Medidas de Dispersão
Arredonde os valores com uma Arredonde os valores com uma 
casa decimal a mais que os dados 
originais.
Arredonde apenas a resposta final, e não os 
valores cálculo intermediário.
SlideSlide 35
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valores cálculo intermediário.
Estimação do Desvio Padrão
Regra Empírica da Amplitude
Para estimar o desvio padrão s,Para estimar o desvio padrão s,
use
onde amplitude = (valor máximo) – (valor mínimo)
amplitude
4
s ≈≈≈≈
SlideSlide 36
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Estimação do Desvio padrão
Regra Empírica da Amplitude
Para interpretar um valor conhecido do desvio padrã o s,Para interpretar um valor conhecido do desvio padrã o s,
encontre uma estimativa robusta dos valores máximo e 
mínimo amostrais “usuais” usando:
Valor Mínimo “usual” = (média) – 2 X (Desvio padrão )
Valor Máximo “usual” = (média) + 2 X (Desvio padrão )
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Definição
Regra Empírica (68-95-99.7)
Para conjuntos de dados com distribuição Para conjuntos de dados com distribuição 
aproximadamente normal , a seguinte propriedade é 
válida:
� Aproximadamente 68% de todos os valores estão a 
1 desvio padrão da média.
� Aproximadamente 95% de todos os valores estão a 
2 desvios padrões da média.
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2 desvios padrões da média.
� Aproximadamente 99.7% de todos os valores estão 
a 3 desvios padrões da média.
Regra Empírica
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Regra Empírica
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Regra Empírica
SlideSlide 41
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Definição
Teorema de Chebyshev
A proporção (ou fração) de qualquer conjunto deA proporção (ou fração) de qualquer conjunto de
dados que se situa a K desvios padrões da média é
sempre no mínimo 1-1/K2, onde K é qualquer número
inteiro positivo maior que 1.
� Para K = 2, no mínimo 3/4 (ou 75%) de todos os
valores se localizam a 2 desvios padrões da média.
� Para K = 3, no mínimo 8/9 (ou 89%) de todos os
SlideSlide 42
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� Para K = 3, no mínimo 8/9 (ou 89%) de todos os
valores se localizam a 3 desvios padrões da média.
Razão para usar n -1 versus 
n
No final da Seção 3-3 temos uma
explicação detalhada de por que usa-
se n – 1 ao invés de n.
SlideSlide 43
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Definição
O coeficiente de variação (ou CV) de um conjunto 
de dados amostrais ou populacionais, expressado 
em percentual, descreve o desvio padrão em em percentual, descreve o desvio padrão em 
relação a média.
amostr
a
população
sCV = • 100% µCV =
σ •100%
SlideSlide 44
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s
xCV = • 100% µCV = •100%
Recapitulando
Nesta seção nós estudamos:
� Amplitude
� Desvio padrão de uma amostra ou população
� Variância de uma amostra ou população
� Regra empírica da amplitude
� Distribuição empírica
SlideSlide 45
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� Coeficiente de variação (CV)
� Distribuição empírica
� Teorema de Chebyshev
Seção 3-4
Medidas de Forma da 
Distribuição
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Ponto Chave
Esta seção introduz algumas medidas queEsta seção introduz algumas medidas que
podem ser usadas para comparar valores de
diferentes conjuntos de dados, ou compará -
los dentro do mesmo conjunto de dados . A
mais importante destas medidas é o conceito
de escore z.
SlideSlide 47
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� Escore z (ou valor padronizado)
Definição
� Escore z (ou valor padronizado)
é o número de desvios padrões um
dado valor x está acima ou abaixo da
média
SlideSlide 48
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amostra população
Medida de Posição Relativa 
Escore z
amostra população
x - µz = σσσσz = x - x
s
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Arredonde z com 2 casas decimais
Interpretando Escore Z
Sempre que um valor é menor que a média, seu z 
escore correspondente é negativo.
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escore correspondente é negativo.
Valores usuais : escore z entre –2 e 2 
Valores não-usuais: escore z< -2 ou escore z > 2
Definição
� Q1 (Primeiro Quartil) separa os 25%
inferiores dos valores ordenados dos 75%inferiores dos valores ordenados dos 75%
superiores .
� Q2 (Segundo Quartil) mesmo que a
mediana ; separa os 50% inferiores dos
valores ordenados dos 50% superiores .
� Q (Terceiro Quartil) separa os 75%
SlideSlide 51
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� Q1 (Terceiro Quartil) separa os 75%
inferiores dos valores ordenados dos 25%
superiores .
Q1, Q2, Q3
Quartis
1 2 3
Divide os valores ordenados em quatro 
partes iguais
25% 25% 25% 25%
Q3Q2Q1
(mínimo) (máximo)
SlideSlide 52
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Q3Q2Q1
(mínimo) (máximo)
(mediana)
Percentis
Assim como há três quartis separandoAssim como há três quartis separando
os dados em quatro partes, há também
99 percentis denominados P1, P2, . . .
P99, os quais dividem os dados em 100
grupos .
SlideSlide 53
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Como Encontrar o Percentil de 
um Dado Valor
Percentil do valor x = • 100
Número de valores menores que x
Número total de valores
SlideSlide 54
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Notação
Convertendo o k-ésimo Percentil em 
seu Valor Correspondente
n número total de valores no conjunto de 
dados
k percentil usado
L localizador que indica a posição de um 
valor
L = • nk
100
Notação
SlideSlide 55
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valor
Pk k-ésimo percentil 
Convertendo o k-ésimo
Percentil em seu Valor 
Correspondente
SlideSlide 56
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� Intervalo Interquartílico (ou IIQ): Q3 - Q1 
Algumas Outras Estatísticas
� Intervalo Semi-interquartil :
2
Q3 - Q1
� Midquartile:
2
Q3 + Q1
SlideSlide 57
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� 10 - 90 Percentile amplitude: P90 - P10
2
Recapitulando
Nesta seção nós estudamos:
� Escore z� Escore z
� Escore z e valores não -usuais
� Quartis
� Percentis
� Convertendo um percentil no seu valor 
SlideSlide 58
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� Convertendo um percentil no seu valor 
correspondente
� Outras estatísticas
Seção 3-5
Análise Exploratória de 
Dados (AED)Dados (AED)
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Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia
Esta seção discute outliers, então
Ponto Chave
Esta seção discute outliers, então
introduz um novo gráfico estatístico
chamado boxplot, o qual é útil para
visualização da distribuição dos dados .
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� Análise Exploratória de Dados (AED)
Definição
é o processo de utilizar ferramentas
estatísticas (tais como gráficos,
medidas de centro e medidas de
dispersão) para investigação de
conjuntos de dados com o objetivo de
SlideSlide 61
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conjuntos de dados com o objetivo de
se compreenderem suas importantes
características
Definição
� Um outlier é um valor que está� Um outlier é um valor que está
localizado muito afastado de quase todos
os demais valores .
SlideSlide 62
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Princípios Importantes
� Um outlier pode ter um efeito dramático
sobre a média .sobre a média .
� Um outlier pode ter um efeito dramático
sobre o desvio padrão .
� Um outlier pode ter um efeito dramático
sobre a escala de um histograma, de modo que
a real natureza de sua distribuição ser
SlideSlide 63
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a real natureza de sua distribuição ser
totalmente obscurecida .
� Para um conjunto de dados, o resumo dos 5
números consiste no valor mínimo ; no primeiro
quartil Q ; na mediana (ou segundo quartil Q ); no
Definições
números consiste no valor mínimo ; no primeiro
quartil Q1; na mediana (ou segundo quartil Q2); no
terceiro quartil, Q3; e no valor máximo.
� Um boxplot ( ou diagrama de caixa ) é um gráfico
de um conjunto de dados que consiste em uma
linha que se estende do valor mínimo ao valor
máximo, e uma caixa com linhas traçadas no
SlideSlide 64
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máximo, e uma caixa com linhas traçadas no
primeiro quartil, Q1, na mediana, e no terceiro
quartil, Q3.
Boxplots
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Boxplots - cont
SlideSlide 66
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Boxplots - cont
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Boxplots - cont
SlideSlide 68
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Boxplots Modificados
Alguns pacotes estatísticos fornecem boxplots
modificados os quais representam outliers commodificados os quais representam outliers com
pontos especiais.
Um valor é um outlier se ele está…
acima de Q3 por uma quantidade maior que 1.5 X IIQ
ou
SlideSlide 69
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ou
abaixo de Q1 por uma quantidade menor que 1.5 X IIQ
Construção de um Boxplot 
Modificado
Um boxplot modificado é construído com
estas especificações :estas especificações :
�Um símbolo especial (tal como um
asterisco) é usado para identificar os
outliers .
�A linha horizontal sólida se estende
apenas até onde o valor mínimo que não é
SlideSlide 70
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apenas até onde o valor mínimo que não é
outlier e até o valor máximo que também
não é outlier.
Boxplots Modificado - Exemplo
SlideSlide 71
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Recapitulando
Nesta seção nós estudamos:Nesta seção nós estudamos:
� Análise Exploratória de Dados
� Efeitos dos outliers
� resumo dos cinco números
SlideSlide 72
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� Boxplots e boxplots modificados